二元一次方程组和一元一次不等式的应用
二元一次方程组及不等式的综合应用
崔莹莹2016-6-11
2.(2015•广东省, 第22题,7分)某电器商场销售A ,B 两种型号计算器,两种计算器的进货价格分别为每台30元,40元. 商场销售5 台A 型号和1台B 型号计算器,可获利润76元;销售6台A 型号和3台B 型号计算器,可获利润120元.
(1)求商场销售A ,B 两种型号计算器的销售价格分别是多少元?(利润=销售价格﹣进货价格)
(2)商场准备用不多于2500元的资金购进A ,B 两种型号计算器共70台,问最少需要购进A 型号的计算器多少台?
【答案】解:(1)设A ,B 型号的计算器的销售价格分别是x 元,y 元,得:
⎧x =42⎧5(x -30) +(y -40) =76. ,解得⎨⎨y =566(x -30) +3(y -40) =120⎩⎩
答:A ,B 两种型号计算器的销售价格分别为42元,56元.
(2)设最少需要购进A 型号的计算a 台,得
30a +40(70-a ) ≥2500,
解得a ≥30. 答:最少需要购进A 型号的计算器30台. 【考点】二元一次方程组和一元一次不等式的应用(销售问题).
【分析】(1)要列方程(组),首先要根据题意找出存在的等量关系,本题设A ,B 型号的计算器的销售价格分别是x 元,y 元,等量关系为:“销售5 台A 型号和1台B 型号计算器的利润76元”和“销售6台A 型号和3台B 型号计算器的利润120元”.
(2)不等式的应用解题关键是找出不等量关系,列出不等式求解. 本题设最少需要购进A 型号的计算a 台,不等量关系为:“购进A ,B 两种型号计算器共70台的资金不多于2500元”.
6.(2015·四川甘孜、阿坝,第26题8分)一水果经销商购进了A ,B 两种水果各10箱,分配给他的甲、乙两个零售店(分别简称甲店、乙店)销售,预计每箱水果的盈利情况如下表:
甲店
乙店 A 种水果/箱 11元 9元 B 种水果/箱 17元 13元
(1)如果甲、乙两店各配货10箱,其中A 种水果两店各5箱,B 种水果两店各5箱,请你计算出经销商能盈利多少元?
(2)在甲、乙两店各配货10箱(按整箱配送),且保证乙店盈利不小于100元的条件下,请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案,并求出最大盈利为多少?
考点: 一元一次不等式的应用..
分析: (1)经销商能盈利=水果箱数×每箱水果的盈利;
(2)设甲店配A 种水果x 箱,分别表示出配给乙店的A 水果,B 水果的箱数,根据盈利不
x +B 种水果甲店盈小于110元,列不等式求解,进一步利用经销商盈利=A 种水果甲店盈利×
x ;列出函数解析式利用函利×(10﹣x )+A 种水果乙店盈利×(10﹣x )+B 种水果甲店盈利×
数性质求得答案即可.
11+5×17+5×9+5×13=5×50=250; 解答: 解:(1)经销商能盈利=5×
(2)设甲店配A 种水果x 箱,则甲店配B 种水果(10﹣x )箱,
乙店配A 种水果(10﹣x )箱,乙店配B 种水果10﹣(10﹣x )=x 箱.
∵9×(10﹣x )+13x ≥100,
∴x ≥2,
经销商盈利为w =11x +17•(10﹣x )+9•(10﹣x )+13x =﹣2x +260.
∵﹣2<0,
∴w 随x 增大而减小,
∴当x =3时,w 值最大.
甲店配A 种水果3箱,B 种水果7箱.乙店配A 种水果7箱,B 种水果3箱.最大盈利:﹣2×3+260=254(元).
点评: 此题考查一元一次不等式的运用,一次函数的实际运用,找出题目蕴含的不等关系与等量关系解决问题.
7.(2015·山东潍坊第19 题9分)为提高饮水质量,越来越多的居民选购家用净水器.一商场抓住商机,从厂家购进了A 、B 两种型号家用净水器共160台,A 型号家用净水器进价
B 型号家用净水器进价是350元/台,是150元/台,购进两种型号的家用净水器共用去36000
元.
(1)求A 、B 两种型号家用净水器各购进了多少台;
(2)为使每台B 型号家用净水器的毛利润是A 型号的2倍,且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元,求每台A 型号家用净水器的售价至少是多少元.(注:毛利润=售价﹣进价)
考点: 一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用..
B 种型号家用净水器购进了y 台,分析: (1)设A 种型号家用净水器购进了x 台,根据“购
进了A 、B 两种型号家用净水器共160台,购进两种型号的家用净水器共用去36000元.”列出方程组解答即可;
(2)设每台A 型号家用净水器的毛利润是a 元,则每台B 型号家用净水器的毛利润是2a 元,根据保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元,列出不等式解答即可. 解答: 解:(1)设A 种型号家用净水器购进了x 台,B 种型号家用净水器购进了y 台, 由题意得
解得. , 答:A 种型号家用净水器购进了100台,B 种型号家用净水器购进了60台.
(2)设每台A 型号家用净水器的毛利润是a 元,则每台B 型号家用净水器的毛利润是2a 元,
2a ≥11000, 由题意得100a +60×
解得a ≥50,
150+50=200(元).
答:每台A 型号家用净水器的售价至少是200元.
