三角函数大题类型归纳总结经典

第二讲：三角函数大题类型归纳经典

1．根据解析式研究函数性质

例1【2012高考真题北京理15】（本小题共13分）已知函数f (x ) =（1）求f (x ) 的定义域及最小正周期； （2）求f (x ) 的单调递增区间。

【相关高考1】【2012高考真题天津理15】（本小题满分13分）

已知函数f (x ) =sin(2x +

(sinx -cos x ) sin 2x

。

sin x

π

) +sin(2x -) +2cos 2x -1, x ∈R . 33

π

（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期； （答案：T=π） （Ⅱ）求函数f (x ) 在区间[-

ππ

, ]上的最大值和最小值.

；最小值：—1） 44

【相关高考2】【2012高考真题安徽理16】）(本小题满分12分)

设函数f (x ) =

π

cos(2x +) +sin 2x 。 24

π⎧1

sin 2x , x ∈(-π, -) ⎪⎪22

（I ）求函数f (x ) 的最小正周期； 答案： （I ）T=π （II ）g (x )=⎨

⎪-1sin 2x , x ∈(-π,0) ⎪⎩22

（II ）设函数g (x ) 对任意x ∈R ，有g (x +

π

π1

=g (x ) ，且当x ∈[0,]时， g (x ) =-f (x ) ，求函数g (x ) 在222

[-π,0]上的解析式。

2．根据函数性质确定函数解析式

例2【2012高考真题四川理18】(本小题满分12分)

+ωx -3(ω>0) 在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图2

象与x 轴的交点，且∆ABC 为正三角形。 （Ⅰ）求ω的值及函数f (x ) 的值域；

（Ⅱ）若f (x 0) =

【相关高考1】【2012高考真题陕西理16】（本小题满分12分） 函数f (x ) =A sin(ωx -

函数f (x ) =6cos 2

ωx

102

，且x 0∈(-, ) ，求f (x 0+1) 的值。 533

π

6

) +1（A >0, ω>0）的最大值为3， 其图像相邻两条对称轴之间的距离为

π

， 2

（1）求函数f (x ) 的解析式； 答案：（Ⅰ）f (x ) =2sin(2x -（2）设α∈(0,

【相关高考2】（全国Ⅱ）在△ABC 中，已知内角A =

π

6

) +1。

π

) ，则f () =2，求α的值。 （Ⅱ）α=。 223

απ

π

，边BC =B =x ，周长为y ． 3

（1）求函数y =f (x ) 的解析式和定义域；（2）求函数y =f (x ) 的最大值．

答案：（Ⅰ）y =4(sinx +4sin(

2ππ

（Ⅱ）

最大值：-x ) + (0

33

3．三角函数求值

例3【2012高考真题广东理16】（本小题满分12分） 已知函数f (x ) =2cos(ωx +（1）求ω的值； （2）设α, β∈[0,

π

6

) ，（其中ω＞0，x ∈R ）的最小正周期为10π．

π

56516

]，f (5α+π) =-，f (5β-π) =，求cos （α＋β）的值． 235617

π⎫⎛

2cos 2x -⎪

4⎭⎝【相关高考1】（重庆文）已知函数f (x )=. （Ⅰ）求f (x ) 的定义域；（Ⅱ）若角a 在第一象限，且sin(x +)

2

⎧π⎫3

（答案：（Ⅰ）⎨x ∈R x ≠k π-, k ∈z ⎬；（Ⅱ）f cos a =, 求f （a ）。

52⎩⎭

(α)=

14） 5

【相关高考2】(重庆理) 设f (x ) = 6cos x -3sin 2x （1）求f(x ) 的最大值及最小正周期；（2）若锐角α满足

2

4

f (α) =3-23，求tan α的值.

（答案：（Ⅰ）最大值：3 T =π

5

4．三角形中的函数求值

例4【2012高考真题新课标理17】（本小题满分12分）

已知a , b , c 分别为∆ABC 三个内角A , B , C

的对边，a cos C sin C -b -c =0 （1）求A （2）若a =2，∆ABC 的面积为；求b , c .

