第五届数理化大赛决赛数学试题及答案

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动年度总评

七年级数学解题技能展示试题

考生须知:

1.本试卷共15小题,满分120分总分

23.考试时间为.请在密封线内填写所属代表队150分钟.

.、

学校、年级、姓名和准考证号.一、选择题(每题6分,共36分,

每题只有本题得分评卷人

个选项是正确的)

1支出为.据新华社消息,1028亿元,2同比增长012年中央行政单位经费

合理推断,.如右图A 732,

4014%,占2012年度全国财政支出不到请据此这是圆桌正上方的灯泡212年度全国财政支出可能为(; B 51400; C(看作一个点 5100 0; D )

亿元.2%.)发出的光线6400

照射桌面后,在地面上形成阴影(圆形)的示意图的直径为1.2米,

桌面距离地面1米.若灯泡距离地面.已知桌面则地面上阴影部分的面积为(3米,.有A 202粒一包的糖果售价.2; B 2.22; C )4元,又有 平方米2.433;. D (π取值为2.53

5

)还有5.“530; B9元 .用54100元钱买上述糖果5粒一包的糖果售价,最多可以买(6元,A )

粒.0粒一包的糖果售价所得的商等于各位数字的平方和中国梦”代表一个各位数字均不相同的0; C 560; D 580

,那么这33位数,这个个数字的乘积为3位数能被(11整除,.已知A x18>;y B>z 5y4;+

C0. 0; D zx的取值范围是84 ).

(A (-2,-1,x+z=那么,/2); B/); ).C (-1,-1/2);

D ((--22,,1

-)1

a.ysPiiesrrneotsatirdue,”“.JuRsattnoanesaoifdu,s“WishtaetQllinagdrt

hseay

tsruisthn”ot.tQrauder”s.aSivde,n“sWaihdatP,“Wiehrarte12345s6

”,“”Ratnasasisnottrue.TanasaidWhatSvensasisnottrue.yyy

A 0; B 1; C 2; D 3

Howmanfthemweretellinhetruth?( ).yogt

”的促销方案,即任意选的3本书中,价7.某书店推出“3免1最少要付10本书,

元.

二、填空题(每题6分,共36分)

本题得分评卷人

格最低的那一本免费.如下表,如果你要购买A、则需付7如果你购买全部B、C这3本书,0元.

书名价格/

元

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

[***********]12

2)/8.已知(m+n-2013+|m-2n-9|=0,那么nm=

..

则四9.如右图,E、F分别是四边形ABCD的对角线AC和BD的中点.边形EFCD的面积与四边形ABCD的面积之比为

.

那么(10.如果不等式(4m-n)x+3m-4n

0的解为x

.

/不记这两个单位分数的顺序,12.将12013拆成两个单位分数的和,共有

种不同的拆法.

幻方每一行每一列及每13.右图是一个3×3幻方的局部图(

,求x的值.一条对角线上的三个数之和相等)

三、解答题

(每题1共46分,8分)

本题得分评卷人

法国皮诺向中国政府捐赠青铜鼠首和兔首.至此,流失海外的圆明园十二大14.2013年6月,水法中的兽首铜像已经回归了7件.如果剩余的5件最终均回归中国,那么理论上这5件兽首回归的顺序有多少种可能性?(如两件或两件以上同时回归,同时回归的不考虑顺序)

单位:厘米)15.三个家庭的成员的成年身高如下表所示(

父亲身高母亲身高儿子身高

166160176

170158177

180171190

母亲身高为1试推测姚小明 男生姚小明的父亲身高为226厘米,90厘米,(的成年身高.结果取整厘米数)

第五届 年度总评“七年级数学”答案

一、选择题（每题6分，共36分）

1 D

2 C

3 D

4 C

5 A

6 C

二、填空题（每题6分，共36分）

三、解答题（每题16分，共48分）

13.解 设中心数为y, 则其它位置的数大小如图所示。 列方程组

……………………………（每个方程6分，共12分）

解得y=2014  x= 4018   …………（4分）

（注：若的方程组形式不同，但式子、结果无误同样正确） 14．解：分类讨论

1）5件同时回来，1种；…………（1分）

2）4件同时回来，有两种情形4+1或1+4，5×2=10种；…………（2分） 3）3件同时回来，有

A)3+2或2+3，2C52=20种；…………（2分）

B)3+1+1,1+3+1,1+1+3,有3C53C21=60种 …………（3分） 4）2件同时回来，有

A)2+1+1+1;1+2+1+1,1+1+2+1,1+1+1+2, 4C52×3×2=240种；…………（4分）   B)2+2+1,2+1+2,1+2+2, 3 C 52C32=90种；…………（3分） 5）一件件回来，有A55=120种；…………（1分） 共计541种。

15.解：设儿子的身高为m,父母的升高为x,y,其关系式暂定为 （1）m=ax+by+c…………（6分） 将表中3组数值代入，得方程组 166a+160b+c=176…………（1分） 170a+158b+c=177…………（1分） 180a+171b+c=190…………（1分）

解得a=13/24,b=7/12,c=‐7.25. …………（6分） 将x=226,y=190代入（1）

可得姚小明身高为233厘米. …………（1分）

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动年度总评

八年级数学解题技能展示试题

考生须知:

1.本试卷共15小题,满分总分

2.考试时间为150分钟120分.3.请在密封线内填写所属代表队.