点评: 此题考查一元一次不等式组的实际运用,二元一次方程组的实际运用,找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键.
12. (2015•四川眉山,第24题9分)某厂为了丰富大家的业余生活,组织了一次工会活动,准备一次性购买若干钢笔和笔记本(每支钢笔的价格相同,每本笔记本的价格相同)作为奖品.若购买2支钢笔和3本笔记本共需62元,购买5支钢笔和1本笔记本共需90元.
(1)购买一支钢笔和一本笔记本各需多少元?
(2)工会准备购买钢笔和笔记本共80件作奖品,根据规定购买的总费用不超过1100元,则工会最多可以购买多少支钢笔?
考点: 一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用..
分析: (1)首先用未知数设出买一支钢笔和一本笔记本所需的费用,然后根据关键语“购买2支钢笔和3本笔记本共需62元,购买5支钢笔和1本笔记本共需90元”,列方程组求出未知数的值,即可得解.
(2)设购买钢笔的数量为x ,则笔记本的数量为80﹣x ,根据总费用不超过1100元,列出不等式解答即可.
解答: 解:(1)设一支钢笔需x 元,一本笔记本需y 元,由题意得
解得:
答:一支钢笔需16元,一本笔记本需10元;
(2)设购买钢笔的数量为x ,则笔记本的数量为80﹣x ,由题意得
16x +10(80﹣x )≤1100
解得:x ≤50
答:工会最多可以购买50支钢笔.
点评: 此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用,关键是正确理解题意,找出等量关系,列出方程组和不等式.
13. (2015•四川泸州, 第21题7分)某小区为了绿化环境,计划分两次购进A 、B 两种花草,第一次分别购进A 、B 两种花草30棵和15棵,共花费675元;第二次分别购进A 、B 两种花草12棵和5棵。两次共花费940元(两次购进的A 、B 两种花草价格均分别相同)。 (1)A 、B 两种花草每棵的价格分别是多少元?
(2)若购买A 、B 两种花草共31棵,且B 种花草的数量少于A 种花草的数量的2倍,请你给出一种费用最省的方案,并求出该方案所需费用。
考点:一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用..
专题:应用题.
分析:(1)设A 种花草每棵的价格x 元,B 种花草每棵的价格y 元,根据第一次分别购进A 、B 两种花草30棵和15棵,共花费940元;第二次分别购进A 、B 两种花草12棵和5棵,
两次共花费675元;列出方程组,即可解答.
(2)设A 种花草的数量为m 株,则B 种花草的数量为(31﹣m )株,根据B 种花草的数量少于A 种花草的数量的2倍,得出m 的范围,设总费用为W 元,根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式,由一次函数的性质就可以求出结论.
解答:
解:(1)设A 种花草每棵的价格x 元,B 种花草每棵的价格y 元,根据题意得:
, 解得:,
∴A 种花草每棵的价格是20元,B 种花草每棵的价格是5元.
(2)设A 种花草的数量为m 株,则B 种花草的数量为(31﹣m )株,
∵B 种花草的数量少于A 种花草的数量的2倍,
∴31﹣m <2m ,
解得:m >,
∵m 是正整数, ∴m 最小值=11,
设购买树苗总费用为W =20m +5(31﹣m )=15m +155,
∵k >0,
∴W 随x 的减小而减小,
11+155=320(元)当m =11时,W 最小值=15×.
答:购进A 种花草的数量为11株、B 种20株,费用最省;最省费用是320元.
点评:本题考查了列二元一次方程组,一元一次不等式解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,一次函数的性质的运用,解答时根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式是关键.
14. (2015•四川凉山州, 第22题8分)2015年5月6日,凉山州政府在邛海“空列”项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向,决定共同出资60.8亿元,建设40千米的邛海空中列车.据测算,将有24千米的“空列”轨道架设在水上,其余架设在陆地上,并且每千米水上
建设费用比陆地建设费用多0.2亿元.
(1)求每千米“空列”轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元?
3(2)预计在某段“空列”轨道的建设中,每天至少需要运送沙石1600m ,施工方准备租用大、
小两种运输车共10辆,已知每辆大车每天运送沙石200m ,每辆小车每天运送沙石120m ,大、小车每天每辆租车费用分别为1000元、700元,且要求每天租车的总费用不超过9300元,问施工方有几种租车方案?哪种租车方案费用最低,最低费用是多少?
【答案】(1)1.6,1.4;(2)有三种租车方案,租5辆大车和5辆小车时,租车费用最低,最低费用是8500元.
33
①租5辆大车和5辆小车时,租车费用为:1000×5+700×5=5000+3500=8500(元) ②租6辆大车和4辆小车时,租车费用为:1000×6+700×4=6000+2800=8800(元) ③租7辆大车和3辆小车时,租车费用为:1000×7+700×3=7000+2100=9100(元) ∵8500<8800<9100,
∴租5辆大车和5辆小车时,租车费用最低,最低费用是8500元.
考点:1.一元一次不等式组的应用;2.二元一次方程组的应用.
15. “六一”期间,(2015•四川乐山, 第22题10分)小张购进100只两种型号的文具进行销售,其进价和售价之间的关系如下表:
(1)小张如何进货,使进货款恰好为1300元?
(2)要使销售文具所获利润最大,且所获利润不超过进货价格的40%,请你帮小张设计一个进货方案,并求出其所获利润的最大值.
