关于逆矩阵求法的讨论毕业论文

南 京 师 范 大 学 泰 州 学 院

毕 业 论 文（设 计）

（ 一三 届 ）

题 目： 关于逆矩阵求法的讨论

院（系、部）： 数学科学与应用学院

专 业： 数学与应用数学

姓 名： 张利明

学 号 08090231

指导教师： 肖艳艳

南京师范大学泰州学院教务处 制

摘 要：为了更便捷地解决求矩阵的逆，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法。主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法，并对部分进行了简要论证。

关键字：逆矩阵；分块矩阵；初等变换；伴随矩阵

Abstract: In the aim of extracting the inverse of the matrix more conveniently, this paper introduces several methods of extracting the inverse matrix according to the different features of the matrix. It mainly includs the definition method, the adjoint matrix method, the elementary operation method, the partitioned matrix method and the method of solving the equations. Some of these methods are briefly demonstrated in the paper.

Keywords: inverse matrix; partitioned matrix; elementary operation; adjoint matrix

目 录

1 绪论 . ........................................................ 3

1.1研究意义 .......................................................... 3

1.2国内外研究现状 .................................................... 3

1.3本文主要解决的问题 ................................................ 4 2 矩阵的基础知识 . .............................................. 4

2.1矩阵的定义及性质 .................................................. 4

2.1.1矩阵的定义 .................................................. 4

2.1.2矩阵的性质 .................................................. 5

2.2逆矩阵的定义与性质 ................................................ 6

2.2.1逆矩阵的定义 ................................................ 6

2.2.2逆矩阵的性质 ................................................ 7 3 逆矩阵的求法 . ................................................ 7

3.1用定义求逆矩阵 .................................................... 7

3.2用伴随矩阵求逆矩阵 ................................................ 8

3.3用初等变换求逆矩阵 ................................................ 9

3.3.1初等行变换 ................................................... 9

3.3.2初等列变换 ................................................... 9

3.3.3混合采用初等行、列变换 ...................................... 10

3.4用分块矩阵求逆矩阵 ............................................... 12

3.5用解方程组求逆矩阵 ............................................... 12 结 论 . ....................................................... 14 谢 辞 . ....................................................... 15 参考文献 . ..................................................... 16

1 绪 论

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的主要研究对象之一，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵在它的课题诞生之前就已经发展的很好了。

18世纪中期，数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题，即二次型的化简。在这一问题的研究中，数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论。1748年，瑞士数学家欧拉(L．Euler ，1707—1783) 在将三个变数的二次型化为标准形时，隐含地给出了特征方程的概念。1773年，法国数学家拉格朗日(J．L ．Lagrange ，1736—1813) 在讨论齐次多项式时引入了线性变换。1801年德国数学家高斯(C．F ．Gauss ，1777一1855) 在《算术研究》中，将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广，给出了两个线性变换的复合，而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。另外，高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念，在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念。

1.1研究意义

矩阵理论是线性代数的一个重要内容，也是处理实际问题的重要工具，很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。比如逆矩阵可以用来解线性方程组。逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一。伴随矩阵法要求计算矩阵的行列式的值以及它的伴随矩阵，当其阶数较高时，它的计算量是很大的，此时用伴随矩阵法求逆矩阵通常是不方便的。为了更便捷地求矩阵的逆，本文根据矩阵的特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法，这些方法能帮助我们更快更准地解决繁琐的求逆矩阵问题。同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础。

1.2国内外研究现状

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位，逆矩阵的应用也相当广泛。可以说，凡是用到矩阵的地方，都有可能用到逆矩阵。随着逆矩阵研究的深入，其应用的范围越来越广，在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域的许多问题都需要用逆矩阵来解决。在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，系统识别问题和网络问题等领域，逆矩阵更是不可缺少的研究工具。

1.3本文主要解决的问题

本文先对矩阵及其逆矩阵从定理、性质等方面进行了总结，然后介绍了逆矩阵的几种常用的求解方法，主要有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法与解方程组法。从而对矩阵有了进一步的理解，有助于解决在数理统计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域遇到的相关问题。

2 矩阵的基础知识

2.1矩阵的定义及性质

2.1.1矩阵的定义

由m ⨯n 个数a ij (i =1,2, ⋅⋅⋅, m ; j =1,2, ⋅⋅⋅, n ) 排列成m 个行n 个列的数表

⎡a 11a 12 a 14⎤⎢a ⎥a a 21221n ⎥ A =⎢ ⎢ ⎥⎢⎥a a a mn ⎦⎣m 1m 2

称为m ⨯n 矩阵，其中数a ij 称为矩阵A 的(i , j ) 元.