、

学校、年级、姓名和准考证号.一、选择题(每题6分,共36本题得分评卷人

分,

每题只有个选项是正确的)

1.已知a2-3a+1=0,那么4a2

-9a-2+A 3; B 5; C 3; D 1+9a

2=( )..世界运营里程最长高铁京广高铁于2012年12月26日全线开通运营.对于扩大中国高速铁路网、缩短城市间时空距离、促进区域经济社会协调发展具有重要意义.在设计之初,京广高铁设计有m个车站,为了满足沿途地区的经济发展和百姓出行,在实施阶段增加了n个车站(n>1票的种类增加了58种,那么原有车站的个数是( )),.

已知增加车站后客运车.如右A 图12,;五 B边形

A1B3C;D CE中 ,14; D ,15M0°、,ABN使=得BC=1,AE=DE=2.在∠ABC=120°∠B=∠E=△AMN的周长最小.则△、DE上分别找一点AMN的最小周长为( ,).

A ; B ; C

度假.暑假期间,

小红一家准备自驾车去,小红查地图及相关交通规定得到如右所示的路线图,其中八达岭为出发点,京东大峡谷为目的点,北京野生动物园、山水画廊、什刹海为可能经过的地点.若每条路线的里程

用((kam,b))及行驶的平均速度表示,b(km/h)

.

12394a

B 八达岭→北京野生动物园→京东大峡谷;

A 八达岭→山水画廊→京东大峡谷;

C 八达岭→什刹海→北京野生动物园→京东大峡谷;D 八达岭→北京野生动物园→什刹海→京东大峡谷

5.Theaveraeaeof33fifthradersis11.Theaveraeaeof55oftheirparentsis33.ggggg-?(Whatistheaveraeaeofalloftheseparentsandfifthraders ).ggg-A 22; B 23.25; C 23.75; D 24.75

,形成较小的角α,点P在∠不在l小明用下6.直线l∠α=60°α内(l.1与直线l2相交,1,2上)关于l然后再以l以l2的对称点P2,1为对称轴作P2关于l1的对称点P3,2为对称轴作P3关…,于l如此继续,得到一系列点P1,若Pn与P重合,则n的最P2,P3,Pn.2的对称点P4……,小值是( ).

A 5; B 6; C 7; D 8

本题得分

评卷人

面的方法作P的对称点:先以l再以ll1为对称轴作点P关于1的对称点P1,2为对称轴作P1

1,且

0q5为

.

二、填空题(每题6分,共36分)

33223

则a-28.若(20x+11ax+bxcxb+4c-8d=y)=y+y+dy,

1,m=0,ìïïn!*m

,1≤m≤,,对于组合数的定义为n,其中n!=1×2×9.m∈Nn∈NCn=í!()!n-mï

ï,0m>n,î

38-n3n

则C3×…×n,+C3n21+n的值是

.

.

其开根号后的整数部分都相等,则这510.若恰有连续55个正整数,5个正整数的算术平均数为

则称此直线为快乐线,下列3×9的格11.若一条直线至少通过三点,子点共可决定

平与铅直之距离都是1单位长)

(条快乐线.注:图中各行各列相邻的格子点水

.

;两底边长分别为4c且有一内角为6铁板乙形状为12.铁板甲形状为直角梯形,m,10cm,0°,等腰三角形,其顶角为4腰长1在不改变形状的前提下,试图分别把它们从一个直径5°2cm.为8结果是甲板.5cm的圆洞中穿过,

穿过,乙板

()穿过.填“能”或“不能”

评卷人

如下图所示,若将△A13.已知:△ABC为任意三角形,BC绕点C顺时针旋转1得到△D80°EC.

()试猜想A1E与BD有何关系?说明理由;

三、解答题(每题1共46分,8分)

本题得分

()请给△A使旋转得到的四边形A并说明理由.2BC添加一个条件,BDE为矩形,

为了便14.据了解,A市组织学生到北京参加全国中学生数理化学科能力展示活动年度总评,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需1已知带队教师与组织方工作21420元;0920元.人员的人数之比为2该市到北京的火车票价格(部分)如下表所示:∶1,

运行区间上车站A市

下车站北京

公布票价一等座(元)102

二等座(元)64

学生票二等座(元)50

于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上.根据报名人数,若都买高铁一等座单程火车票需

)参加年度总评的带队老师、组织方工作人员与学生各有多少人? (1

等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出;购买火车票的总费用(单程)能化简的要化成最简形式)y与x之间的函数关系式(多少钱?

()按第()小题中的购票方案,购买所有人的火车票(单程)至少要花多少钱?最多要花32

()由于各种原因,,二等座火车票单程只能买x张(其余的须买一2x小于参加活动人数)

5.在犹太教典籍《

塔木德》中,有一则“三妾分产”的故事婚书中向他的三位妻子许诺,死后将给三老婆币,大老婆100个金币.说的是一名富翁在,二老婆2没有6300个金币.可是富翁死后人们分割其遗产时,发现他的遗产根本00个金人们去找00个金币,那么他的三位妻子各应分得多少金币?“拉比”,拉比是犹太人中的博学之士,他们不仅研究犹太教律法,还担任民事法庭的法官,进行民事案件的裁决按常理,这三人得到的遗产比例应为.

