现代控制理论复习题[1]

《现代控制理论》复习题1

二、（15分）考虑由下式确定的系统： G (s ) =

s +3

试求其状态空间实现2

s +3s +2

的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为

1⎤⎡01⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎡x =⎢x ⎥⎢-2-3⎥⎢x ⎥+⎢1⎥u ⎦⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣

⎡x ⎤

y =[31]⎢1⎥

⎣x 2⎦

能观测标准形为

1⎤⎡0-2⎤⎡x 1⎤⎡3⎤⎡x ⎢x ⎥=⎢1-3⎥⎢x ⎥+⎢1⎥u ⎦⎣2⎦⎣⎦⎣2⎦⎣

⎡x 1⎤

y =[01]⎢⎥

⎣x 2⎦

对角标准形为

1⎤⎡-10⎤⎡x 1⎤⎡1⎤⎡x

=⎢+⎢⎥u ⎢x ⎥⎢⎥⎥

⎣ 2⎦⎣0-2⎦⎣x 2⎦⎣1⎦

x ⎡⎤

y =[2-1]⎢1⎥

⎣x 2⎦

三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统

1⎤⎡0

=⎢x ⎥x

-2-3⎣⎦

求其状态转移矩阵。

解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是λ1=-1, 矩阵A 可以对角化。矩阵A 对应于特征值λ1=-1,

λ2=-2，它们是不相同的，故系统的λ2=-2的特征向量是

⎡1⎤

ν1=⎢⎥,

⎣-1⎦

取变换矩阵 T =[ν1

⎡1⎤

ν2=⎢⎥

⎣-2⎦

⎡1

1⎤

-1

， 则 T =⎢ν2]-1=⎢⎥⎥

-1-1-1-2⎣⎦⎣⎦

⎡21⎤

因此， D =TAT 从而，

-1

⎡-10⎤

=⎢⎥

⎣0-2⎦

e

At

⎡e -t

=T ⎢

⎣0

-1

-t

1⎤⎡e -t 0⎤⎡1

T =⎢⎥⎢-2t ⎥e ⎦⎣-1-2⎦⎣0

-2t

0⎤⎡21⎤

⎥⎢⎥e -2t ⎦⎣-1-1⎦

⎡2e -e =⎢-t -2t

-2e +2e ⎣

解法2。拉普拉斯方法

由于

⎤⎥

-e -t +2e -2t ⎦e -e

-t -2t

⎡s -1⎤⎡s +31⎤11-1

(sI -A ) =⎢⎥=det(sI -A ) adj (sI -A ) =s (s +3) +2⎢-2s ⎥2s +3⎣⎦⎣⎦

s +31⎡⎤⎡2111⎤

--⎢(s +1)(s +2) (s +1)(s +2) ⎥⎢⎥

=⎢⎥=⎢s +1s +2s +1s +2⎥

-2s -12⎢⎥⎢-2+2⎥+⎢⎥(s +1)(s +2) (s +1)(s +2) s +1s +2s +1s +2⎣⎦⎣⎦

故 Φ(t ) =e

At

-1

⎡2e -t -e -2t

=L [(sI -A ) ]=⎢-t -2t

⎣-2e +2e

-1

-1e -t -e -2t ⎤

-t -2t ⎥-e +2e ⎦

解法3。凯莱-哈密尔顿方法

将状态转移矩阵写成 e At =a 0(t ) I +a 1(t ) A 系统矩阵的特征值是-1和-2，故 e -t =a 0(t ) -a 1(t ) 解以上线性方程组，可得 a 0(t ) =2e -t -e -2t 因此， Φ(t ) =e

At

e -2t =a 0(t ) -2a 1(t ) a 1(t ) =e -t -e -2t

⎡2e -t -e -2t

=a 0(t ) I +a 1(t ) A =⎢-t -2t

-2e +2e ⎣

e -t -e -2t ⎤

⎥

-e -t +2e -2t ⎦

=Ax +Bu , 四、（15分）已知对象的状态空间模型x y =Cx , 是完全能观的，请画出观

测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。

解 观测器设计的框图：

观测器方程：

~ =A ~x x +Bu +L (y -Cx )

