圆周运动实例分析与临界问题

圆周运动实例分析与临界问题

【教学要求】

1．知道非匀速圆周运动的特点；

2．掌握竖直平面内的圆周运动的两种典型情况，会分析其临界条件。 3．会运用圆周运动的有关知识分析解决实际问题。 【知识再现】 一、火车转弯问题

由于火车的质量比较大，火车拐弯时所需的向心力就很大．如果铁轨内外侧一样高，则外侧轮缘所受的压力很大，容易损坏；实用中使________略高于_________，从而_________和_________ 的合力提供火车拐弯时所需的向心力。

铁轨拐弯处半径为R ，内外轨高度差为H ，两轨间距为L ，火车总质量为M ，则：

(1)火车在拐弯处运动的“规定速度’’即内外轨均不受压的速度

v p =_________；

(2)若火车实际速度大于v p ，则___轨将受到侧向压力； (3)若火车实际速度小于v p ，则___轨将受到侧向压力。 二、“水流星”问题

绳系装满水的杯子在竖直平面内做圆周运动，即使到了最高点杯子中的水也不会流出，这是因为水的重力提供水做圆周运动的向心力．

(1)杯子在最高点的最小速度v min =____．

(2)当杯子在最高点速度为v>vmin 时，杯子内的水对杯底有压力，若计算中求得杯子在最高点速度v

竖直平面内的变速圆周运动，是典型的变速圆周运动，对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态。

此类问题多为讨论最高点时的情况，下面具体分析几种情况： 1、“绳模型”——外轨、绳的约束

（1）临界条件：小球到最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供做圆周运动的向心力， mg=mv临2/r v临=

gr

即 v临 是小球能通过最高点时的最小速度 （2）能通过最高点的条件：v ≥v 临 （3）不能通过最高点的条件v

2、“杆模型”——管、杆的约束

（1） 临界条件：由于轻杆或管壁的支撑，小球能到达最高点的条件是小球在最高点时速度可以为零。 （2） 当0＜v ＜

2

临。

这种情况实际上小球在到达最高

gr 时，杆对球的作用力表现为推力，推力大小为

N=mg-mv ，N 随速度增大而减小。

r

（3） 当v

＞m v -mg

r

2

gr 时，杆对球的作用力表现为拉力，拉力的大小为T=

【应用1】(2008汕头市一中期中考试模拟) 轻杆的一端固定一个质量为m 的小球，以另一端o 为圆心，使小球在竖直平面内做半径为r 的圆周运动，则小球通过最高点时，杆对小球的作用力（ ） A ．可能等于零 B．可能等于mg C ．一定与小球受到的重力方向相反 D ．一定随小球过最高点时速度的增大而增大

由于轻杆可以对小球提供支持力，小球通过最高点的最小速度v=O，此时支持力F N =mg；当O

杆对小球的作用力为支持力，gr 时，

方向竖直向上，大小随小球过最高点时速度的增大而减小，取值范围为0

时，F N =0；当

v>

gr 时，杆对小球的作用力为拉

力，方向竖直向下，大小随小球过最高点时速度的增大而增大。故答案应为A 、B 。

解答竖直面内的圆周运动问题时，首先要搞清是绳模型还

是杆模型，在最高点绳模型小球的最小速度是

；而杆模型小球在

最高点的最小速度为零，要注意根据速度的大小判断是拉力还是支持力。

如图所示，小球在竖直平面内做圆周运动时，C 为最高点，D 为最低点，

C

点速度最小，D 点速度最大。但是若加水平向右的电场E ，

小球带电量为+q，则在A 点速度最小，在B 点速度最大，小球在A 点时重力与电场力的合力指向圆心，小球在B 点时，重力与电场力的合力沿半径向外，这与只有重力时C 、D 两点的特性相似。我们把A 、B 两点称为物理最高点和物理最低点，而把C 、D 两点称为几何最高点和几何最低点。

【应用2】（淮阴中学08届高三测试卷）如图所示，细线一端系住一质量为m 的小球，以另一端o 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动。若球带正电q ，空间有竖直向上的匀强电场E ，为使小球能做完整的圆周运动，在最低点A 小球至少应有多大的速度?

求解本题的关键是找出带电粒子在复合场中做圆周运动的“等效最高点”以便求出小球在“等效最高点”的临界速度，进一步求出小球在最低点A 的速度．

由于m 、q 、E 的具体数值不详，故应分别讨论如下： (1)若qE

2

g R =

(mg -Eq ) R

m 2

由动能定理得：mg ′·2R=1mv A 2-1mv A 2

整理得：v A =

R (mg -Eq ) /m

(2) 若qE>mg，则等效重力场的方向向上，等效重力加速度： g′=（Eq-mg ）/m．在该等效重力场中小球轨迹“最高点”（实际为问题中的最低点——即A 点）的临界速度 v B =

g R =

(Eq -mg ) R m

(3)若qE=mg，则等效重力场消失，小球在竖直面内做匀速圆周运动，能使小球做完整圆周运动的条件是v B >0。

该类题的关键是求出等效重力mg ′，找出等效重力场中

的“等效最高点”——物理最高点，在“等效最高点”的速度v ′=g R

【例1】如图所示，两绳系一个质量为m=0．1 kg的小球。两绳的另一端分别固定于轴的A 、B 两处，上面绳长L=2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为300和450。问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧?(g取10m/s2)