有当遗产数为3这一比例才成1∶2立∶3.人,

而在犹太拉比的裁决中们不明白这个与常理相,只悖的方案是如何制订出来的00个金币时,,它背后是否有一个贯穿始终的分配原则?为此,

两千年来人们一直在寻求谜底《直到1才解开了这.

个谜,而解开这个谜的钥匙仍在《塔木甲乙都发誓自己拥有这件大衣的全部所有权塔木德损害部中门卷985年,

》德》里有则故事:甲乙二人共同抓着一件,法官会判定甲乙分别得到这件大衣来找法官,若.大衣的所有权,1则法官会判定甲拥有大衣的/2.若甲发誓自己拥有这件大衣的全部所有权,》并根据这个3/4,乙发誓自己拥有乙拥有故事1,/总4.

1/2

奥曼深入研究了《塔木德,结出古代犹太人解决财产争执的3个原则:①仅分割有争议财产,无争议财产不予分割;②宣称拥有更多财产权利一方最终所得不少于宣称拥有较少权利一方;最小者自成一组③财产争议者超过两人时,将所有争议者按照其诉求金额排序,,剩下所有争议者另成一组,争议财产在两组间公平分配请就以上资料将拉比财产分配方案表中空白部分填上相应数字.

.

遗产总额大老婆

二老婆

三老婆

120030000

75

50

1

第五届 年度总评 “八年级数学”答案

一、选择题（每题6分，共36分）

1 A

2 C

3 B

4 D

5 D

6 B

二、填空题（每题6分，共36分）

7 35

三、解答题（每题16分，共48分）

13.解：（1）AE∥BD，且AE=BD．………………（每个1分，共2分） 理由如下：

∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△DEC， ∴△ABC≌△DEC，

∴AB=DE，∠ABC=∠DEC， ∴AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE∥BD，且AE=BD；………………（8分） （2）AC=BC．………………（2分） 理由如下： ∵AC=BC，

∴根据旋转的性质推知AC=BC=CE=CD， ∴AD=BE，

又由（1）知，四边形ABDE是平行四边形， ∴四边形ABDE为矩形．………………（4分）

8 -8

9 466

10 756

11 44

12 不能；能

14．解：设参加活动的工作人员有m人，学生有n人，则老师有2m人，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得： ．．．．．

102(3mn)21420

…………..（每个方程2分，共4分） 

643m50n10920

m10解得 则2m20 

n180

则参加年度总评的老师、工作人员与学生各有20、10与180人．………………（2分） （2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，

①当180x＜210时，最经济的购票方案为：

（x180）名成年人买二等座火车票，(210x)名成年学生都买学生票共180张，

人买一等座火车票．

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：

即y38x18900 （180x＜210）………………………………………………（1分） ②当0＜x＜180时，最经济的购票方案为：

一部分学生买学生票共x张，其余的学生与工作人员和老师一起购买一等座火车票共

(210x)张．

∴火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式为：

y50x102(210x)………………………………………………………………………………（2分）

即y52x21420 （0x180）……………………………………………………（1分）

（3）由（2）小题知，

当180x＜210时，y38x18900，由此可见，当x209时，y的值最小，

最小值为10958元，当x180时，y的值最大，最大值为12060元．………………（2分）

当0＜x＜180时，y52x21420，由此可见，当x179时，y的值最小，最小

值为12112元，当x1 时，y的值最大，最大值为21368元．…………………………（2分）

所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花10958元，最多要花21368元．

15.解： 遗产总额 100 200 300

大老婆

33.3………(3分) 75

150…………(1分)

二老婆

33.3………(3分) 75…………(2分) 100…………(1分)

三老婆

33.3………(3分) 50…………(3分) 50

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动年度总评

九年级数学解题技能展示试题

考生须知:

1.本试卷共15小题,满分总分

3.考试时间为.请在密封线内填写所属代表队150分钟.

120分2.、

学校、年级、姓名和准考证号一、选择题(.每题本题得分

评卷人

个选项是正确的)

6分,共36分,

每题只有1前面

、后面.水平放置的正方体的六个面分别用“

、上面、下面、左面、右面”表示若图中的“的前面是(1在正方体的后面.右图是一个正方体的表面展开图,,则此正方体.7A 条长度均为整数厘米的线段2; B).

” 0; C 快;:a D 乐

1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,满足a1

4

1长3厘米).;为 C 8厘米; D

厘米

若在每一边的两个三等分点中3的正三角形,如右图所示.,各选取一点连成三角形,则下列哪个选项是正确的?(BA 依此方法可能连成的三角形一共有 )

C 这些可能连成的三角形中,

恰有 这些可能连成的三角形中,

恰有3个是直角三角形8个;

;恰有.eD 这些可能连成的三角形中,

alnumbersxandysatisfytheequa13个是钝角三角形;个是正三角形+Rtionx2+y2

y?(

).=10x-6y-3

4.Whatis.如A 右图1;,

B将一张 三2;角 C形纸 3

片沿虚线剪成甲、乙、丙三块,其中甲、丙为梯形,乙为三角形.根据图中标示的边

九年级数学试卷 共4页 第1页

1a23x45

长数据,比较甲、乙、丙的面积大小,下列选项中正确的是( ).