~=(A -LC ) x +Bu +Ly

x 是观测器的维状态，L 是一个n ×其中：~p 维的待定观测器增益矩阵。

观测器设计方法：

由于 det[λI -(A -LC )]=det[λI -(A -LC ) T ]=det[λI -(A T -C T L T )] 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得A -C L 具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。

五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov 稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。

解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：

T

T

T

=Ax 在平衡点x e =0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称线性时不变系统x

正定矩阵Q ，李雅普诺夫矩阵方程A T P +PA =-Q 有惟一的对称正定解P 。 在具体问题分析中，可以选取Q = I 。

1⎤⎡01⎤⎡x 1⎤⎡x

考虑二阶线性时不变系统： ⎢⎥=⎢⎥⎢x ⎥ x -1-1⎦⎣2⎦⎣2⎦⎣

原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程 A P +PA =-I 其中的未知对称矩阵 P =⎢

T

⎡p 11

⎣p 12p 12⎤

p 22⎥⎦

将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得

⎡0-1⎤⎡p 11

⎢1-1⎥⎢p ⎣⎦⎣12

进一步可得联立方程组

p 12⎤⎡p 11

+⎢⎥p 22⎦⎣p 12p 12⎤⎡01⎤⎡-10⎤

=⎢⎥⎢⎥⎥p 22⎦⎣-1-1⎦⎣0-1⎦

-2p 12=-1p 11-p 12-p 22=0 2p 12-2p 22=-1

从上式解出p 11、p 12和p 22，从而可得矩阵 P =⎢根据塞尔维斯特方法，可得 ∆1=

⎡p 11

⎣p 12p 12⎤⎡3/21/2⎤

=⎢⎥⎥p 22⎦⎣1/21⎦

5

>0 4

3>02

∆2=det P =

故矩阵P 是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 六、（10分）已知被控系统的传递函数是

G (s ) =

10

(s +1)(s +2)

试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j。 解 系统的状态空间模型是

1⎤⎡0⎡0⎤

=⎢x ⎥x +⎢1⎥u

-2-3⎣⎦⎣⎦y =[100]x

将控制器 u =-[k 0

k 1]x 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程

⎡0 =⎢x

⎣-2-k 0⎤x ⎥-3-k 1⎦

1

该闭环系统的特征方程是 det(λI -A c ) =λ2+(3+k 1) λ+(2+k 0) 期望的闭环特征方程是 (λ+1-j )(λ+1+j ) =λ2+2λ+2 通过 λ2+(3+k 1) λ+(2+k 0) =λ2+2λ+2 可得 3+k 1=2从上式可解出 k 1=-1

2+k 0=2 k 0+0

⎡x 1⎤

⎥ x ⎣2⎦

因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是 u =[01]⎢

七、（10分）证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。

证明 对状态空间模型

=Ax +Bu x

y =Cx +Du

它的等价状态空间模型具有形式

=+u y =+u

其中：

=TAT -1

Γc [, ]=[=TB

=CT -1

=D

T 是任意的非奇异变换矩阵。利用以上的关系式，等价状态空间模型的能控性矩阵是

n -1]

n -1

=[TB TAT -1TB (TAT -1) n -1TB ]=T [B AB A B ]

=T Γc [A , B ]

由于矩阵T 是非奇异的，故矩阵Γc [, ]，和Γc [A , B ]具有相同的秩，从而等价的状态空间

模型具有相同的能控性。 八、（15分）在极点配置是控制系统设计中的一种有效方法，请问这种方法能改善控制系统的哪些性能？对系统性能是否也可能产生不利影响？如何解决？

解： 极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、振荡幅度。

极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的系统通过极点配置后，其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳态性能变差。

改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构图是

构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器，从而使得闭环系统不仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误差的出现。

《现代控制理论》复习题2

二、（20分）已知系统的传递函数为

G (s ) =

2s +5

(s +3)(s +5)

（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图； （2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。 答:（1）将G (s ) 写成以下形式：