当m =n 时，称A 为n 阶矩阵或n 方阵.

元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作O m ⨯n 或简记为O .

两个矩阵A =(a ij ) m ⨯n ，B =(b ij ) s ⨯t ，如果m =s ，n =t ，则称矩阵A 与B 为同型矩阵. 如果两个同型矩阵A =(a ij ) 与B =(b ij ) 的对应元素相等，即a ij =b ij ，∀i =1,2, ⋅⋅⋅, m ，j =1,2, ⋅⋅⋅, n ，则称矩阵A 与B 相等，记作A =B 或(a ij ) m ⨯n =(b ij ) m ⨯n .[1]

当m =1时，矩阵A =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n ) 称为行矩阵或行向量.

⎡b 1⎤⎢b ⎥

当n =1时，，矩阵A =⎢2⎥称为列矩阵或列向量. ⎢ ⎥⎢⎥⎣b m ⎦

形如

⎡a 110 0⎤⎢0a 0⎥22⎥ ⎢⎢ ⎥⎢⎥00 a nn ⎦⎣

的n 阶方阵，即主对角线以外的元素都是零的方阵称为对角矩阵或对角方阵，记作

⎡a 1⎤⎢⎥a 2⎥. Λ=diag (a 1, a 2, , a n ) =⎢⎢⎥ ⎢⎥a n ⎦⎣

特别当a 11=a 22= =a nn =a 时，这时的对角矩阵叫做n 阶数量矩阵.

当a 11=a 22= =a nn =1时，这时的数量矩阵叫做n 阶单位矩阵，记作E n 或I n ，在阶

⎡1⎢0数不致混淆时，简记为E 或I ，即I n =⎢⎢ ⎢⎣0

主对角线下方的元素都是零的方阵 0 0⎤1 0⎥⎥. ⎥⎥0 1⎦

⎡a 11a 12 a 1n ⎤⎢0a a ⎥222n ⎥ ⎢ ⎢ ⎥⎢⎥00 a nn ⎦⎣

叫做上三角矩阵.

主对角线上方的元素都是零的方阵

⎡a 110 0⎤⎢a a 0⎥22⎥ ⎢21

⎢ ⎥⎢⎥a a a nn ⎦⎣n 1n 2

叫做下三角矩阵.[2]

2.1.2矩阵的性质

性质1 矩阵的加法运算具有以下运算规律：

(1) 加法交换律A +B =B +A ；

(2) 加法的结合律(A +B ) +C =A +(B +C ) ；

(3) A +O =O +A =A ，

其中A ，B ，C 都是m ⨯n 矩阵.

性质2 矩阵数乘运算满足以下运算规律：

(1) A =k (lA ) =l (kA ) ；

(2) k (A +B ) =kA +kB ；

(3) (k +l ) A =kA +lA ，

其中A ，B 都是m ⨯n 矩阵，k ，l 为任意实数.

性质3 矩阵乘法满足的运算规律和性质：

(1) 结合律 (AB ) C =A (BC ) ；

(2) 分配律 A (B +C ) =AB +AC ，(A +B ) C =AC +BC ；

(3) 数与乘法的结合律 (kA ) B =A (kB ) =k (AB ) ；

(4) 当A ，B 均为n 阶方阵时，有AB =A B ；

(5) (AB ) T =B T A T ；

(6) r (AB ) ≤min(r (A ), r (B )) .[3]

性质4 矩阵乘法不满足交换律：

⎡10⎤⎡00⎤例 1 已知A =⎢⎥，B =⎢10⎥. 求AB 和BA . 00⎣⎦⎣⎦

解 AB =⎢

⎡10⎤⎡00⎤⎡00⎤⎡00⎤⎡10⎤⎡00⎤，. =BA ==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎣00⎦⎣10⎦⎣00⎦⎣10⎦⎣00⎦⎣10⎦

2.2逆矩阵的定义与性质

2.2.1逆矩阵的定义

定义 设A 为n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵B ，使得AB =BA =I 成立，那么矩阵A 称为可逆矩阵，此时矩阵B 称为A 的逆矩阵，简称为矩阵A 的逆. 如果A 的逆矩阵不存在，那么A 称为不可逆矩阵.

A 的逆矩阵记作A -1，即如果AB =BA =I ，那么B =A -1.