乙>丙;乙

丙C 甲丙;乙乙, B 甲>乙,

开机加热时每分钟上升6.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序:

加热到1水温开始下降,此时水温(与开机后10℃,00℃后停止加热,℃))用时(成反比例关系,直至水温降至3饮水机关机.饮水机关机min0℃,后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为3接通电源后,0℃时,的水,则接通电源的时间可以是当天上午的( ).

))水温y(和时间x(的关系如右图,为了在上午第一节下课时(℃)min8:45A 7:20; B 7:30; C 7:45; D 7:50

本题得分

评卷人

小东班上感冒的同学很多,某星期当中,周一7.季节变换时,

有9人请病假,周二有7人请病假,周三有1周四1人请病假,

人

.

二、填空题(每题6分,共36分)

有8人请病假,若这四天中共有2则这四天中,每天都缺席的学生最多有0人请过病假,有18.如右图,1个边长为1公分相连的小正方形放置在一个大正方形内,则大正方形的边长为

12

),和B(若其9.二次函数y=ax+bx+c的图象经过点A(3,6-,6)

2

公分.

y=

则函数的具体表达式为与x轴的两个交点C,D的距离满足|CD|=,.

…,若a10.九个连续正整数自小到大排成一个数列aaaaaaa1,2,9,1+3+5+7+9为一平方为了保密,许多情况下可采用不11.右图是一组密码的一部分.

同的密码,请你运用所学知识找到破译的“钥匙”目前,已破译出.

,破译

数,则这九个正整数之和的最小值是

aaaa2+4+6+8为一立方数,

.

,你找到的密码钥匙是y)

“正做数学”的真实意思是

“期末考试”的真实意思是“努力发挥”若“今”所处的位置为(.x,

.

在1每个小方格都是边长为1的小12.如右图,0×10的网格中,正方形,每个小正方形的顶点称为格点.

若抛物线经过图中的三个格点,则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,若抛物线与网.格对角线O且这两个交点与抛物线的B的两个交点之间的距离为,顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点,则满足上述条件且对称

踿踿踿踿踿踿踿

轴平行于y轴的抛物线有条.

九年级数学试卷 共4页 第2页

,13.已知,△ABC外接于☉O,∠BAC=60°AE⊥BC,CF⊥

三、解答题(每题1共46分,8分)

本题得分评卷人

点D为弧B连接HD

,AB.AE,CF相交于点H,C的中点,

AD.

求证:△AHD为等腰三角形

.

中国羽毛球队实现“苏迪曼杯”历史上14.2013年5月26日,首个“五连冠”的壮举,这也是中国队在苏杯史上的第9冠,其中男子运动员谌龙5战全胜,为中国夺冠立下了汗马功劳.在

一次比赛中,谌龙在离地面4米的F点处发球,球的运动轨迹FEN看作一个抛物线的一部

3分,当球运动到最高点E时,其高度为3米,离谌龙站立地点O的水平距离为5米,球网BC离点O的水平距离为6米,以点O为圆点建立如图所示的坐标系,印度男子运动员卡什亚普站)立地点D的坐标为(d,0.

()求抛物线的解析式(;不要求写自变量的取值范围)1

()求羽毛球落地点N离球网的水平距离(;即NC的长)2

失球,求d的取值范围.

()卡什亚普原地起跳后可接球的最大高度为2若卡什亚普因为接球高度不够而3.4米,

九年级数学试卷 共4页 第3页

想多带一些纪念品给同学,但又不想超出免费行李15.小明从美国旅行回来,

免费托运的行李数为两件,每件箱体三边之和不超过1但两件之和58厘米,)不得超过2每件最大重量不得超过373厘米,2公斤.

(的规定.按中国民航的《国际旅客须知》中有关规定:经济和旅游折扣票价,

((1

2))理论上按规定的两个箱子的长按第(1

)问所得的箱子的规格,、适合托运还是随身携带宽、高各为多少可达最大体积?为什么??九年级数学试卷 共4页 第4页

第五届 年度总评“九年级数学”答案

一、选择题（每题6分，共36分）

1 D

2 B

3 A

4 B

5 D

6 D

二、填空题（每题6分，共36分）

（注：填空11题的第一个空不要求一字不差，意思对即可） 三、解答题（每题16分，共48分）

13．

证明：

连接OD，延长AO交圆O于G，连接GC，取AC中点M，连接OM.

QA、B、G、C四点共圆，412…………………………………（4分） 易得OM与GC平行，43…………………………………（3分） 在直角三角形AFC中，

QAFC90。，FAC60。

1

ACAM，AFH≌AMO, 2

AHAO.…………………………………（5分） AF

又QAOOD,OD∥AH,四边形AHDO为菱形，AHD为等腰三角形. …………………………………（4分）

14.解:（1）设抛物线解析式为ya(x5)+3，

2

15.解 :（1）设长、宽、高分别为a,b,c 显然a0,b0,c0. 若a+b+c一定（≤158）,

根据abc,当且仅当abc 时等号成立，因此箱子为正方体时体积最大。 …………………………………（2分）

设两个正方体箱子的边长分别为a,b (a0,b0). 由条件知3(ab)273，为求最大取等号，故得 ab91.…………………………………（2分）

912

), 显然，设f(a)ab ,将b91a代入f(a) ，则f(a)273(a91a3

3

3

2

当a

91

时，有最小值，且 2

91912

fmin(a)f(273188392.75.