12s +5⋅ s +3s +5

12s +5

这相当于两个环节和串连，它们的状态空间模型分别为：

s +3s +5G (s ) =

2=-5x 2+u 1 1=-3x 1+u ⎧x ⎧x

和⎨ ⎨

y =-5x +u 21⎩⎩y 1=x 1

由于y 1=u 1，故可得给定传递函数的状态空间实现是：

将其写成矩阵向量的形式，可得：

对应的状态变量图为：

串连分解所得状态空间实现的状态变量图

（2）将G (s ) 写成以下形式：

它可以看成是两个环节-

0. 52. 5

和的并联，每一个环节的状态空间模型分别为：

s +3s +5

和

由此可得原传递函数的状态空间实现：

进一步写成状态向量的形式，可得：

对应的状态变量图为：

并连分解所得状态空间实现的状态变量图

三、（20分）试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法，并以一种方法和一个数值例子为例，求解线性定常系统的状态转移矩阵； 答：求解状态转移矩阵的方法有： 方法一 直接计算法： 根据状态转移矩阵的定义

来直接计算，只适合一些特殊矩阵A 。

方法二 通过线性变换计算状态转移矩阵，设法通过线性变换，将矩阵A 变换成对角矩阵或约当矩阵，进而利用方法得到要求的状态转移矩阵。 方法三 拉普拉斯变换法：e At =L -1[(sI -A ) -1]。 方法四 凯莱-哈密尔顿方法

根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出e 具有以下形式：

At

其中的α0(t ),

α2(t ), αn -1(t ) 均是时间 t 的标量函数。根据矩阵A 有n 个不同特征值

和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。 举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵

所确定的自治系统的状态转移矩阵。 由于

故

四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举例说明之。

答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状态的识别能力，对一个零输入的系统，若它是能观的，则可以通过一段时间内的测量输出来估计之前某个时刻的系统状态。

状态能观的判别方法： 对于n 阶系统

⎡C ⎤⎢CA ⎥

⎥列满秩，则系统完全能观 1. 若其能观性矩阵Γo =⎢⎢⎥⎢n -1⎥⎣CA ⎦

2. 若系统的能观格拉姆矩阵

非奇异，则系统完全能观。 举例： 对于系统

其能观性矩阵

的秩为2，即是列满秩的，故系统是能观的。

五、（20分）对一个由状态空间模型描述的系统，试回答： （1） 能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？ （2） 简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法； （3） 试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。

答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控的。

（2）极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克曼公式法。 ① 直接法

验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。

设状态反馈控制器u =−Kx ，相应的闭环矩阵是A −BK ，闭环系统的特征多项式为

由期望极点λ1, , λn 可得期望的闭环特征多项式

通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵K 。 ② 变换法

验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。 将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵

设期望的特征多项式为

而能控标准型的特征多项式为

所以，状态反馈控制器增益矩阵是

（3） 采用直接法来说明极点配置状态反馈控制器的设计 考虑以下系统

设计一个状态反馈控制器，使闭环系统极点为2−和−3。 该状态空间模型的能控性矩阵为

该能控性矩阵是行满秩的，所以系统能控。 设状态反馈控制器

将其代入系统状态方程中，得到闭环系统状态方程

其特征多项式为

由期望的闭环极点− 2和−3，可得闭环特征多项式

通过

可得

由此方程组得到

因此，要设计的极点配置状态反馈控制器

=Ax 六、（20分）给定系统状态空间模型x

（1） 试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性？ （2） 试通过一个例子说明您给出的方法； （3） 给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。 答：

=Ax 是一个线性时不变系统，（1）给定的系统状态空间模型x 根据线性时不变系统稳定性

的李雅普诺夫定理，该系统渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q ，矩

阵方程A T P +PA =-Q 有一个对称正定解矩阵P 。因此，通过求解矩阵方程A T P +PA =-Q ，若能得到一个对称正定解矩阵P ，则系统是稳定的；若得不到对称正定解矩阵P ，则系统是不稳定的。一般的，可以选取Q = I 。