ω由O 逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。

(1)BC恰好拉直，但F 2仍然为零，设此时的角速 度为ω1，则有

F x =Fsin300=mω21Lsin300 F 0y =Fcos30-mg=O 代入数据得，ω1=2.40rad/s

(2)AC由拉紧转为恰好拉直，但F 1

已为零，设此时的角速度ω2，则有 F x =F

2

sin45

0=mω22Lsin300

F y =F2cos450-mg=O 代入数据得，ω2=3.16rad/s 答案：2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s

1、要会用极限分析法判定物体可能处的状态，进而正确

受力分析。2、要注意确定物体做圆周运动的圆心和半径。3、只要物体做圆周运动．在任何一个位置和状态．都满足F 供=F需建立该动力关系方程是解决圆周运动问题的基本方法。

【例2】如图所示，匀速转动的水平圆盘上，放有质量均为m 的小物体A 、B ， A、B 间用细线沿半径方向相连，它们到转轴距离分别为R A =20cm，R B =30cm。A 、B 与盘面间的最大静摩擦力均为重力的0.4倍，试求：

(1)当细线上开始出现张力时，圆盘的角速度ω0； (2)当A 开始滑动时，圆盘的角速度ω； (3)当即将滑动时，烧断细线，A 、B 状态如何?

当细线上开始出现张力时，表明B 与盘间的静摩擦力已达到最大，设此时圆盘角速度为ω0，则是kmg=mrB ω02 解得： ω0=

kg /r B

=3.7rad/s

(2)当A 开始滑动时，表明A 与盘的静摩擦力也已达到最大，设此时盘转动角速度为ω，线上拉力为F T 则，对A ：F fAm -F T =mrA ω2

对

B ：F fBm +FT =mrB ω2

又：F fAm =FfBm =kmg

解得ω=4rad/s。

(3)烧断细线，A 与盘间的静摩擦力减小，继续随盘做半径为r A =20cm的圆周运动，而B 由于F fBm 不足以提供必要的向心力而做离心运动。 答案：(1) 3.7rad/s (2) 4rad/s (3)A做圆周运动，B 做离心运动

1、利用极限分析法的“放大”思想分析临界状态。认清

临界情景和条件，建立临界关系是解决此类问题的关键。2、圆周运动中的连接体加速度一般不同，所以，解决这类连接体的动力学问题时一般用隔离法。但也可用整体法来求解。

1．（07届广东省惠阳市综合测试卷三）铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还取决于火车在弯道上行驶的速率。下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r 及与之相应的轨道的高度差h 。

（1）根据表中数据，试导出h 与r 关系的表达式，并求出当r=400m时，h 的设计值。

（2）铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧面压力，又已知我国铁路内外轨的距离设计值为L=1.435m，结合表中数据，求出我国火车的转弯速率v （路轨倾角α很小时，tg α≈sin α）。

（3）随着人们的生活节奏加快，对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输能力，国家对铁路不断进行提速改造，这就要求铁路转弯速率也需提高，请根据上述高处原理和上表分析，提速时应采取怎样的有效措施？（g 取9.8m/s2）

2．（东台市2008届第一次调研）一内壁光滑的环形细圆管，固定于竖直平面内，环的半径为R （比细管的半径大得多）．在圆管中有两个直径略小于细管内径相同的小球（可视为质点）．A 球的质量为m 1，B 球的质量为m 2．它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 0．设A 球运动到最低点时，B 球恰好运动到最高点，重力加速度用g 表示．

（1）若此时B 球恰好对轨道无压力，题中相关物理量满足何种关系？

（2）若此时两球作用于圆管的合力为零，题中各物理量满足何种关系？

（3）若m 1=m2=m ，试证明此时A 、B 两小球作用于圆管的合力大小为6mg ，方向竖直向下．

答案：1、（1）0.075m ；（2）v=15m；（3）提速时应采取的有效措施是增大弯道半径 r和内外轨高度差h ； 2、（1）v 02=4gR；（2）(m

1

2

v 0

（3）A -m 2) +(m 1+5m 2) g =0；

R

球受管的支持力为

F A ，方向竖直向上；设B 球受管的弹力为F B ，取竖直向上为F B 的正方向，根据牛顿第二定律F 又1mv

2

20

A

2v 0v 2

m g -F B =m -m g =m

R R

=

12

mv +mg 2R 两球受圆管的合力2

F 合=FA +BB ，方向竖直向上，联立

以上各式得F 合=6mg，方向竖直向上 ，根据牛顿第三定律，A 、B 两小球对轨道作用力的合力大小为6mg ，方向竖直向下。