212

[**************]

且ab91，即a ，b [**************]

的条件下求f(a)的最大值，而，于是得 两个箱子的边长分别为厘米

2363

115和厘米时，其体积之和为最大。即为：

3

根据题意及上述，要在0a

……………………………………………………………………………………（8分）

(注：此问可以不必算到近似值，算出答案

无需扣分)

（2）答：按（1）所得的箱子的规格更适合托运。……………（2分）

原因：很多货运箱的形状与手提行李箱相比，近似于正方体，因为货运箱可更多地考虑其容积问题。…………………………………（2分） (注：第根据回答情况，酌情给分)

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动年度总评

高一数学解题技能展示试题

考生须知:

1总分

2.本试卷共满分.考试时间为15小题,150分.3.请在密封线内填写所属代表队150分钟.

、

学校、年级、姓名和准考证号.一、选择题本题得分评卷人

(每小题6分,共36分,

每题只有1个选项是正确的)

与最小值之差为.关于x的不等式x2( )-.

ax-2a2

则a的最大值.设函数A 3;f B 6; C 9; D 10

0(x)则函2(x=|x|,1(x)=|0(x)-1|,2(x)=|x)-2|,数A )的图象与5; Bxf轴所围成图形中的封闭部分的面积是ff( 6; C f

1()..x3已知x,y∈R,且+1 2x7-; D 8y=8

({

sin0,3+3sinx-x,y=,则在平面直角坐标系中,点y.圆锥的轴截面A )对应的轨迹图形为一个点; BSAB 两个点( ;).2

是边长为 C2 三个点;的等边三角形 D 除,O为底面中心A、B、C外的其他图形,M为SO的中点,动点P在圆锥底面内(包括圆周).若AM⊥MP度为( ),则P点形成的轨迹的长;.

.JoA andBl B ; C 3; D

3

2

“a1idb,2ytheoatihretrakpeertsuornns.Jcosountatirntsbgf

ryosm1ayintgoo“1nem”,soBoreltaihranfotllhoewlsbastynusamyibnerg.常用对数表是指通过计算得出从A ”.Jo3t;h Bensay

s5“1; C,2,3”, an6d;s D oon.W1开始各个整数的常用对数8

hatisthe53rdnumbersaid?( ).,

所编排成的表格找.25.使用方法如下:再横行找“7”为4①整数部分是一位非零数字的099,修正值(表中未给出)“3.”为如l5g.2

所.5以73lg:在第2

.571列3=g4(21.0547;3②整数部分不是一位非零数字的×104

)=lg2.573+4=4 .4104;l.用科学记数法表示g0.002573=lg(

2..如573×1lg2

057-330)==高一数学试卷共4页 第1页

2f

3415s60l

)正小数部分查表,整数部分决定小数点的位置.l2.573+(-3=-2.5896;③查反对数时,g

6

()如6查出0则6.4104:.4104=l.573..4104=l.573+6=l2.573×10=l573000.g2g2gg2

N

1

2

3

4

5

6

7

8

9

101125︙

[1**********]9︙

[1**********]7︙

[1**********]4︙

[1**********]1︙

[1**********]8︙

[1**********]5︙

[1**********]2︙

[1**********]9︙

[1**********]6︙

[1**********]3︙

3.032

最接近下列哪一个选项?( 请问10 )

A 101; B 201; C 1007; D 1076

纯甲醛的容器里倒出1升,然后填满7.从盛满m升(m>1)水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,如此循环,第n次操.8.不超过2013的只有三个正因数的正整数的个数是作后溶液的浓度是

.

二、填空题(每题8分,共48分)

本题得分评卷人

的圆周上

.

→则→·→→·→…→·→)从整点i到整点(的向量记作i+1ttttt+tt.ii+1,1223+2334+12112=放射出同一种辐射.已知A、10.有A、B、C三种放射性物质,B、C每克分别会释放出1单位、2…,整点1,9.手表的表面在一平面上.2,12这12个数字等间隔地分布在半径为

111单位、又知A、一年1单位的辐射强度,B、C每过半年其质量分别变为原来质量的、、倍.

234

前测得此矿物的辐射强度为6而半年前测得此矿物的辐射强度为2且目前此矿6单位,2单位,物的辐射强度为8单位,则目前此矿物中A、B、C物质的质量之和为

第1列16

第2列1418…2

第3列1220284

第4列1022266

11.将正偶数按下表排列

克.

第1行第2行第3行…

第5列8

24

π22

,是偶函数,且-π则满足条件的实12.已知f(x)=sin+α-x)+cos-α-x)

数α有个.

22

-x+x,()设为实数函数13.aafx=2+2.+x-x

则2014在第

行第

列.