【答案】(1)A 文具为40只,B 文具60只;(2)各进50只,最大利润为500元.
考点:1.一次函数的应用;2.一元一次方程的应用;3.一元一次不等式的应用.
16. (2015•四川成都, 第26题8分)
某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元够进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元。
(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?
(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完利润率不低于25%(不考虑其它因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?
【答案】:(1)120件;(2)150元。
【解析】:(1)设该商家购进的第一批衬衫是x 件,则第二批衬衫是2x 件
由题意可得:
的根。
(2)设每件衬衫的标价至少是a 元 2880013200-=10,解得x =120,经检验x =120是原方程2x x
由12013200÷120=110(元/件)(1)得第一批的进价为:,第二批的进价为:(元/件)
由题意可得:
120⨯(a -110) +(240-50)⨯(a -120) +50⨯(0.8a -120) ≥25%⨯42000
解得350a ≥52500,所以a ≥150,即每件衬衫的标价至少是150元。
17. (2015•绵阳第23题,11分)南海地质勘探队在南沙群岛的一小岛发现很有价值的A ,B 两种矿石,A 矿石大约565吨,B 矿石大约500吨,上报公司,要一次性将两种矿石运往冶炼厂,需要不同型号的甲、乙两种货船共30艘,甲货船每艘运费1000元,乙货船每艘运费1200元.
(1)设运送这些矿石的总费用为y 元,若使用甲货船x 艘,请写出y 和x 之间的函数关系式;
(2)如果甲货船最多可装A 矿石20吨和B 矿石15吨,乙货船最多可装A 矿石15吨和B 矿石25吨,装矿石时按此要求安排甲、乙两种货船,共有几种安排方案?哪种安排方案运费最低并求出最低运费.
考点: 一次函数的应用;一元一次不等式组的应用..
分析: (1)根据这些矿石的总费用为y =甲货船运费+乙货船运费,即可解答;
(2)根据A 矿石大约565吨,B 矿石大约500吨,列出不等式组,确定x 的取值范围,根据x 为整数,确定x 的取值,即可解答.
解答: 解:(1)根据题意得:y =1000x +1200(30﹣x )=36000﹣200x .
(2)设安排甲货船x 艘,则安排乙货船30﹣x 艘,
根据题意得:, 化简得:
∴23≤x ≤25,
∵x 为整数, ,
∴x =23,24,25,
方案一:甲货船23艘,则安排乙货船7艘,
23=31400元; 运费y =36000﹣200×
方案二:甲货船24艘,则安排乙货船6艘,
24=31200元; 运费y =36000﹣200×
方案三:甲货船25艘,则安排乙货船5艘,
25=31000元; 运费y =36000﹣200×
经分析得方案三运费最低,为31000元.
点评: 本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是关键题意得到函数解析式和不等式组.
18. (2015•四川省内江市,第21题,10分)某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元,空调的销售价为每台1750元,每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元,商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等.
(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少?
(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台,设购进电冰箱x 台,这100台家电的销售总利润为y 元,要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍,总利润不低于13000元,请分析合理的方案共有多少种?并确定获利最大的方案以及最大利润;
(3)实际进货时,厂家对电冰箱出厂价下调k (0<k <100)元,若商店保持这两种家电的售价不变,请你根据以上信息及(2)问中条件,设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案.
考点: 一次函数的应用;分式方程的应用;一元一次不等式组的应用..
分析: (1)设每台空调的进价为x 元,则每台电冰箱的进价为(x +400)元,根据“商城
用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等”,列出方程,即可解答; (2)设购进电冰箱x 台,这100台家电的销售总利润为y 元,则y =(2100﹣2000)x +(1750﹣1600)(100﹣x )=﹣50x +15000,根据题意得
:,得
到
,根据x 为正整数,所以x =34,35,36,37,38,39,40,即合理的方案共
有7种,利用一次函数的性质,确定获利最大的方案以及最大利润;
(3)当电冰箱出厂价下调k (0<k <100)元时,则利润y =(k ﹣50)x +15000,分两种情况讨论:当k ﹣50>0;当k ﹣50<0;利用一次函数的性质,即可解答.
解答: 解:(1)设每台空调的进价为x 元,则每台电冰箱的进价为(x +400)元, 根据题意得:
解得:x =1600,
经检验,x =1600是原方程的解,
x +400=1600+400=2000,
答:每台空调的进价为1600元,则每台电冰箱的进价为2000元.
(2)设购进电冰箱x 台,这100台家电的销售总利润为y 元,
则y =(2100﹣2000)x +(1750﹣1600)(100﹣x )=﹣50x +15000, 根据题意得:, ,
解得:
∵x 为正整数, ,
∴x =34,35,36,37,38,39,40,
∴合理的方案共有7种,
即①电冰箱34台,空调66台;②电冰箱35台,空调65台;③电冰箱36台,空调64台;④电冰箱37台,空调63台;⑤电冰箱38台,空调62台;⑥电冰箱39台,空调61台;⑦电冰箱40台,空调60台;
∵y =﹣50x +15000,k =﹣50<0,
∴y 随x 的增大而减小,
∴当x =34时,y 有最大值,最大值为:﹣50×34+15000=13300(元),
答:当购进电冰箱34台,空调66台获利最大,最大利润为13300元.