（2）举例：考虑由以下状态方程描述的二阶线性时不变系统：

原点是该系统的惟一平衡状态。求解李雅普诺夫方程：A T P +PA =-Q ，其中的未知矩阵

将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得

为了计算简单，选取Q =2I ，则从以上矩阵方程可得：

求解该线性方程组，可得：

即

判断可得矩阵P 是正定的。因此该系统是渐近稳定的。

（3）李雅普诺夫稳定性定理的物理意义：针对一个动态系统和确定的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能量随着时间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来，这就是李雅普诺夫意义下的稳定性。

《现代控制理论》复习题3

二、（20分）（1）如何由一个传递函数来给出其对应的状态空间模型，试简述其解决思路？ （2）给出一个二阶传递函数G (s ) =

2s +5

的两种状态空间实现。

(s +3)(s +5)

解：（1）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是

若b n ≠0，则通过长除法，传递函数G (s ) 总可以转化成

将

分解成等效的两个特殊环节的串联：

可得一个状态空间实现

串联法 其思想是将一个n 阶的传递函数分解成若干低阶传递函数的乘积，然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。

并联法 其的思路是把一个复杂的传递函数分解成若干低阶传递函数的和，然后对每个低阶传递函数确定其状态空间实现，最后根据并联关系给出原来传递函数的状态空间实现。 （2）方法一：将G (s ) 重新写成下述形式：

每一个环节的状态空间模型分别为：

又因为y 1 u 1， 所以

因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为：

方法二：将G (s ) 重新写成下述形式：

每一个环节的状态空间模型分别为：

又由于

因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为：

方法三：将G (s ) 重新写成下述形式：

则系统的状态空间模型为：

评分标准：问题（1）10分，由一个传递函数转换为状态空间模型思路清晰，方法正确10分；问题（2）10分，两种状态空间实现方法各5分。

三、（20分）（1）试问状态转移矩阵的意义是什么？ （2）状态转移矩阵是否包含了对应自治系统的全部信息？ （3）介绍两种求解线性定常系统状态转移矩阵的方法；

1⎤⎡0

（4）计算系统x =⎢⎥的状态转移矩阵。

-2-3⎣⎦

解：（1）状态转移矩阵的意义是决定状态沿着轨线从初始状态转移到下一个状态的规律，

即初始状态x 0在状态转移矩阵Φ(t , t 0) 的作用下，t 0时刻的初始状态x 0经过时间t −t 0后转移到了时刻t 的状态x (t ) 。

（2）状态转移矩阵包含了对应自治系统的全部信息；对于自治系统

（3）拉普拉斯变换法、凯莱-哈密尔顿法、线性变换法、直接计算法。 方法一 直接计算法 根据定义，

我们已经知道上式中的矩阵级数总是收敛的，故可以通过计算该矩阵级数的和来得到所要求的状态转移矩阵。

方法二 线性变换法 如果矩阵A 是一个可对角化的矩阵，即存在一个非奇异矩阵T ，使得

则

方法三 拉普拉斯变换法

方法四 凯莱-哈密尔顿法 解一个线性方程组

其系数矩阵的行列式是著名的范德蒙行列式，当λ1,λ2, ,λn 互不相同时，行列式的值不为零，从而从方程组可得惟一解α0(t ), α1 (t ), ,αn −1 (t ) 。由

可得状态转移矩阵。

（4）方法一：线性变换法，

容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是λ1=-1, 统的矩阵A 可以对角化。矩阵A 对应与特征值λ1=-1,

λ2=-2，它们是不相同的，故系λ2=-2的特征向量是

取变换矩阵

因此，

从而，

方法二：拉普拉斯变换法，由于

故

方法二：凯莱-哈密尔顿法

将状态转移矩阵写成

系统矩阵的特征值是-1和-2，故

解以上线性方程组，可得

因此，

评分标准：每个问题5分。问题（1）状态转移矩阵的意义叙述完整5分；问题（2）判断正确5分；问题（3）给出两种求解线性定常系统状态转移矩阵的方法5分；问题（3）方法和结果正确5分。