2.2.2逆矩阵的性质

性质1 如果矩阵A 可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.

证明 设B ，C 都是A 的逆矩阵，那么有B =BI =B (AC ) =(BA ) C =IC =C ，

所以A 的逆矩阵是唯一的.

性质2 如果A 可逆，那么A -1可逆，且(A -1) -1=A .

性质3 如果A 可逆，数λ≠0，那么λA 可逆，且(λA ) -1=

性质4 如果A 可逆，那么A T 可逆，且(A T ) -1=(A -1) T .

性质5 如果A ，B 都是n 阶可逆矩阵，那么AB 可逆，且(AB ) -1=B -1A -1.

证明 因为

(AB )(B -1A -1) =A (BB -1) A -1=AIA -1=AA -1=I

(B -1A -1)(AB ) =B -1(A -1A ) B =B -1IB =B -1B =I

所以AB 可逆，且(AB ) -1=B -1A -1.[4]

1A -1.

3 逆矩阵的求法

3.1用定义求逆矩阵

设A 是一个n 阶矩阵，如果存在n 阶矩阵A ，使A B =B A =I ，则称A 矩阵是可逆矩阵，并称B 是A 的逆矩阵.[5]

例2 已知n 阶矩阵A 满足A 2-A =I ，证明A +2I 可逆，并求出它的逆矩阵(A +2I ) -1.

证 由A 2-A -2I =0，得(A -3I )(A +2I ) +4I =0，则(A +2I )(A -3I ) +4I =0，即

11(A +2I )[-(A -3I )]=I 且[-(A -3I )](A +2I ) =I ，由定义可知，A +2I 可逆且44

1(A +2I ) -1=-(A -3I ) . 4

⎡A 11⎢A 12设A 是n 阶矩阵，称矩阵⎢⎢ ⎢⎣A 1n A 21 A n 1⎤A 22 A n 2⎥⎥称为A 的伴随矩阵，记作A *，其中A ij ⎥⎥A 2n A nn ⎦

⎡A 11⎢A *是中元素a ij 的代数余子式，即A =⎢12

⎢ ⎢⎣A 1n A 21 A n 1⎤A 22 A n 2⎥⎥. ⎥⎥A 2n A nn ⎦

1*A . A 定理 n 阶矩阵A 可逆的充要条件是A ≠0，且在A 可逆时，A -1=

这种求逆矩阵的方法称为伴随矩阵法. 该法主要用于逆矩阵或伴随矩阵的理论推导上，但对于阶数较低（一般不超过3）或元素的代数余子书式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵. 使用伴随矩阵法求逆矩阵时，应注意以下几点：

(1) 准确地算出A *. 注意A *的第i 行元素依次是矩阵A 的第i 列元素的代数余子式.

(2) A ij 是a ij 的代数余子式，不是余子式，且A ij =(-1) i +j M ij ，因此计算时千万不要遗漏代数符号(-1) i +j .

此定理不仅给出了方阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式.[6]

⎡123⎤⎥是否可逆，若可逆，求A -1. 222 例3 判定矩阵A =⎢⎢⎥⎢⎣323⎥⎦

解 因为A =-4≠0，所以A 可逆，又

A 11=2，A 12=0，A 13=-2，A 21=0，A 22=-6，A 23=4，A 31=-2，A 32=4，A 33=-2 1⎤⎡1-022⎥⎡20-2⎤⎢⎢⎥1*1⎢3⎥-1A =-⎢0-64⎥=⎢0-1⎥. 所以A =A 42⎢⎥⎢⎥-24-21⎥⎣⎦⎢1-1⎢2⎥⎣2⎦

3.3.1初等行变换

由n 阶矩阵A ，作一个n ⨯2n 矩阵(A , I ) ，如果此矩阵可以经过初等行变换化为(I , B )，那么矩阵A 可逆，此时B 即可为A -1. 换句话说，当A 可逆时，

(A , I ) −初等行变换−−−→（I , A -1）.