(3)当厂家对电冰箱出厂价下调k (0<k <100)元,若商店保持这两种家电的售价不变, 则利润y =(2100﹣2000+k )x +(1750﹣1600)(100﹣x )=(k ﹣50)x +15000, 当k ﹣50>0,即50<k <100时,y 随x 的增大而增大, ∵
,
∴当x =40时,这100台家电销售总利润最大,即购进电冰箱40台,空调60台; 当k ﹣50<0,即0<k <50时,y 随x 的增大而减小, ∵
,
∴当x =34时,这100台家电销售总利润最大,即购进电冰箱34台,空调66台; 答:当50<k <100时,购进电冰箱40台,空调60台销售总利润最大; 当0<k <50时,购进电冰箱34台,空调66台销售总利润最大.
点评: 本题考查了列分式方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的性质的运用,解答时根据总利润═冰箱的利润+空调的利润建立解析式是关键.
24. (2015湖北荆州第23题10分)荆州素有“鱼米之乡”的美称,某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售,按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种鱼,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:
每辆汽车载鱼量(吨) 每吨鱼获利(万元)
鲢鱼 8 0.25
草鱼 6 0.3
青鱼 5 0.2
(1)设装运鲢鱼的车辆为x 辆,装运草鱼的车辆为y 辆,求y 与x 之间的函数关系式;
(2)如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大?并求出最大利润. 考点: 分析:
一次函数的应用.
(1)设装运鲢鱼的车辆为x 辆,装运草鱼的
车辆为y 辆,则由(20﹣x ﹣y )辆汽车装运青鱼,由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论;
(2)根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于2辆,列出不等式组求出x 的范围,设此次销售所获利润为w 元,
w =0.25x ×8+0.3(﹣3x +20)×6+0.2(20﹣x +3x ﹣20)×5=﹣1.4x +36,再利用一次函数的性质
即可解答. 解答:
解:(1)设装运鲢鱼的车辆为x 辆,装运草
鱼的车辆为y 辆,则由(20﹣x ﹣y )辆汽车装运青鱼,由题意,得 8x +6y +5(20﹣x ﹣y )=120, ∴y =﹣3x +20.
答:y 与x 的函数关系式为y =﹣3x +20;
(2),根据题意,得
∴,
解得:2≤x ≤6,
设此次销售所获利润为w 元,
w =0.25x ×8+0.3(﹣3x +20)×6+0.2(20﹣x +3x ﹣20)×5=﹣1.4x +36 ∵k =﹣1.4<0,
∴w 随x 的增大而减小.
∴当x =2时,w 取最大值,最大值为:﹣1.4×2+36=33.2(万元).
∴装运鲢鱼的车辆为2辆,装运草鱼的车辆为14辆,装运青鱼的车辆为4辆时获利最大,最大利润为33.2万元. 点评:
本题考查了一次函数的解析式的运用,一次
函数的性质的运用,一元一次不等式组的运用,解答时求出函数的解析式是关键. 25.(2015•湖南株洲, 第19题6分)(本题满分6分) 为了举行班级晚会,孔明准备去商店购买20乒乓球做道具,并买一些乒乓球拍做奖品,已知乒乓球每个1.5元,球拍每个22元,如果购买金额不超过200元,且买的球拍尽可能多,那么孔明应该买多少个球拍? 【试题分析】
本题考点为:一元一次不等式的应用题:
由已知可知,乒乓球共买20个,单价为1.5元每个,而球拍为每个22元,总金额不超过200元,即乒乓球的金额+球拍的金额≤200① 涉及的公式为:金额=单价×数量
乒乓球 球拍
金额 1.5×20=30
单价 1.5 22
数量 20
22x
x
将相关数据代入①即可解得:
解:设购买球拍x 个,依题意得:
1.5⨯20+22x ≤200
解之得:x ≤7
8 11
由于x 取整数,故x 的最大值为7。 答:略
29.(2015·湖南省益阳市,第19题12分)大学生小刘回乡创办小微企业,初期购得原材料若干吨,每天生产相同件数的某种产品,单件产品所耗费的原材料相同.当生产6天后剩余原材料36吨,当生产10天后剩余原材料30吨.若剩余原材料数量小于或等于3吨,则需补充原材料以保证正常生产.
(1)求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数;
(2)若生产16天后,根据市场需求每天产量提高20%,则最多再生产多少天后必须补充原材料?
考点: 一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.
分析: (1)设初期购得原材料a 吨,每天所耗费的原材料为b 吨,根据“当生产6天后剩余原材料36吨,当生产10天后剩余原材料30吨.”列出方程组解决问题;
(2)最多再生产x 天后必须补充原材料,根据若剩余原材料数量小于或等于3吨列出不等式解决问题.
解答: 解:(1)设初期购得原材料a 吨,每天所耗费的原材料为b 吨, 根据题意得:
.
解得.
答:初期购得原材料45吨,每天所耗费的原材料为1.5吨. (2)设再生产x 天后必须补充原材料,
15﹣15(1+20%)x ≤3, 依题意得:45﹣16×解得:x ≥10.
答:最多再生产10天后必须补充原材料.
点评: 此题考查一元一次不等式组的实际运用,二元一次方程组的实际运用,找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键.
