函数.基本初等函数的图象和性质
函数、基本初等函数的图象和性质
(时间:45分钟 满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
11.函数f (x ) =lg(1+x ) 的定义域是 1-x
( ) .
A .(-∞,1)
C .(-1,1) ∪(1,+∞) B .(1,+∞) D .(-∞,+∞)
2.如果 x < y <0,那么
( ) .
A .y <x <1
C .1<x <y B .x <y <1 D .1<y <x
3.(2012·山东省实验中学一诊) 下列四个函数中,是奇函数且在区间(-1,0) 上为减函数的是
( ) .
⎛1A .y = 2|x | ⎝⎭
C .y =log 2|x | B .y =x -42-x D .y
=
4.已知函数f (x ) =e x -1,g (x ) =-x 2+4x -3. 若有f (a ) =g (b ) ,则b 的取值范围为
( ) .
A .[22,22]
C .[1,3] B .(2-2,2+2) D .(1,3)
5.已知函数y =f (x ) 的周期为2,当x ∈[-1,1]时f (x ) =x 2,那么函数y =f (x ) 的图象与函数y =|lg x |的图象的交点共有
( ) .
A .10个 B .9个 C .8个 D .1个
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.设函数f (x ) =x 3cos x +1,若f (a ) =11,则f (-a ) =
______.
7.f (x ) 为定义在R 上的以3为周期的奇函数,若f (1)>0,f (2)=(a +1)(2a -3) ,则a 的取值范围是________.
8.(2012·西南大学附属中学第二次月考) 函数y =f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且满足f (x -2) =-f (x ) 对一切x ∈R 都成立,又当x ∈[-1,1]时,f (x ) =x 3,则下列四个命题:
①函数y =f (x ) 是以4为周期的周期函数;
②当x ∈[1,3]时,f (x ) =(2-x ) 3;
③函数y =f (x ) 的图象关于x =1对称;
④函数y =f (x ) 的图象关于点(2,0)对称.
其中正确命题的序号是________.
三、解答题(本题共3小题,共35分)
ax +19.(11分) 已知a ∈R 且a ≠1,求函数f (x ) =在[1,4]上的最值. x +1
10.(12分)(2012·洛阳模拟) 已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +1(a >0) ,F (x ) =⎧f (x ),x >0,⎨若f (-1) =0,且对任意实数x 均有f (x ) ≥0成立. ⎩-f (x ),x <0.
(1)求F (x ) 的表达式;
(2)当x ∈[-2,2]时,g (x ) =f (x ) -k x 是单调函数,求k 的取值范围.
11.(12分)(2012·镇江模拟) 已知f (x ) 是定义在区间[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m ,n ∈[-1,1],m +n ≠0时,有
⎛1⎫(1)解不等式f x +2⎪<f (1-x ) ; ⎝⎭
(2)若f (x ) ≤t 2-2at +1对所有x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,求实数t 的取值范围. f (m )+f (n )0. m +n
参考答案
⎧1-x ≠0,1.C [要使函数有意义当且仅当⎨解得x >-1且x ≠1,从而定义域⎩1+x >0,
为(-1,1) ∪(1,+∞) ,故选C.]
2.D [因为y = x 为(0,+∞) 上的减函数,所以x >y >1.]
x -4x -4⎛13.D [选项A ,y = 2|x |为偶函数,因此排除;选项B ,y =⎝⎭2-x x -2
22⎛ 1-x -2=-1+对称中心为(2,-1) ,在(2,+∞) 和(-∞,2) 递减,x -2⎝⎭
不符合题意,排除;选项C ,y =log 2|x |是偶函数,因此不符合题意,排除C. 答案为D.]
4.B [∵f (a ) >-1,∴g (b ) >-1,∴-b 2+4b -3>-1,
∴b 2-4b +2<0,∴22<b <22. 选B.]
5.A [根据f (x ) 的性质及f (x ) 在[-1,1]上的解析式可作图如下
可验证当x =10时,y =|lg 10|=1;0<x <10时,|lg x |<1;x >10时,|lg x |>1. 因此结合图象及数据特点y =f (x ) 与y =|lg x |的图象交点共有10个.]
6.解析 令g (x ) =x 3cos x ,则f (x ) =g (x ) +1且g (x ) 为奇函数,所以g (-a ) =-g (a ) .由f (a ) =11得,g (a ) +1=11,所以g (a ) =10.
f (-a ) =g (-a ) +1=-g (a ) +1=-10+1=-9.