四、（20分）（1）解释系统状态能控性的含义；

（2）给出能控性的判别条件，并通过一个例子来说明该判别条件的应用；

（3）若一个系统是能控的，则可以在任意短时间内将初始状态转移到任意指定的状态，这一控制效果在实际中能实现吗？为什么？

解：（1）对一个能控的状态，总存在一个控制律，使得在该控制律作用下，系统从此状态出发，经有限时间后转移到零状态。 （2）通过检验能控性判别矩阵[B

AB A n 1B ]是否行满秩来判别线性时不变系统的

能控性。若能控性判别矩阵是行满秩的，则系统是能控的。 试判别由以下状态方程描述的系统的能控性：

系统的能控性判别矩阵

由于

即矩阵Γc [A , B]不是满秩的，该系统不是状态完全能控的。

（3）若一个系统是能控的，则可以在任意短时间内将初始状态转移到任意指定的状态，这一控制效果在实际中难以实现，T 越小，则控制律的参数越大，从而导致控制信号的幅值很大，这要求执行器的调节幅度要很大，从而使得在有限时间内完成这一控制作用所需要消耗的能量也很大。由于在实际过程中，执行器的调节幅度总是有限的（如阀门的开度等），能量供应也是有限制的。

评分标准：问题（1）系统状态能控性的含义叙述完整6分；问题(2) 能控性的判别条件4分，举例3分；问题（3）判断正确3分，原因分析正确4分。

五、（20分）（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？ （2）已知被控对象的状态空间模型为

1⎤⎡0⎡0⎤

x =⎢⎥x +⎢1⎥u

-3-4⎣⎦⎣⎦y =[32]x

设计状态反馈控制器，使得闭环极点为−4和−5。

（3）极点配置是否会影响系统的稳态性能？若会的话，如何克服？试简单叙述之？ 解：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是系统状态能控。

（2） 由于给出的状态空间模型是能控标准形，因此，系统是能控的。根据所期望的闭环极点是−4和−5，可得期望的闭环特征多项式是

因此，所要设计的状态反馈增益矩阵是

相应的闭环系统状态矩阵是

闭环传递函数是

评分标准：问题（1）给出通过状态反馈实现任意极点配置的条件6分；问题（2）状态反馈控制器设计方法正确7分；问题（3）判断正确3分，叙述克服方法4分。

六、（10分）（1） 叙述线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理；

=⎢（2） 利用李雅普诺夫稳定性定理判断系统x

⎡-11⎤

⎥x 的稳定性。

0-1⎣⎦

=Ax 在平解：（1）连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理；线性时不变系统x

衡点x e =0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q ，存在一个对称正定矩阵P ，使得矩阵方程 A P +PA =-Q 成立。

T

离散时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理；线性时不变系统x (k +1) =Ax (k ) 在平衡点x e =0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q ，矩阵方程

A T PA -P =-Q

存在对称正定解矩阵P 。

（2）原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫方程 A T P +PA =-I

其中的未知对称矩阵

将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得

进一步将以上矩阵方程展开，可得联立方程组

应用线性方程组的求解方法，可从上式解出p 11、p 12和p 22，从而可得矩阵P ：

根据矩阵正定性判别的塞尔维斯特方法，可得

故矩阵P 是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

评分标准：问题（1）完整叙述线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理5分；问题（2）稳定性判断方法和结果正确5分。

《现代控制理论》复习题4

二、（15分）建立一个合理的系统模型是进行系统分析和设计的基础。已知一单输入单输出线性定常系统的微分方程为：

(t ) +4y (t ) +3y (t ) =u (t ) +6u (t ) +8u (t ) y

（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；（7分＋3分） （2）归纳总结上述的实现过程，试简述由一个系统的n 阶微分方程建立系统状态空间模型的思路。（5分） 解：（1）方法一： 由微分方程可得