30.(2015·湖北省孝感市,第21题9分)
某服装公司招工广告承诺:熟练工人每月工
资至少3000元.每天工作8小时,一个月工作25天.月工资底薪800元,另加计件工资.加工1件A 型服装计酬16元,加工1件B 型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时,加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时.(工人月工资=底薪+计件工资)
(1)一名熟练工加工1件A 型服装和1件B 型服装各需要多少小时?(4分)
(2)一段时间后,公司规定:“每名工人每月必须加工A ,B 两种型号的服装,且加工A 型服装数量不少于B 型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工A 型服装a 件,工资总额为W 元.请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺?(5分)
考点:一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用..
分析:(1)设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时,加工1件B 型服装需要y 小时,根据“一名熟练工加工1件A 型服装和2件B 型服装需4小时,加工3件A 型服装和1件B 型服装需7小时”,列出方程组,即可解答.
8﹣2a )(2)当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时,则还可以加工B 型服装(25×件.从而得到W =﹣8a +3200,再根据“加工A 型服装数量不少于B 型服装的一半”,得到a ≥50,利用一次函数的性质,即可解答.
解答:解:(1)设熟练工加工1件A 型服装需要x 小时,加工1件B 型服装需要y 小时.
由题意得:解得:
,
…(3分)
答:熟练工加工1件A 型服装需要2小时,加工1件B 型服装需要1小时.
8﹣2a )件.(2)当一名熟练工一个月加工A 型服装a 件时,则还可以加工B 型服装(25×
∴W =16a +12(25×8﹣2a )+800, ∴W =﹣8a +3200, 又∵a ≥解得:a ≥50, ∵﹣8<0,
∴W 随着a 的增大则减小, ∴当a =50时,W 有最大值2800. ∵2800<3000,
∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺.
,
点评:本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是关键题意列出方程组和一次函数解析式,利用一次函数的性质解决实际问题.
31、(2015·湖南省常德市,第22题7分)某物流公 司承接A 、B 两种货物运输业务,已知5月份A 货物运费单价为50元/吨,B 货物运费单价为30元/吨,共收取运费9500元;6月份由于油价上涨,运费单价上涨为:A 货物70元/吨,B 货物40元/吨;该物流公司6月承接的A 种货物和B 种数量与5月份相同,6月份共收取运费13000元。 (1)该物流公司月运输两种货物各多少吨?
(2)该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨,且A 货物的数量不大于B 货物的2倍,在运费单价与6月份相同的情况下,该物流公司7月份最多将收到多少运输费? 【解答与分析】二次一次方程组的应用及不等式、一次函数的应用 (1)解:设A 种货物运输了x 吨,设A 种货物运输了y 吨, 依题意得:
⎧50x +30y =9500
⎨
70x +40y =13000⎩
解之得:⎨
⎧x =100
⎩y =150
(2)设A 种货物为a 吨,则B 种货物为吨,设获得的利润为W 元 (330-a )依题意得:
a ≤(330-a ) ⨯2①
W =70a +40(330-a ) =30a +13320
由①得a ≤220
②
由②可知W 随着a 的增大而增大 故W 取最大值时a =220 即W =19800元
34. (2015•淄博第20题,7分)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本. (1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元? 考点: 一元一次不等式组的应用..
分析: (1)设组建中型两类图书角x 个、小型两类图书角(30﹣x )个,由于组建中、小型两类图书角共30个,已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.若组建一个中型图书角的费用是860本,组建一个小型图书角的费用是570本,因此可以列出不等式组
,解不等式组然后去整数即可求解.
(2)根据(1)求出的数,分别计算出每种方案的费用即可.
解答: 解:(1)设组建中型图书角x 个,则组建小型图书角为(30﹣x )个. 由题意,得
,
化简得,
解这个不等式组,得18≤x ≤20.
由于x 只能取整数,∴x 的取值是18,19,20.
当x =18时,30﹣x =12;当x =19时,30﹣x =11;当x =20时,30﹣x =10. 故有三种组建方案:
方案一,中型图书角18个,小型图书角12个; 方案二,中型图书角19个,小型图书角11个; 方案三,中型图书角20个,小型图书角10个. 18+570×12=22320(元)(2)方案一的费用是:860×; 19+570×11=22610(元)方案二的费用是:860×; 20+570×10=22900(元)方案三的费用是:860×. 故方案一费用最低,最低费用是22320元.
点评: 此题主要考查了一元一次不等式组在实际生活中的应用,解题的关键是首先正确理解题意,然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题,同时也利用了一次函数.
35. (2015•山东莱芜, 第22题10分)
为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个. 已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本. (1)问符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明在(1)中哪种方案费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)三种组建方案(2)最低费用是22320元 【解析】
试题分析:(1)设组建中型图书角x 个,则组建小型图书角为(30-x )个;根据不等关系:①科技类书籍不超过1900本;②人文类书籍不超过1620本.列不等式组,进行求解;
(2)此题有两种方法:方法一:因为总个数是不变的,所以费用少的越多,总费用越少;
方法二:分别计算(1)中方案的价钱,再进一步比较.
试题解析:解:(1)设组建中型图书角x 个,则组建小型图书角为(30-x )个.
由题意得
解这个不等式组得18≤x ≤20. 由于x 只能取整数,
∴x 的取值是18,19,20.
当x =18时,30-x =12;当x =19时,30-x =11;当x =20时,30-x =10.