【相关高考1】【2012高考真题浙江理18】(本小题满分14分) 在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，2

c ．已知cos A ＝，sin B

C ．

3

(Ⅰ) 求tan C 的值；

(Ⅱ) 若a

∆ABC 的面积．

【相关高考2】【2012高考真题辽宁理17】(本小题满分12分)

在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 。角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ) 求cos B 的值；

(Ⅱ) 边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值。（答案：（Ⅰ）

） 13（Ⅱ） 24

5．三角与平面向量

例5【2012高考江苏15】（14分）在∆ABC 中，已知AB AC =3BA BC ．

（1）求证：tan B =3tan A ； （2

）若cos C =

求A 的值．

例6【2012高考真题湖北理17】（本小题满分12分）

已知向量a

=(cosωx -sin ωx , sin ωx ) ，b =(-cos ωx -sin ωx , ωx ) ，设函数f (x ) =a ⋅b +λ(x ∈R ) 的图象关1

于直线x =π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈(, 1) .

2

（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小正周期；

3ππ

（Ⅱ）若y =f (x ) 的图象经过点(,0) ，求函数f (x ) 在区间[0,]上的取值范围.

54

6．三角函数与不等式

例7

（湖北）已知函数f (x ) =2sin 2

⎛π⎫⎡ππ⎤

+x ⎪2x ，x ∈⎢⎥．（I ）求f (x ) 的最大值和最小值； ⎝4⎭⎣42⎦

（II ）若不等式f (x ) -m

⎡ππ⎤⎣⎦

7．三角函数与极值

例8（安徽）设函数f (x )=-cos 2x -4t sin

x 2cos x

2

+4t 3+t 2-3t +4, x ∈R 其中≤1，将f (x )的最小值记为g (t ).

(Ⅰ) 求g (t ) 的表达式；(Ⅱ) 讨论g (t ) 在区间（-1,1）内的单调性并求极值.

三角函数易错题解析 例题1 已知角α的终边上一点的坐标为（sin

2π2π

3, cos

3

），则角α的最小值为（ ）。 A 、5π2π5π116 B、3 C、3 D、π6

答案：C

例题2 A ，B ，C 是∆ABC 的三个内角，且tan A , tan B 是方程3x 2

-5x +1=0的两个实数根，则∆ABC 是（A 、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

答案：A

例题3 已知方程x 2

+4ax +3a +1=0（a 为大于1的常数）的两根为tan α，tan β，

且α、β∈ ⎛-

πα+β⎝2, π⎫

2⎪⎭

，则tan 2的值是_________________. 答案：－２

例题4 函数f (x ) =a sin x +b 的最大值为3，最小值为2，则a =______，b =_______。 答案：a= 12 b= 5

2

例题5 函数f(x)=

sin x cos x

1+sin x +cos x

的值域为______________。

答案：⎡⎣

1⎦

⎤

）

222

+sin β=3sin α, 则sin α+sin β的取值范围是 例题6 若2sin α

2

答案：[-4, 2]

例题7 已知2α+β=π，求y =cos β-6sin α的最小值及最大值。 答案：[-5,7]

例题8 求函数f (x ) =答案：

例题9 求函数f (x ) =sin 2x +22+x ) +3的值域

2tan x

的最小正周期。 2

1-tan x

π 2

π

4

答案：⎡2-⎤

⎣⎦

例题10 已知函数f (x ) =sin(ωx +Φ)(ω>0, 0≤Φ≤π) 是R 上的偶函数，其图像关于点M (π, 0) 对称，且在区间[0，

三角函数及三角形高考题

34

2ππ

]上是单调函数，求Φ和ω的值。答案：ω=, Φ=

322

1. （2011年北京高考9）在∆ABC 中，若答案：

b =5, ∠B =

π

4

,sin A =

1

3，则a =

3

2. （2011年浙江高考5）. 在∆ABC 中，角A , B , C 所对的边分a , b , c . 若a cos A =b sin B ，则sin A cos A +cos B =

2

11

(A)- 2 (B) 2 (C) -1 (D) 1

答案：D

π

3. （2011年全国卷1高考7）设函数f (x ) =cos ωx (ω>0) ，将y =f (x ) 的图像向右平移3个单位长度后，所得的

图像与原图像重合，则ω的最小值等于

1

（A ）3 （B ）3 （C ）6 （D ）9

答案：C

4. （2011年江西高考14）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若

p (4, y )

是角θ

终边上一点，且

sin θ=，则y=_______.