三、解答题(每题2共62分,6分)

本题得分评卷人

()当a=1时,判断f(的单调性;1x)

]()求实数a的范围,、(使得对于区间[上的任意三个实数r、两两可以相2-st

高一数学试卷 共4页 第2页

,、)、)同)都存在以f(为边长的三角形.r)stf(f(

.已知数列{(1)若ana}满足1=1,求a|2a1013的取值范围-a2|+|a2-;

a3|+…+(2)若数列{bn}满足bk=(a1b1-b2|+|b2-b+a2+a3+…求证:|3|+…+|b2012-b2013

|2012-a2013|k)

(其中k=2012..,…,2013).14|a=20131,a2,3+≤

5.对于集合M,定义函数fM(x)=

{

集合1-,1,x∈Mx∉M.

,

对于两个集合M,N,

定义,8,1M(6Δ}N={x|fMx.(

)·fN(x)=-1}.已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,Card((12))写出用CafArd((1M)和)表f示B(1有)限的值集,合并用列举法写出集合AΔBM所含元素的个数,求C;ard(XΔA)+

(3X)ΔB有多少)的最小值个集合;对(P,Q),满足P,Q⊆A∪B且(PΔAΔB?

)Δ(QΔB)=

14A

第五届 年度总评“高一年级数学”答案

一、选择题（每题6分，共36分）

1 B

2 C

3 A

4 B

5 D

6 D

二、填空题（每题8分，共48分）

三、解答题（每题22分，共66分）

13．解：易知f(

x

)的定义域为(1,1)，且f(x)为偶函数.

， （1）当a1时， f(x)

x的函数t在(1,0)上单调递增，在

(0,1)上单调令t

递减，又定义域为（-1,1），

t(0,1]，而yt在(0,1]上单调递减，

由复合函数的单调性可知，f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增； ………………………………………………（6分）

1t

1

（2）t，，Qx[,t[,1]， 553a1

yt(t1)

t3

从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间[,1]上，恒有………………………………………………（3分）

①当a0时，yt(t1)，ymin

13

2yminymax.

131

,ymax1，2yminymax，不符合题意； 3

………………………………………………（2分） ②当0a

1a1

时，yt在[,1]上单调递增， 9t3

1111

ymin3a,ymaxa1,2yyaa

315159

③当

11a1

a时，yt

在[

上单调递减，在]

上单调递增， 93t3

1

yminymaxmax{3a,a1}a1

3

由2ymin

11

a

3；……………（2分） 

ymax得7a7，从而9

1a1

yt

[

a1

t在3时，上单调递减，在]

上单调递增， ④当3

11

yminymaxmax{3a,a1}3a

33，

771

aa1

ymax得99，从而3；…………（2分）

a1[,1]

t在3上单调递减，

由

2ymin

⑤当a1时，

yt

155

a1aymina1,ymax3a,2yy

max得3由min3，从而3；…………（2分）

⑥当a0时，

yt

a1

[,1]

t在3上单调递增，

11

aymin3a,ymaxa1,2yy

max得315，从而a不存在；…………（2分） 由min

15

a

3.…………（1分） 综上，15

14.解： （1）

|a2013a1||a20131|2013

2012a20132014…………………（4分）

（2）由已知

(k1)bk1a1a2ak1 ………………①

kbka1a2ak…………②

111

11

[kak1(a1ak)][(ak1a1)(ak1a2)(ak1ak)]

k(k1)k(k1)…

…………………………………………………………………………（4分）

bk1bk

即

1

[((ak1ak)(akak1)(a2a1))

k(k1)

((ak1ak)(akak1)(a3a2))(ak1ak)] 

12k(a2a1)(a3a2)(ak1ak)

k(k1)k(k1)k(k1)

…………………………………………………………………………（6分）

|b1b2||b2b3||bkbk1| |a2a1|(1

=

11111

|a3a2|2(L|a2012a2013|2012( [**************]13

|a1a2||a2a3||a2012a2013|

12|a2a1||a3a2|L|a2012a2013|)20132013

1

(|a2a1||a3a2|L|a2012a2013|)2013

2013 1

20132012……………………（8分） =2013

2013

(

15.解： （1）

fA(1)=1，fB(1)=-1AB{1,6,10,16}. …………（2分）

AB{1,6,10,16}. …………（2分）

（2）根据题意可知：对于集合C,X， ①

若

aC

且

aX

，则

Card(C(XU{a})Card(CX)1

；

AB{1,6,10,16}……………………(2分)

②若aC且aX，则Card(C(XU{a})Card(CX)1 ………………(2分) 所以 要使Card(XA)Card(XB)的值最小，2，4，8一定属于集合X；1，6，10，Card(XA)Card(XB)AUB

素.所以 当X为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，

Card(XA)Card(XB)取到最小值4. …………………（6分）

（3）因为

由定义可知：

AB{xfA(x)fB(x)1}

，所以 ABBA. ………………（2分）

fAB(x)fA(x)fB(x).所以 对任意元素x，

，

.

f(AB)C(x)fAB(x)fC(x)fA(x)fB(x)fC(x)fA(BC)(x)fA(x)fBC(x)fA(x)fB(x)fC(x)

所以

f(AB)C(x)fA(BC)(x)

.所以 (AB)CA(BC).

由 (PA)(QB)AB知：(PQ)(AB)AB. 所以 (PQ)(AB)(AB)(AB)(AB). 所以 PQ.所以 PQ，即P=Q.