⎡211⎤⎥的逆矩阵. 012 例4 用初等行变换求逆矩阵A =⎢⎢⎥⎢⎣113⎥⎦

解

⎡211100⎤⎡113001⎤⎡113001⎤⎥→⎢012010⎥→⎢012010⎥ 012010(A , I ) =⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎣113001⎥⎦⎢⎣211100⎥⎦⎢⎣0-1-510-2⎥⎦

⎡113001⎤⎡0⎢1130⎢⎥→⎢012010⎥→⎢01201⎢11⎢-⎣00-311-2⎥⎦⎢001-33⎣1⎤⎥0⎥2⎥⎥3⎦⎡⎤⎢11011-1⎥⎢254⎥-⎥ →⎢010333⎥⎢⎢001-1-12⎥⎢333⎥⎣⎦

21⎤121⎤⎡1⎡-100-⎢3⎢33⎥333⎥⎢2⎢54⎥254⎥-1-⎥. -⎥，故A =⎢→⎢01033⎥333⎥⎢3⎢⎢-1-12⎥⎢001-1-12⎥⎢⎢33⎥333⎥⎣3⎦⎣⎦

3.3.2初等列变换

⎡A ⎤类似地，如果n 阶矩阵A 可逆，则作一个2n ⨯n 的矩阵⎢⎥，然后对此矩阵施以初⎣I ⎦

等列变换，使矩阵A 化为单位矩阵I ，此时I 可化为A -1，即

⎡A ⎤初等列变换⎡I ⎤⎢I ⎥−−−−→⎢A -1⎥.[7] ⎣⎦⎣⎦

⎡421⎤

⎥的逆矩阵. 111例5 用初等列变换求矩阵A =⎢⎢⎥

⎢⎣101⎥⎦

解

⎡4

⎢1⎢⎡A ⎤⎢1⎢I ⎥=⎢1⎣⎦⎢

⎢0⎢⎢⎣0

2

10010

1⎤⎡1

⎢11⎥⎥⎢1⎥⎢1⎥→⎢0⎥⎢00⎥⎢0⎥⎢1⎥⎦⎢⎣1

2

10010

⎡100⎤4⎤⎡100⎤⎡100⎤

⎢1-10⎥⎥⎢⎥⎢⎥1⎥⎢1-1-3⎥⎢1-10⎥⎢⎥⎢1-21⎥1⎥⎢1-2-3⎥⎢1-23⎥1⎥ ⎥→⎢⎥→⎢⎥→⎢00⎢⎥1⎥⎢001⎥⎢001⎥3⎢01-1⎥

0⎥⎢010⎥⎢01-3⎥⎢⎥2⎥⎢⎥⎢⎥⎢1-2⎥0⎥⎦⎢⎣1-2-4⎥⎦⎢⎣1-22⎥⎦3⎦⎣

00⎤⎡100⎤00⎤⎡1⎡1

⎥⎢1-10⎥⎢0-10⎥⎢010⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎢001⎥⎢001⎥01⎥⎢0

21⎥→⎢121⎥，所以A -1=→⎢-121⎥→⎢1-⎥⎢3⎥⎢33⎥⎢333333⎥⎢1-1-1⎥⎢0-1-1⎥⎢01-1⎥⎢12⎥⎢1⎥⎢122222⎥⎢-⎥⎢⎥⎢---

33⎦⎣333⎦⎣333⎦⎣3

⎡1-21⎤

1⎢⎥. 03-3⎥3⎢⎢⎣-122⎥⎦

3.3.3混合采用初等行、列变换

设A 可逆，则对A 施行一系列的行、列初等变换把A 变成I . 即存在初等矩阵S 1，S 2，

，S m ，T 1，T 2， ，T n ，使S m S 2S 1AT 1T 2 T n =I ，则

(S m S 2S 1A )=T 1T 2 T n

-1

-1-1

S m =T 1T 2 T n A -1S 1-1S 2

∴A -1=(T 1T 2 T n )(S m S 2S 1)

令T =I 1T 1T 2 T n ，S =S m S 2S 1I 2，∴A -1=TS

所以，对A 施行一系列行、列初等变换把A 变成I ，此时同样的初等列变换把单位矩阵而同样的初等行变换把单位矩阵I 2变成S ，则A -1=TS . 于是构造一个2n ⨯2n I 1变成T ，矩阵

⎛A I 2⎫对A 任意行、列初等变换⎛I S ⎫ T O ⎪⎪ I O ⎪⎪−−−−−−−→

⎝⎭⎝1⎭

A -1=TS .