故有三种组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个. (2)方法一:由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用,因此组建中型图书角的数量越少,费用就越低,故方案一费用最低, 18+570×12=22320(元)最低费用是860×.
18+570×12=22320(元)方法二:①方案一的费用是:860×; ②方案二的费用是:860×19+570×11=22610(元); ③方案三的费用是:860×20+570×10=22900(元) 故方案一费用最低,最低费用是22320元. 考点:不等式组的应用
考点六:不等式(组)的应用
解得:⎨⎧x =0.5
,
⎩y =1.5
答:每台电脑0.5万元,每台电子白板1.5万元.
(2)设需购进电脑a 台,则购进电子白板(30-a )台,根据题意得:
⎧0.5a +1.5(30-a ) ≤30, ⎨0.5a +1.5(30-a ) ≥28⎩
解得:15≤a≤17,
∵a 只能取整数,
∴a=15,16,17,
∴有三种购买方案,
方案1:需购进电脑15台,则购进电子白板15台,
方案2:需购进电脑16台,则购进电子白板14台,
方案3:需购进电脑17台,则购进电子白板13台,
15×0.5+1.5×15=30(万元),
16×0.5+1.5×14=29(万元),
17×0.5+1.5×13=28(万元),
∵28<29<30,
∴选择方案3最省钱.
9.(2013•潍坊)为增强市民的节能意识,我市试行阶段电价,从2013年开始,按照每户的每年的用电量分三个档次计费,具体规定如图,小明统计了自家2013年前5个月的实际用电量为1300度,请帮助小明分析下面问题:
(1)若小明家计划2013年全年的用电量不超过2520度,则6至12月份小明家平均每月用电量最多为多少度?(保留整数)
(2)若小明家2013年6至12月份平均每月用电量等于前5个月的平均每月用电量,则小明家2013年应交总电费多少元?
解得:⎨⎧a =5,
⎩b =10
答:购进甲,乙两种钢笔每支各需5元和10元;
(2)设购进甲钢笔x 支,乙钢笔y 支,根据题意可得:
⎧5x +10y =1000, ⎨6y ≤x ≤8y ⎩
解得:20≤y≤25,
∵x ,y 为整数,
∴y=20,21,22,23,24,25共六种方案,
∵
5x=1000-10y>0,
∴0<y <100,
∴该文具店共有6种进货方案;
(3)设利润为W 元,则W=2x+3y,
∵5x+10y=1000,
∴x=200-2y,
∴代入上式得:W=400-y,
∵W 随着y 的增大而减小,
∴当y=20时,W 有最大值,最大值为W=400-20=380(元).
课后作业
一元一次不等式的应用
列一元一次不等式解实际应用问题,可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧,不同的是,列不等式解应用题,寻求的是不等关系,因此,根据问题情境,抓住应用问题中“不等”关系的关键词语,或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要.
列不等式解决实际问题时,应掌握以下三个步骤:(1)•找出实际问题中的所有不等关系或相等关系(有时要通过不等式与方程综合来解决),设出未知数,列出不等式组(•或不等式与方程的混合组);(2)解不等式组;(3)从不等式组(或不等式与方程的混合组)•的解集中求出符合题意的答案.
1、(2011浙江温州,23,12分)2011年5月20日是第22个中国学生营养日,某校社会实践小组在这天开展活动,调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图).根据信息,解答下列问题.
(1)求这份快餐中所含脂肪质量;
(2)若碳水化合物占快餐总质量的40%,求这份快餐所含蛋白质的质量;
(3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%,求其中所含碳水化合物质量的最大值.
2、(2011四川内江,加试6,12分)某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器,若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台,共需要资金7000元;若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台,共需要资金4120元.
(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元?
(2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元.根据市场行情,销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元.该经销商希望销售完这两种商品,所获利润不少于4100元.试问:该经销商有哪几种进货方案? 哪种方案获利最大? 最大利润是多少?
3、2005,河南)某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞.•现有甲,乙两种机器供选择,其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算,本次购买机器所耗资金不能超过34万元.
(1)按该公司要求可以有几种购买方案?
(2)若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个,那么为了节约资金应选择哪种购买方案?
甲 乙
5 价格/(万元/台) 7
每台日产量/个
100 60
4、(2004,浙江省课改区)某童装加工企业今年五月份,•工人每人平均加工童装150套,最不熟练的工人加工的童装套数为平均套数的60%.为了提高工人的劳动积极性,按照完成外商订货任务,企业计划从六月份起进行工资改革.•改革后每位工人的工资分两部分:一部分为每人每月基本工资200元;另一部分为每加工1套童装奖励若干元.
(1)•为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准450元,按五月份工人加工的童装套数计算,工人每加工1套童装企业至少应奖励多少元(精确到分)?
(2)根据经营情况,企业决定每加工1套童装奖励5元.•工人小张争取六月份工资不少于1200元,问小张在六月份应至少加工多少套童装?
5、(2011山东临沂,17,3分)有3人携带会议材料乘坐电梯,这3人的体重共210kg ,每捆材料中20kg ,电梯最大负荷为1050kg ,则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载捆材料.