答案 -9
7.解析 ∵f (x ) 是周期为3的奇函数,
∴f (2)=f (2-3) =f (-1) =-f (1)<0.
3∴(a +1)(2a -3) <0. 解得-1<a <23⎛答案 -1,2 ⎝⎭
8.解析 因为函数y =f (x ) 是奇函数,故有f (-x ) =-f (x ) ,由f (x -2) =-f (x ) 可知,函数是最小正周期为4的函数,故命题①正确.
f (-x ) =-f (x ) 和f (x -2) =-f (x ) 结合得到
f (x -2) =f (-x ) ,故函数关于x =-1对称,
而x ∈[1,3],x -2∈[-1,1],
∴f (x -2) =(x -2) 3=-f (x ) ,
∴f (x ) =-(x -2) 3=(2-x ) 3,故命题②正确,
由上可作图,推知命题③④正确.
答案 ①②③④
9.解 任取x 1,x 2∈[1,4],且x 1<x 2,则
ax 1+1ax 2+1(a -1)(x 1-x 2)f (x 1) -f (x 2) =-. x 1+1x 2+1(x 1+1)(x 2+1)
∵x 1-x 2<0,(x 1+1)(x 2+1) >0,又a ∈R ,且a ≠1.
∴当a -1>0,即a >1时,f (x 1) -f (x 2) <0.
即f (x 1) <f (x 2) .
∴函数f (x ) 在[1,4]上是增函数,
∴f (x ) max =f (4)=4a +1a +1f (x ) =f (1)=min 52.
当a -1<0,即a <1时,f (x 1) -f (x 2) >0,
即f (x 1) >f (x 2) ,∴函数f (x ) 在[1,4]上是减函数,
a +14a +1∴f (x ) max =f (1)=2f (x ) min =f (4)=5.
10.解 (1)∵f (-1) =0,∴a -b +1=0,
∴b =a +1,
∴f (x ) =ax 2+(a +1) x +1.
∵f (x ) ≥0恒成立,
⎧a >0,⎧a >0,∴⎨∴⎨ 22Δ=(a +1)-4a ≤0,(a -1)≤0. ⎩⎩
∴a =1,从而b =2,∴f (x ) =x 2+2x +1,
2⎧x +2x +1 (x >0),∴F (x ) =⎨2 ⎩-x -2x -1 (x <0).
(2)g (x ) =x 2+2x +1-k x =x 2+(2-k ) x +1.
∵g (x ) 在[-2,2]上是单调函数,
k -2k -2∴2≤-2,或22,解得k ≤-2,或k ≥6.
所以k 的取值范围为(-∞,-2]∪[6,+∞) .
11.解 (1)任取x 1、x 2∈[-1,1],且x 2>x 1,则f (x 2) -f (x 1) =f (x 2) +f (-x 1) =
f (x 2)+f (-x 1)(x 2-x 1) >0, x 2+(-x 1)
∴f (x 2) >f (x 1) ,∴f (x ) 是增函数.
⎧⎪1⎛1⎫f x +2⎪<f (1-x ) ⇔⎨-1≤1-x ≤1,⇔0≤x <4⎝⎭
1⎪x +⎩2<1-x ,
1⎫⎛1⎡即不等式f x +2<f (1-x ) 的解集为⎢0,4⎪. ⎝⎭⎣⎭1-1≤x +21,
(2)由于f (x ) 为增函数,∴f (x ) 的最大值为f (1)=1,
∴f (x ) ≤t 2-2at +1对a ∈[-1,1]、x ∈[-1,1]恒成立⇔t 2-2at +1≥1对任意a ∈[-1,1]恒成立⇔t 2-2at ≥0对任意a ∈[-1,1]恒成立.
把y =t 2-2at 看作a 的函数,
由a ∈[-1,1]知其图象是一条线段,
∴t 2-2at ≥0对任意a ∈[-1,1]恒成立
22⎧t -2×(-1)×t ≥0⎧t +2t ≥0⎧t ≤-2或t ≥0⎨⎨⇔2⇔2⇔⎨⇔t ≤-2,或t =0,⎩t -2×1×t ≥0⎩t -2t ≥0⎩t ≤0或t ≥2
或t ≥2.