7

因为 P,QAUB，所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为2128. ………（6分）

第五届全国中学生数理化学科能力展示活动年度总评

高二数学解题技能展示试题

考生须知:

1.本试卷共15小题,满分总分

2.考试时间为150分钟150分.3.请在密封线内填写所属代表队.

、

学校、年级、姓名和准考证号.一、选择题(每题6分,共36本题得分评卷人

分,

每题只有个选项是正确的)

1.定义运算:1aa2=a1a4-a2a将函数f(x)=个单位(m>0cosisn3a43,1

-x

x向左平移

π),所得图象对应的函数为偶函数,则m的最小值是(6; B ; C π; D 2 ).

A

3

π

很接近常态分布.甲、

乙两校有一样多的学生参加数学能力测验,两校学生测验成绩的分布都,其中甲校学生的平均分数为5分,

5分.若用实线表示甲校学生成绩分布曲线60分,标准差为10分;乙校学生的平均分数为;虚线表示乙校学生成绩分布曲线6标准差为,则下列哪一个分布图较为正确?(

)A︵.BCitiesA,B,C,Daniffe,A︵Drentr,A︵Eoutes,B︵dEareconnectedbyr

oadsCaret,B︵Dhere,C︵DandD︵E.Howmanyoadexactlnce?(SuchafrrooumtewAtilolBnectehsastuarisleeiach

omeA citi7esmyo; Boret h9ano; Cnce. )(yvsit1 2; D )

16m123rsd

→·→0≤PA≤1,→→),),动点P(满足则点Q(4.向量A=(1,0OB=(1,1O为坐标原点,x,xy)→·→,0≤PB≤2

{

构成的图形的面积为(+ ).y,y)

)使|当点P在椭圆C上运动时,点Q的轨迹的离心率的取值范围为Q,HQ|=λ|PH|(λ≥1.( ).

;;))

A (0] B ] C ,1; D ,1

22

x,作椭圆C的右准线的垂线PH(延长PH到点5.椭圆C:+=1上任一点P,H为垂足)3A 2; B 4; C 8; D 16

(内,方程|6.在(-∞,+∞)x+|x-cosx=0 ).

C 有且仅有两个实根;

D 有无穷多个实根

A 无实根; B 有且仅有一个实根;

2

)方程x7.a是实数,+(4+ix+4+ai=0的一个实根是b

二、填空题(每题8分,共32分)

本题得分评卷人

(,则|i是虚部单位)a+bi|的值为.

→→→→→→,若|且A8.在△ABC中,AB|=2,|AC|=3,|BC|=4,O为△ABC的内心,O=λAB+μC,含第一象限x,其运动规9.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(y轴上的整点)()点,则有6,2

律为(或(若该动点从原点出发,经过6步运动到m,n)→(m+1,n+1)m,n)→(m+1,n-1).

种不同的运动轨迹.

则λ+μ=

.

所得旋转体10.分别以直角三角形的两条直角边a,b和斜边c为轴将直角三角形旋转一周,

22

的体积依次为Va,则VaVb,Vc,+Vb

2

((““)填“或“2Vc).>”

神舟十号于211.(15分)013年6月26日成功完成预定任务

三、解答题(共82分)

本题得分评卷人

并返回地球.已知从“神十”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究

所进行该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,每次实验结果相互独立.假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失败的.若该研究所共进行四次实验,设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝对值.

()求随机变量ξ的数学期望E1ξ;

概率P(A).

()记“关于x的不等式ξ为事件A,求事件A发生的2x2-x+1>0的解集是实数集R”ξ

、为加快环渤海经济圈周边城市的发展,在北京(以下用B表示)天津(以下用T表12.(11分)示)两城市的周边修建了城际轻轨,假设15km为一个单位距离,B、T两市相距8个单位距

()建立直角坐标系,求城际轻轨所在曲线E的方程;1

离,设城际轻轨所在的曲线为E,使轻轨E上的点到B、T两市的距离之和为10个单位距离.

()若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N,使M、2N、T三点在一条直线上,()在B、,的笔直公路l直线l与曲线E交于3T两城市之间有一条与BT所在直线成45°

并且BM+BN=1求M、2个单位距离,N之间的距离有多少个单位距离?求四边形PP,Q两点,BQT的面积的最大值.

2013

…,)为首项,以1+x为公比的等比数列.bbbx+1x1,2,2013是以b1=(

x

22122013

…,)以x为公差的等差数列;aaax+1x0-1为首项,1,2,2013是以a1=(

+x)20142013

设x∈N满足13.(16分)

x2013

2

求证:bab1

x

已知函数f(14.(20分)x)=2ae+1,x)=lnx-lna+1-ln2,其中e=g(

函数的图象与直线y=1交点处的切线为l且llx)l1,2,1∥2.y=g(

函数y=f(的图象与坐标轴交点处的切线为2.718…,a为大于零的常数,x)

()若闭区间[]上存在x使不等式x-m>求实数11,5x)-成立,(()对于函数y=f(和y=g(公共定义域内的任意实数x我们把2x)x)0,

m的取值范围;

在其公共定义域内的所有偏差都大于2.x)g(

求证:函数y=f(和y=|x-g(x|的值称为两函数在xx)0)0)0处的偏差.f(

高二数学试卷共6页 第5页

…,设集合S若X是Sn的子集,把X中所有数的和称为X的“容量”15.(20分)1,2,n}.n={(),空集的容量为0若X的容量为奇(偶)数,则称X为奇(偶)子集.