答案：－8

f (x ) ≤f ()

ϕf (x ) =sin(2x +ϕ) 6对x ∈R 恒成立，且5．（2011年安徽高考9）已知函数，其中为实数，若

π

f () >f (π)

2，则f (x ) 的单调递增区间是

π

ππ⎤π⎤⎡⎡

k π-, k π+(k ∈Z ) k π, k π+(k ∈Z ) ⎢⎥⎢⎥362⎦⎦（A ）⎣ （B ）⎣

ππ2π⎤⎡⎤⎡

k π-, k π(k ∈Z ) k π+, k π+(k ∈Z ) ⎢⎥⎢⎥263⎦⎦（C ）⎣ （D ）⎣

答案：C

222

6．（2011四川高考8）在△ABC 中，sin A ≤sin B +sin C -sin B sin C ，则A 的取值范围是

(0,]（A ）6 答案：C

π

[, π) （B ）6

π

(0,]

（C ）3

π

[, π) （D ）3

π

f (x ) =4cos x sin(x +) -1.

67. （2011年北京高考17）已知函数

⎡ππ⎤-, ⎥⎢f (x ) f (x ) （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间⎣64⎦上的最大值和最小值。

答案：（Ⅰ）T =π（Ⅱ）1 , -3

π

cos A -2cos C 2c -a

=

A , B , C a , b , c cos B b ， 8. （2011年山东高考17） 在∆ABC 中，内角的对边分别为，已知sin C 1

cos B =, b =2

4（Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若，求∆ABC 的面积S 。

答案：（Ⅰ）2

9. （2011年全国卷高考18）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.

己知a sin A +csin C sin C =b sin B .

A =75, b =2, 求a ，c . (Ⅰ) 求B ；（Ⅱ）若

答案：(Ⅰ)

π

, =

（Ⅱ）a =1+c

4

10. （2011年湖南高考17）在 ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为a , b , c 且满足c sin A =a cos C .

A -cos(B +)

C 4的最大值，并求取得最大值时角A , B 的大小． （I ）求角的大小；（II

答案：(Ⅰ)

π

π5ππ

（II ）最大值2 , A =, B =

3124

1πf (x ) =2sin(x -)

36，x ∈R ． 11．（2011年广东高考16）已知函数

f (

（1）求

⎡π⎤5πα, β∈⎢0, ⎥f (3α+π) =10f (3β+2π) =6)

⎣2⎦，4的值；（2）设213，5，求cos(α+β) 的值．

答案：(Ⅰ)

II ）

16 65

12．（2011年广东高考18）已知函数f (x ) =sin(x +7π3π) +cos(x -) 44，x ∈R ．

cos(β-α) =44πcos(β+α) =-0

[f (β)]2-2=0．

答案：(Ⅰ) 2π，-2

13. （2011年江苏高考17）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为a , b , c

sin(A +π

（1）若6) =2cos A , cos A =1,

求A 的值；（2）若3b =3c

，求sin C 的值.

答案：(Ⅰ) A =π（II ）1

33

14. （2011高考）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos2

。若c 2=b2

2，求B 。

答案：(Ⅰ)

II ）π

4

第11页 共12页 b I ）求a ；（II ）（

1a =1, b =2,c o s C 4 15. （2011年湖北高考17）设∆ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知

s (A -C ) 的值。 (I) 求∆ABC 的周长；(II)求c o

答案：(Ⅰ) 5（II ）

11 16

cos 2C =-

16. （2011年浙江高考18）在△ABC 中, 角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知 (I)求sinC 的值；(Ⅱ) 当a=2， 2sinA=sinC时，求b 及c 的长．

答案：(Ⅰ)

14 II

）b =c =4 4

第12页 共12页