⎡011⎤

⎥，求A -1. 113例 6 设A =⎢⎢⎥

⎢⎣2-10⎥⎦

解

⎡A ⎢I ⎣

⎡1⎢0⎢⎢0r 3-2r 1

−−−→⎢

⎢1⎢0⎢⎣0⎡1⎢0⎢⎢0r 3+3r 2

−−−→⎢

⎢1⎢0⎢⎣0

⎡0⎢1⎢⎢2I ⎤

===⎢O ⎥⎦⎢1

⎢0⎢⎣0130111-3-[***********]-33-1-30100010

00

01

11-101010-200010-2000

1100⎤⎡1

⎢03010⎥⎥⎢

0001⎥r 1r 2⎢2

→⎢⎥−−−

0000⎥⎢1

⎢00000⎥

⎥⎢

1000⎦⎣00⎤⎡100

⎢0110⎥⎥⎢c -c

1⎥c 32-31c 1⎢0-3-6

→⎢⎥−−−

0⎥⎢1-1-3

⎢0100⎥

⎥⎢0⎦⎣0010⎤⎡100

⎢0100⎥⎥⎢

1⎥c 3-c 2⎢00-3

→⎢⎥−−−

0⎥⎢1-1-2

⎢01-10⎥

⎥⎢0⎦⎣001

13

11-[1**********]00-[1**********]3-2000000

[1**********]00⎤0⎥⎥1⎥⎥0⎥0⎥⎥0⎦1⎤0⎥⎥1⎥⎥ 0⎥0⎥⎥0⎦

0⎤0⎥⎥1⎥

⎥ 0⎥0⎥⎥0⎦

⎡10⎢01⎢⎢1

-r 3003−→⎢⎢

⎢1-1⎢01⎢⎢⎣0010⎤

⎡00⎥⎥⎢0⎡1-1-2⎤

21⎥⎥, S =⎢11-1-⎥∴T =⎢01-1⎢⎢⎥33⎥， ⎢⎢001⎥⎣⎦-2000⎥⎢-1

⎣

-1000⎥

⎥

1000⎥⎦

1

023

12⎤⎡

⎤⎢1-⎥33⎥0⎢⎥⎥⎢21⎥0⎥=2-.

⎢⎥331⎥⎢

21⎥-⎥⎢

-⎥3⎦⎢-133⎥⎣⎦

1

023

⎤0⎥⎥0⎥, 1⎥-⎥3⎦

⎡

⎡1-1-2⎤⎢0

⎥⎢1∴A -1=TS =⎢01-1⎢⎥⎢

⎢⎣001⎥⎦⎢⎢-1

⎣

3.4用分块矩阵求逆矩阵

在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，并视每一小块是矩阵的元素，按照矩阵的运算法则进行计算，二小块之间的运算同样是按矩阵的运算法则进行运算，由此可以求出一个矩阵的逆矩阵. 特别地，我们有，若T 为可逆矩阵，且

⎡A B ⎤T =⎢⎥，则 C D ⎣⎦

⎡A -1+A -1B (D -CA -1B ) -1CA -1-A -1B (D -CA -1B ) -1⎤

T =⎢⎥.[8] -1-1-1-1-1

-(D -CA B ) CA (D -CA B ) ⎣⎦

-1

例7 求矩阵W 的逆矩阵，其中

⎡1⎢0

W =⎢

⎢0⎢⎣3

01040012

3⎤4⎥⎥. 2⎥⎥5⎦

⎡100⎤⎡3⎤

⎛A B ⎫⎥，B =⎢4⎥，010解 将矩阵W 分成四块，形如 ，其中A =⎢C =[342]，⎪⎢⎥⎢⎥C D ⎝⎭⎢⎢⎣001⎥⎦⎣2⎥⎦⎡3⎤

1⎥，4D =[5]，于是(D -CA -1B ) =(-24) ，即(D -CA -1B ) -1=(-) ，且A -1B =B =⎢⎢⎥24

⎢⎣2⎥⎦CA -1=C =[342]，利用公式(1) ，得

⎡15-12-63⎤

⎢⎥1⎢-128-84⎥-1

W =.

24⎢-6-8202⎥⎢⎥342-1⎣⎦

3.5用解方程组求逆矩阵

根据可逆的上（下）三角矩阵的逆仍然是上（下）三角矩阵，且上（下）三角矩阵

逆矩阵主对角元分别为上（下）三角矩阵对应的主对角元的倒数，于是可以假设含有待定参数的逆矩阵的表达形式. 又由于A -1A =I ，于是根据矩阵相等的定义可得与待定参

数有关的若干个方程，从而可以求得待定参数，此法常用于求上（下）三角矩阵的逆矩阵.