()求证:1Sn的奇子集与偶子集个数相等;

()求证:当n≥3时,2Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和;()当n≥3时,求S3n的所有奇子集的容量之和.

高二数学试卷共6页 第6 页

第五届 年度总评“高二年级数学”答案

一、选择题（每题6分，共36分）

1 A

2 A

3 D

4 A

5 C

6 C

二、填空题（每题8分，共32

分）

三、解答题（共82分，其中11题15分，12题11分，13题16分，14题,15题分别20分） 11．解：由题意知的可能取值为0，2，4

“0”指的是实验成功2次，失败2次.

124213

()(12P(0)C43381………………………………………(2分)

“2”指的是实验成功3次，失败1次或实验成功1次，失败3次.

140131311()(1C4(1)3P(2)C4333381………………………………(2分) “4”指的是实验成功4次，失败0次或实验成功0次，失败4次.

1174140(C4(14P(4)C43381………………………………………(2分) E0

401714824

2481818181………………………………………(1分)

148

. 81

故随机变量的数学期望为

（2）由题意知：“不等式xx10的解集是实数R”为事件A.

当0时，不等式化为1>0，其解集是R，说明事件A发生；

……………………(2分) 当2时，不等式化为2x2x10

40，所以解集是R，说明事件A发生；

………………………………(2分)当4时，不等式化为4x4x10(2x1)0其解集xxRx

2

2

2

2

1， 2

说明事件A不发生.

…………………………………………………………………(2分)

∴P(A)P(0)P(2)

244064



818181…………………………………(2分)

13.解：首先， ai(x1)x

2

2012

1(i1)x2013，

bi(x1)x2013(

1xi1

(x1)ix2014i。 x

1xi

bi1bix2013(x

由于a1b1x

2013

x20121x2013，即i=1成立。

假设 1i2012成立，

则ai1bi1(ai1ai)(bi1bi)(aibi)x

2013

x2013(

1xi

(aibi) x

1x2031

)(aibi)x2013(aibi) x201312013i12014(i1)

x2013x2013x2013。

[1**********]3

所以，aibi,i1,2,,2013。

x2013x2013(

…………………………………………(8分)

归纳证明bi1ai,i1,2,,2012，首先 b2a110，假设 1i2012成立， 则

bi2ai1(bi2bi1)(ai1ai)(bi1ai)

x2013(

1xi1

x2013(bi1ai)0。 x

…………………………………………(4分)

故命题成立。

14、解：

（1）函数yfx的图像与坐标轴的交点为0,2a1,

又fx2ae,f02a.

x

函数ygx的图像与直线y1的交点为2a,1, 又gx

11,g2a. x2a

11

由题意可知,2a,a2,

2a41

又a0,所以a.

2

xfxx可化为mxxfxx,

不等式xm即mx令hxx

xex.

1x

xex,则hx1xe,

2x1

x0,

2x

x2.

又x0时,ex1,

1x

xe1,

2x

故hx0,

hx在0,上是减函数,

即hx在1,5上是减函数,

因此,在闭区间1,5上,若存在x使不等式xm只需mh11e,

所以实数m的取值范围是,1e.

……………………………………………………(8分)

(2)证明:yfx和ygx公共定义域为0,,由(I)可知,a

xfxx成立,

1. 2

fxgxexlnx.[来源:学科网]

令qxex1,则qxe10,

x

x

qx在0,上是增函数,

故qxq00,即ex1x.① 令mxlnxx1,则mx

1

1, x

当x1时,mx0;当0x1时,mx0,

mx有最大值m10,因此lnx1x.②

由①②得ex1lnx1,即exlnx2. 又由①得exx1x, 由②得lnxx1x,

exlnx,

fxgxexlnx2,

故函数yfx和ygx在其公共定义域内的所有偏差都大于2.

………………………………………………………………………………………………(12分)

15．

证明：⑴ 对于Sn的每个奇子集A，当1∈A时，取B=A\{1}，当1A时，取B=A∪{1}，则B为Sn的偶子集.反之，若B为Sn的偶子集，当1∈B时，取A=B\{1}，当1B时，取A=B∪{1}，于是在Sn的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应，故Sn的奇子集与偶子集的个数相等. ………………………………………………………………………………（6分）

n-1

⑵ 对于任一i∈Sn，i>1，含i的Sn的子集共有2个，其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而每个数i，在奇子集的和与偶子集的和中，i所占的个数是一样的.

而对于元素1，只要把Sn的所有子集按是否含有3配对(即在上证中把1换成3来证)，于是也可知1的奇子集与偶子集中占的个数一样，于是可知每个元素都是在奇子集中与偶子集中占的个数一样.所以Sn的所有奇子集的容量的和，与所有偶子集的容量的和相等.

…………………………………………………………………………………… (8分)

n-2

⑶ 由于每个元素在奇子集中都出现2次，故奇子集的容量和=(1+2+3+…n-2n-3

+n)×2=n(n+1)×2．

…………………………………………………………………………………… (6分)