6、(2011湖南永州,15,3分)某市打市电话的收费标准是:每次3分钟以内(含3分钟)收费0. 2元,以后每分钟收费0. 1元(不足1分钟按1分钟计).某天小芳给同学打了一个6分钟的市话,所用电话费为0. 5元;小刚现准备给同学打市电话6分钟,他经过思考以后,决定先打3分钟,挂断后再打3分钟,这样只需电话费0. 4元.如果你想给某同学打市话,准备通话10分钟,则你所需要的电话费至少为多少钱?
7. (2011湖北襄阳,15,3分)我国从2011年5月1日起在公众场所实行“禁烟”,为配合“禁烟”行动,某校组织开展了“吸烟有害健康”的知识竞赛,共有20道题. 答对一题记10分,答错(或不答)一题记 5分. 小明参加本次竞赛得分要超过100分,他至少要答对道题.
8. (2011广东广州市,21,12分)某商店5月1日举行促销优惠活动,当天到该商店购买商品有两种方案,方案一:用168元购买会员卡成为会员后,凭会员卡购买商店内任何商品,一律按商品价格的8折优惠;方案二:若不购买会员卡,则购买商店内任何商品,一律按商品价格的9.5折优惠.已知小敏5月1日前不是该商店的会员.
(1)若小敏不购买会员卡,所购买商品的价格为120元时,实际应支付多少元?
(2)请帮小敏算一算,所购买商品的价格在什么范围内时,采用方案一更合算?
9. (2011湖北鄂州,20,8分)今年我省干旱灾情严重,甲地急需要抗旱用水15万吨,乙地13万吨.现有A 、B 两水库各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱.从A 地到甲地50千米,到乙地30千米;从B 地到甲地60千米,到乙地45千米.
⑴设从A 水库调往甲地的水量为x 万吨,完成下表
A
B
总计
10.(2011浙江湖州,23,10) 我市水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘,分别养殖甲鱼和桂鱼.有关成本、
销售额见下表:
(1)2011年,王大爷养殖甲鱼20亩,桂鱼10亩.求王大爷这一年共收益多少万元?(收益=销售额-成本)
(2)2011年,王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼,计划投入成本不超过70万元.若每亩养殖的成本、销售额与2011年相同,要获得最大收益,他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩?
(3)已知甲鱼每亩需要饲料500kg ,桂鱼每亩需要饲料700kg .根据(2)中的养殖亩数,为了节约运输成本,
实际使用的运输车辆每载装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍,结果运输养殖所需全部饲料甲 x 15 乙 13 总计 14 14 28 ⑵请设计一个调运方案,使水的调运量尽可能小.(调运量=调运水的重量×调运的距离,单位:万吨•千米)
比原计划减少了2次.求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少
kg?
11. (2011湖南邵阳,22,8分)为庆祝建党90周年,某学校欲按如下规则组建一个学生合唱团参加我市的唱红歌比赛。
规则一:合唱团的总人数不得少于50人,且不得超过55人。 规则二:合唱团的队员中,九年级学生占合唱团总人数的
七年级学生。
请求出该合唱团中七年级学生的人数。
12. (2011浙江绍兴,22,12分) 筹建中的城南中学需720套担任课桌椅(如图),光明厂承担了这项生产任务,该厂生产桌子的必须5人一组,每组每天可生产12张;生产椅子的必须4人一组,每组每天可生产24把. 已知学校筹建组要求光明厂6天完成这项生产任务.
(1)问光明厂平均每天要生产多少套单人课桌椅?
(2)先学校筹建组组要求至少提前1天完成这项生产任务,光明厂生产课桌椅
的员工增加到84名,试给出一种分配生产桌子、椅子的员工数的方案.
12,八年级学生占合唱团总人数14,余下的为
13. (2011四川内江,加试6,12分)某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器,若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台,共需要资金7000元;若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台,共需要资金4120元.
(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元?
(2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元.根据市场行情,销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元.该经销商希望销售完这两种商品,所获利润不少于4100元.试问:该经销商有哪几种进货方案? 哪种方案获利最大? 最大利润是多少?
14.(2011重庆綦江,25,10分) 为了保护环境,某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处
理设备,共花费资金54万元,且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%,实际运行中发现,每台甲型设备每月能处理污水200吨,每台乙型设备每月能处理污水160吨,且每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元,每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1.5万元. 今年该厂二期工程即将完成,产生的污水将大大增加,于是该厂决定再购买甲、乙两型设备共8台用于二期工程的污水处理,预算本次购买资金不超过...84万元,预计二期工程完成后每月将产生不少于...1300吨污水.
(1)请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元?
(2)请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案;
(3)若两种设备的使用年限都为10年,请你说明在(2)的所有方案中,哪种购买方案的总费用最少?(总
费用=设备购买费+各种维护费和电费)
15. (2011湖北黄石,23,8分)今年,号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱,为提高学生环保意识,节约用
水,某校数学教师编造了一道应用题:
月用水量(吨)
不大于10吨部分
大于10吨不大于m 吨部分
(20≤m≤50)
大于m 吨部分 单价(元/吨) 1.5 2 3
为了保护水资源,某市制定一套节水的管理措施,其中对居民生活用水收费作如下规定:
1. 若某用户六月份用水量为18吨,求其应缴纳的水费;
2. 记该户六月份用水量为x 吨,缴纳水费y 元,试列出y 关于x 的关系式;
3. 若该用户六月份用水量为40吨,缴纳消费y 元的取值范围为70≤y≤90,试求m 的取值范围
16. (2011广东茂名,23,8分)某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养,已知甲种小鸡苗每只2元,乙种小鸡苗每只3元.