⎡⎢1000⎤例8 求A =⎢

1

200⎥⎢⎢2130⎥⎥的逆矩阵. ⎣1

21

4⎥⎦

⎡⎢1

00

0⎤⎢X

12100⎥⎥

解 设A -1=⎢2

⎢10⎥⎥

，先求A -1中主对角线下方的三个元素X 21，⎢X 31X 32

3⎢1⎥⎢⎥⎣X 41

X 42X 43

4⎥⎦

⎡⎢1

00

0⎤⎢X

12100⎥⎥⎡10

00⎤X . 于是⎢2

1⎥⎢200⎥43，再求X 31，X 42，最后求X 41⎢⎢X 31X 32

3⎥⎢10130⎥⎥=I , ⎢X 1⎥⎢2⎢43

⎥⎢⎣121

4⎥⎦

⎣

X 41X 424⎥⎦

比较等式的两端，得到

1*X 21+1*2+2*0+1*0=0；解得，X 21=-2；

0*X 31+2*X 32++2*0=0；解得，X 32=-6； 0*X 41+0*X 42+3*X 43+4=0；解得，X 43=-； 1*X 31+1*X 32+3+1*0=0；解得，X 31=-2； 0*X 41+2*X 42+1*X 43+4=0；解得，X 42=-4； 1*X 41+1*X 42+2*X 43+4=0；解得，X 41=-. ⎡⎢1

000⎤于是，所求的逆矩阵A -1=⎢

-2200⎥⎢⎢-2-60⎥⎥.[9] ⎣8-4-4⎥⎦

X 32，

矩阵在我们生活中具有较强的应用性，因而备受人们的关注。而在解决矩阵问题时常常需要求矩阵的逆，因此总结出一套求矩阵逆的方法是必要的。在高等数学的内容中的矩阵是一个重要知识点，它对学习初等数学也有一定的指导作用。灵活巧妙地运用矩阵能高瞻远瞩，方便地解决初等数学与高等数学中的相关问题。

能否熟练地应用就要看我们是否有运用它的意识，是否掌握其中的技巧，如果具备了这样的能力，就能将复杂问题简单化，进而提高解题速度，收到事半功倍的效果。事实上，如何应用矩阵去求逆矩阵，难点在于能否熟练的运用这些方法去求，此时既要考虑矩阵的形式，又要考虑所给的条件。此外，熟练掌握求逆矩阵的方法，有助于开阔眼界，培养散性思维。

论文得以完成，要感谢的人实在太多了，首先要感谢肖艳艳老师，因为论文是在肖老师的悉心指导下完成的。肖老师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。肖老师指引我的论文的写作的方向和架构，并对本论文初稿进行逐字批阅，指正出其中误谬之处，使我有了思考的方向，他的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪，他的严谨细致、一丝不苟的作风，将一直是我工作、学习中的榜样。肖老师要指导很多同学的论文，加上本来就有的教学任务，工作量之大可想而知，但在一次次的回稿中，精确到每一个字的批改给了我深刻的印象，使我在论文之外明白了做学问所应有的态度。

论文的顺利完成，也离不开其它各位老师、同学和朋友的关心和帮助。在整个的论文写作中，各位老师、同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见，在他们的帮助下，论文得以不断的完善，最终帮助我完整的写完了整个论文。另外，要感谢张晗，王明刚，夏慧明，许荣飞等老师四年的指导和帮助，这也是论文得以完成的基础。

通过此次的论文，我学到了很多知识，跨越了传统方式下的教与学的体制束缚，在论文的写作过程中，通过查资料和搜集有关的文献，培养了自学能力和动手能力。并且由原先的被动的接受知识转换为主动的寻求知识，这可以说是学习方法上的一个很大的突破。在以往的传统的学习模式下，我们可能会记住很多的书本知识，但是通过毕业论文，我们学会了如何将学到的知识转化为自己的东西，学会了怎么更好的处理知识和实践相结合的问题。

在论文的写作过程中也学到了做任何事情所要有的态度和心态，首先我明白了做学问要一丝不苟，对于出现的任何问题和偏差都不要轻视，要通过正确的途径去解决，在做事情的过程中要有耐心和毅力，不要一遇到困难就打退堂鼓，只要坚持下去就可以找到思路去解决问题的。在工作中要学会与人合作的态度，认真听取别人的意见，这样做起事情来就可以事半功倍。总之，此次论文的写作过程，我收获了很多。此次论文的完成既为大学四年划上了一个完美的句号，也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫。

再次感谢在大学传授给我知识以及给我帮助和鼓励的老师，同学和朋友，谢谢你们。 最后，谨向在百忙之中来参加论文答辩的各位老师表示衷心的感谢。

参考文献

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