标准偏差为什么要除以N-1

「标准偏差」为什么要除以「n1」

印象中，在我的求学过程里并未接触到「标准偏差」的概念，师大毕业后在国中任教了十三年，也只有在「资料整理」中教学生画画统计图表而已；后来转进高中教学，才开始研讨「离差」及「相关系数」等教材（说白一点，第一次教高二数学时，我跟学生一样是个「初学者」）。一晃又是十三年多，对统编本「S

1n

(xiX)2」的公式，无论正的、ni1

倒的、横的、竖的都可以跟学生解释得头头是道之时，ㄧ纲多本的数学教材中突然冒出了「S

1n

(xiX)2」这样一个「莫名其妙」的公式（即「样本标准偏差」）。好长ㄧn1i1

段时间，心里既自责又彷徨更气愤，自责的是这十三年来被我教到的学生全被我「误」了；

彷徨的是我该如何去解释这「n1」？要学生死背吗？（这那是我的教学态度？）还是另编一套理论来「误人子弟」，硬是将公式说得清清楚楚？（那又该怎么说才好呢？）气愤的是为什么不继续沿用「S

1n

(xiX)2」呢？（新教材简直就是在整人吗？）……这个问ni1

题在很多的研讨会中被提出来讨论（原来我并不孤独，与我一样心路历程的人还真不少），

勉强接受了「不偏估计」的说法，但会后讨论、抱怨声仍不断，多数人还是希望统一使用「S

1n

(xiX)2」这个公式，不要再分什么「母群体标准偏差」或「样本标准偏ni1

差」，徒增「教」、「学」之困扰。（说的也对，您怎么分辨是「母群体」还是「样本」？

题目是「求标准偏差」时，到底要算哪一个？总不会两个都要算吧？）

抱怨归抱怨，心想新书既敢出版，表示「S

1n

(xiX)2」这样的定义应该是无n1i1

庸置疑的，不妨先弄清楚它的理论根据再说吧。没想到经过一段时间的摸索、学习之后，不但接受了这个说法，更认为「S

1n

(xiX)2」应该是「高中数学」中「标准偏差」n1i1

的唯一定义，略举数项个人论点如下：（仅提供参考，非论教材之是非）

一、 高中数学的「统计」教材，开宗明义就是「统计抽样」，其目的是想藉由抽取之「样

本」所提供的信息来推估、了解「母群体」的状况。重点既然在于「由小看大」、

「以少推多」，因此一概看成「样本数据」而直接采用「S定义似较合理，「母群体标准偏差」应该是可以不必讨论的。

二、 「样本标准偏差」一词很容易被解释成「被抽取之样本数据的标准偏差」，其实不

然，它应该还是「母群体」的标准偏差，因它是藉由「样本」来推估全体的标准偏差，才称之为「样本标准偏差」的。 三、 「班上40位同学之数学成绩的标准偏差为多少？」看到这个题目，不免要问：要除

以39还是要除以40？除数为39很难算耶？只要出题者多用心，将数据凑得好，欲求近似值之小数位数给的巧，让两种算法之答案一样，争议其实不大。但如果将题目设计如「某校高一学生数百人，利用系统抽样得40位同学之成绩如下…，试估算该校高一学生成绩之标准偏差…」多点情境，或标准偏差的定义只有一个，疑问、争议

1n

(xiX)2」的n1i1

都没了。

四、 「Microsoft Excel」试算软件中，标准偏差函数「STDEV」所传回之值就是「样本标

准偏差S

1n

(xiX)2」（不信，您可试试；人家老外早就这样算），难怪以n1i1

前在教统编本时，用计算机算的都非标准答案，今天才恍然大悟。

五、 若取母群体的算术平均数E(X)（即整群资料的中央趋势）来算离均差，因为

nnn21n2222

(xiX)的(xiX)xiE(X)nE(X)XxiE(X)，为了使

i1i1i1ni1



1n1n22值与(xiX)的值适度放大，通常采用xiE(X)更接近，就必须将

ni1ni11n2

(xiX)作为样本标准偏差的定义，至于为什么要取「n1」，请参考大同n1i1

信息教师手册中详细的说明（如附录）。

1n2

(xiX)很好ni1

解释（「平均」除以「n」是天经地义的事），那除以「n1」该怎么讲呢？我是这样「骗」学生的，也提供您当参考。

【附录】所述，老师们看看可以，要跟学生讨论，那就难了！ S

【例】某家庭10个成员的年纪为： 33, 47, 51, 57, 61, 65, 75, 80, 87, 94（岁）

当家的是65岁的老杨，请问这个家中平均一个人差老杨几岁？ 【解】|33-65|=32，|47-65|=18，|51-65|=14，

|57-65|=8，|61-65|=4，|75-65|=10， |80-65|=15，|87-65|=22，|94-65|=29， 32+18+14+8+4+10+15+22+29=152 152