令

每一个环节的状态空间模型分别为：

又因为y 1= u1， 所以

因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为：

对应的状态变量图为：

方法二：

由微分方程可得

每一个环节的状态空间模型分别为：

又因为y 1= u1， 所以

因此，采用串联分解方式可得系统的状态空间模型为：

对应的状态变量图为

（2）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是

若b n ≠ 0，则通过长除法，传递函数G (s ) 总可以转化成

将传递函数c (s )/a (s ) 分解成若干低阶(1阶) 传递函数的乘积，然后根据能控标准型或能观标准型写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。 三、（10分）系统的状态转移矩阵不仅包含了对应自治系统的全部信息，而且在线性控制系统的分析、设计中具有重要的作用。已知系统的状态转移矩阵如下：

⎡-2e -t +2e -2t

Φ(t ) =⎢-t

-2t

⎣2e -4e -e -t +2e -2t ⎤

-t -2t ⎥e -4e ⎦

（1）试给出对应自治系统的全部信息；（5分）

（2）试列举状态转移矩阵的基本性质，并简述其意义。（5分） 解：（1）一个自治系统的全部信息由其状态矩阵A 描述，可由状态转移矩阵Ф(t ) 确定一线性定常系统的状态矩阵A 。

(t ) =A Φ(t ) ，而 对任意的t ，满足Φ

(t ) =A Φ(t ) 取 t =0，并利用Ф(0)=I ，则可得状态矩阵A

对等式Φ

（2）状态转移矩阵的基本性质： Φ(0) =I ,

(t ) =A Φ(t ) ，包含对应系统自由运动的全部信息； Φ

对任意的t 和s ，满足Ф(t +s )= Ф(t )·Ф(s ) ，即利用状态转移矩阵可以从任意指定的初始时刻t 的状态x (t ) 出发，以确定任意时刻t 处的状态x (t ) ；

对任意的t ，满足Ф(t ) = Ф(-t ) ，即可以由当前的状态信息确定以前的状态信息。

四、（20分）实际被控系统通常是连续时间系统，但计算机控制却是一种基于离散模型的控制，因此一种方法是对连续时间系统做离散化。那么请问 （1）一个能控能观的连续时间系统，其离散化后的状态空间模型是否仍然保持能控能观性？（2分）

-1

=⎢（2）以如下线性定常系统为例： x

支持你的观点。（10分）

⎡01⎤⎡1⎤

x +u ⎥⎢⎥

⎣-10⎦⎣0⎦

y =[01]x 说明你的理由以

⎡x 1(0) ⎤⎡1⎤

=⎢⎥为，求u (k ) ，使得（2）中离散化状态空间模（3）令采样周期T =π/2, 初始状态⎢⎥

⎣x 2(0) ⎦⎣1⎦

型在第2个采样时刻转移到原点。（8分） 解：（1）不一定。

（2）连续系统的状态空间模型是能控标准形，故系统是能控的。将状态方程离散化，设采样周期为T ，系统的状态转移矩阵为

根据，G (T ) =e

AT

=Φ(T ) , H (T ) =⎰e A σd σ 可得到离散化状态方程，此时

T

因此，离散化状态空间模型为

则离散化系统的能控性矩阵为

所以，当sin2T =2sin T，即T = k π (k =0,1,2,…) 时，离散化系统是不能控的；当T ≠k π (k =0,1,2…) 时，离散化系统是能控的。同理，离散化系统的能观性矩阵为

所以，sin T =0，即T = k π (k =0,1,2,…) 时，离散化系统是不能观的；当T ≠k π (k =0,1,2…) 时，离散化系统是能观的。因此，一个能控能观的连续时间系统，其离散化后的状态空间模型不一定仍然是能控能观的，主要取决与采样周期T 的选择。 （3）当采样周期T =π/2时，离散化状态空间模型为

可得

将式(a)代入式(b)得

即

整理可得

五、（10分）证明：状态反馈不改变被控系统的能控性。 证明一：采用能控性定义证明，具体见教材P125.