(1)若购买这批小鸡苗共用了4500元,求甲、乙两种小鸡苗各购买了多少只?(2分)
(2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4700元,问应选购甲种小鸡苗至少多少只?(3分)
(3)相关资料表明:甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%,若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%
且买小鸡的总费用最小,问应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只?总费用最小是多少元?(3分)
17. (2011内蒙古乌兰察布,23,10分),某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A 种造型需甲种花卉8盆,乙种花卉4盆;搭配一个B 种造型需甲种花卉5盆,乙种花卉9盆.
(l)某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来;
(2)若搭配一个A 种造型的成本是200元,搭配一个B 种造型的成本是360元,试说明(1)中哪种方案成本最低,最低成本是多少元?
18. (2011重庆市潼南,25, 10分)潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户,他们种植了A 、B 两类蔬
菜,两
种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表:
种植
户
甲
乙 种植A 类蔬菜面积 3 2 种植B 类蔬菜面积 1 3 总收入 (单位:元) 12500 16500 (单位:亩) (单位:亩)
说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等.
⑴求A 、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?
⑵某种植户准备租20亩地用来种植A 、B两类蔬菜,为了使总收入不低于63000元,且种植A类蔬菜的面积多于种植B类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数),求该种植户所有租地方案.
19. (2011山东菏泽,20,9分)我市一家电子计算器专卖店每只进价13元,售价20元,多买优惠;凡是一
次买10只以上的,每多买1只,所买的全部计算器每只就降低0.10元,例如,某人买20只计算器,于是每只降价0.10×(20-10)=1(元) ,因此,所买的全部20只计算器都按照每只19元计算,但是最低价为每只16元.
(1)求一次至少买多少只,才能以最低价购买?
(2)写出该专卖店当一次销售x (时,所获利润y (元) 与x (只) 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(3)若店主一次卖的只数在10至50只之间,问一次卖多少只获得的利润最大?其最大利润为多少?
20. (2011贵州安顺,24,10分)某班到毕业时共结余班费1800元,班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件T 恤或一本影集作为纪念品.已知每件T 恤比每本影集贵9元,用200元恰好可以买到2件T 恤和5本影集.
⑴求每件T 恤和每本影集的价格分别为多少元?
⑵有几种购买T 恤和影集的方案?
21. (2011山东枣庄,22,8分)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个. 已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?
22.(2011杭州市金山学校中考模拟)(10分) 某公司有
如下表:
甲店
乙店
(1)设分配给甲店
函数关系式,并求出x 的取值范围;
(2)若公司要求总利润不低于17560元,说明有多少种不同分配方案,并将各种方案设计出来; A 型产品40件,B 型产品60件,分配给下属甲、乙两个商店销售,其中70件给甲店,30件给乙店,且都能卖完.两商店销售这两种产品每件的利润(元)A 型利润 200 160 B 型利润 170 150 ,求W 关于x 的A 型产品x 件,这家公司卖出这100件产品的总利润为W (元)
A 型产品让利销售,每件让利a 元,但让利后A 型产品的每件利润仍
,B 型产品的每件利润不变,问该公司又高于甲店B 型产品的每件利润.甲店的B 型产品以及乙店的A (3)为了促销,公司决定仅对甲店
如何设计分配方案,使总利润达到最大?
23.(南京市建邺区2011年中考一模)某手机专营店代理销售A 、B 两种型号手机.手机的进价、售价如
下表:
(1)第一季度:用36000元购进A 、B 两种型号的手机,全部售完后获利6300元,求第一季度购进A 、B 两种型号手机的数量;
(2)第二季度:计划购进A 、B 两种型号手机共34部,且不超出第一季度的购机总费用,则A 型号手机最多能购多少部?
24.(南京市江宁区2011年中考一模)某博物馆的门票每张10元,一次购买30张到99张门票按8折优惠,一次购买100张以上(含100张)门票按7折优惠.甲班有56名学生,乙班有54名学生.
(1)若两班学生一起前往该博物馆参观,请问购买门票最少共需花费多少元? ..
(2)当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时,至少要有多少人,才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜?
25. (南京市雨花台2011年中考一模)某校组织学生到外地进行综合实践活动,共有680名学生参加,并携带300件行李.学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆.经了解,甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李,乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李.
⑴如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走?有哪几种方案?
⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元,请你选择最省钱的一种租车方案
26. (2011萝岗区综合测试一) 为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个. 已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)问符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明在(1)中哪种方案费用最低?最低费用是多少元?
27. (2011增城市综合测试) 我市为绿化城区,计划购买甲、乙两种树苗共计500棵,甲种树苗每棵50元,乙种树苗每棵80元,.
(1)如果购买两种树苗共用28000元,那么甲、乙两种树苗各买了多少棵?
(2)市绿化部门研究决定,购买树苗的钱数不得超过34000元,应如何选购树苗?
28. (2011北京石景山一模)为继续进行旅游景区公共服务改造,某市今年预算用资金41万
元在200余家A 级景区配备两种轮椅1100台,其中普通轮椅每台360元,轻便型轮椅每台
500元.
(1)若恰好全部用完预算资金,能购买两种轮椅各多少台?
(2)由于获得了不超过4万元的社会捐助,问轻便型轮椅最多可以买多少台?