16.89（是除以9喔，居然少了ㄧ头「杨」！） 9

平均一个人差老杨16.89岁。

【注】这个例题是在未教「离差」之前即让学生练习，结果95%的学生是这样解的（除以

9），另外5%的学生也不是除以10，他们是不屑算（我没有强迫他们非算不可）。 【注】65岁恰为岁数平均数，16.89岁应可称为平均绝对离差。

【附录】（摘录自大同信息第四册教师手册第274页至第277页）

设全体数据数值有N个，它们分别为X1, X2, X3,…,Xn，如果以简单随机抽样法，从全体

1N

中抽出n个数值，它们分别为x1, x2, x3,…,xn，则全体的平均数XXi，全体的变异数

Ni1

1N1n22

(XiX)。而抽到的n个数值的样本x1, x2, x3,…,xn的平均数为xxi，且

Ni1ni1在N个数值中取n个的方法数为Cn。因此，就有Cn个样本的平均数x，这些平均数x的平均数以E(x)表示时，E(x)的值为何呢？下面就来推算它，并讨论样本的标准偏差的处理原则。

(1)E(x)X（此处X为全体的平均数）

1,若X1,X2,...,XN中的第i個數值Xi被選入樣本時,证明：令i

0,若X,X,...,X中的第i個數值X沒被選入樣本時,12Ni

n1

则P(i1)（因为每个数值被抽到的机率为），

NN

nNn

， P(i0)1P(i1)1

NN

nNnn

因此E(i0)10，

NNN

22

而变异数Var(i)E(i)E(i)，

nNnn2

其中E(i)1202，

NNNnnnn

即可得Var(i)()2(1)，

NNNN

1N

又xiXi，

ni1

1N1N1Nn1N

因此E(x)E(iXi)E(i)XiXiXiX。

ni1ni1ni1NNi1

Nn2

)(2)x的变异数x( N1n

证明：对两个变数i,j而言，iE(i)jE(j)之积也是一变数，

2

N

N

记EiE(i)jE(j)cov(i,j)称为i与j的互变异数，

nnNN

cov(i,j)E(ij)E(i)E(j)

P(i1且j1)

n2 )N

nn1nn(Nn)()22,NN1NN(N1)

N

1n1N12

因此，xVar(x)Var(xi)Var(iXi)2Var(iXi)

ni1ni1ni1

P(i1)P(j1i1)(

1N2

2XiVar(i)2XiXjcov(i,j)ni11ijNn(Nn)1Nn2n2Xi[(1)]2XiXj2NNni1N(N1)1ijN1n(Nn)Nn(Nn)22X2XXiij2

nN2N(N1)i11ijN

NnN1N22

XXXiN21iijn(N1)N2i1jNNn1n(N1)NNn1n(N1)N

2

X

i1Ni1

N

2i

1N2

2(Xi2XiXj)Ni11ijN1NNn12(Xi)2

n(N1)Ni1N

Nn

XX2ii1n(N1)

2

2

N

Xi

2

Nn2

因此，x N1nNn

亦即x，通常称N1n

Nn

为有限全体的修正系数。 N1

又

Nn

N1Nnn1n

1()， NN2N

Nnn

1。 很小，或N无穷大时，

N1N

(3)如何选择样本标准偏差的求法

n

1n1N2

(A)设s(xix)，其中xxi，XXi，

ni1Ni1i1

因此，当样本抽出率

则s[(xiX)(Xx)](xiX)2n(Xx)2，

2

i1

i1

nn

因此，可知(xix)(xiX)2，

2

i1

i1

nn

1n1n2

亦即(xix)(xiX)2，

ni1ni1

1n12

(xx)所以要以来评估全体的标准偏差时，必须将根式中的的n i

ni1n

稍微缩小些，较能代表全体的标准偏差。 (B)由(A)的结果与(2)的推论，可得

n

E(s)E(xiX)2n(Xx)2

i1

n

E(xiX)2nE(Xx)2

i1



，

E(xiX)n

2

i1

n

2

n

n22(n1)2,

s1n

ˆˆ2用来估计2之值。 亦可表成(xix)2，此处n1n1i1

2

1n

(xix)2求之， 所以，求n个数值样本的标准偏差以n1i1

1n

(xix)2适合。 较ni1