证明二：考虑被控系统（A , B , C , D ），则状态反馈后得到闭环系统S K ，其状态空间模型为

开环系统S 0的能控性矩阵为

闭环系统S K 的能控性矩阵为

由于

以此类推，(A -BK ) m B 总可以写成A m B , A m -1B , AB , B 的线性组合。因此，存在一个适当非奇异的矩阵U ，使得

由此可得：若rank (Γc [A , B ])=n ，即有n 个线性无关的列向量，则Γck [(A -BK ), B ]也有n 个线性无关的列向量，故rank (Γck [(A -BK ), B ])=n ，命题得证。

六、（20分）双足直立机器人可以近似为一个倒立摆装置，如图所示。假设倒立摆系统的一个平衡点线性化状态空间模型如下：

其中，状态变量x =[y 上的动力。试回答

]T ，y 是小车的位移，θ是摆杆的偏移角，u 是作用在小车 θθy

（1）双足直立机器人在行走过程中被人推了一把而偏离垂直面，那么根据倒立摆原理，请问双足直立机器人在该扰动推力消失后还能回到垂直面位置吗？（2分）

（2）如果不能，那么请你从控制学的角度，给出两种能够使双足直立机器人在扰动推力消失后回到垂直面位置的方法。（4分）

（3）请结合倒立摆模型，简单叙述双足直立机器人能控性的含义。（4分）

（4）在状态反馈控制器设计中，需要用到系统的所有状态信息，但根据倒立摆原理，可测量的状态信息只有水平移动的位移y ，那么你有什么方法可以实现这个状态反馈控制器的设计？你所用方法的条件是什么？依据是什么？请结合倒立摆模型，给出你使用方法的实现过程。（10分）

答：（1）不能，因为倒立摆是一个开环不稳定系统；

（2）对于给定的倒立摆模型，是一线性时不变系统，因此可以用如下方法使双足直立机器人在扰动推力消失后回到垂直面位置（即稳定化控制器设计）：极点配置方法；基于李雅普诺夫稳定性理论的直接设计法；线性二次型最优控制器设计方法。

（3）当双足直立机器人由于受初始扰动而稍稍偏离垂直面位置时，总可以通过对其施加一个适当的外力，使得将它推回到垂直面位置（将非零的初始状态转移到零状态）。

（4）如果被控系统是状态能观的，那么通过设计（降维）状态观测器将不可测量状态变量观测输出，再应用线性定常系统的分离性原理，实现状态反馈控制器设计。结合倒立摆模型，则检验上述状态空间模型的能观性；系统完全能观，则对系统设计状态观测器（或对不可测

ˆ；应用线性定常系统的分离性原理，将状态反 , θ和θ 设计降维状态观测器）x 量子系统y

馈控制器u = -Kx 中的状态x 替换为观测状态，从而实现基于状态观测器的状态反馈控制器设

计。

使用方法的条件是：系统完全能观或不可观子系统是渐进稳定的； 使用方法的依据是：线性定常系统的分离性原理。

七、（15分）考虑线性定常系统和性能指标如下：

⎡01⎤⎡0⎤x =⎢⎥x +⎢1⎥u -10⎣⎦⎣⎦

y =[10]x

J =⎰

∞

(y 2+ru 2) d t

其中实数r >0为性能指标可调参数。试回答

（1）当参数r 固定时，求使得性能指标J 最小化的最优状态反馈控制器。（10分） （2）当参数r 增大时，分析闭环系统性能的变化。（5分） 解：（1）系统性能指标J 等价为

令正定对称矩阵

代入黎卡提矩阵方程

可得：

通过矩阵计算，得到：

进一步，可得下面三个代数方程：

据此，可解得：p 12=-r +

若取负值，则相应的矩阵P 不是正定的）

，r 2+r （这里取正值，

使得性能指标J 最小化的最优状态反馈控制器为：

（2）将上述最优控制律代入系统，得最优闭环系统状态矩阵

则闭环系统特征多项式为

可得最优闭环极点为

其中z =

r 2+r /r 。随着参数r 的增大，闭环极点越来越靠近虚轴，从而系统的响应速度

变慢。事实上，从性能指标也可以看出，参数r 的增大表明控制能量约束的加权越来越大，希望用较小的能量来实现系统的控制，显然由此导致的结果就是系统速度变慢。