圆的标准方程 一般方程 参数方程
7.6圆的方程（1）
教学目的：
1、使学生掌握圆的标准方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径
2、能根据不同的条件，利用待定系数法、定义法求圆的标准方程 3、能运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题
一、复习引入：1、具有什么性质的点的轨迹是圆？（圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆）
2、求曲线方程的一般步骤为：
（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合；(可以省略，直接列出曲线方程) （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x , y ) =0; （4）化方程f (x , y ) =0为最简形式；
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (可以省略不写, 如有特殊情况，可以适当予以说明) 二、讲解新课：
1、已知圆心为C (a , b ) ，半径为r ， 如何求的圆的方程？
运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：
(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 这个方程叫做圆的标准方程
222
2、圆的标准方程 ：(x -a ) +(y -b ) =r
若圆心在坐标原点上，这时a =b =0，则圆的方程就是x 2+y 2=r 2
3、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a , b , r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定a , b ,
r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决
三、讲解范例：
例1 求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x -4y -7=0相切的圆的方程 解：已知圆心坐标C(1,3)，故只要求出圆的半径，就能写出圆的标准方程。因为圆C 和直线3x -4y -7=0相切，所以半径r 就等于圆心C 到这条直线
|3⨯1-
4⨯3-7|16
的距离，根据点到直线的距离公式，得r == 532+(-4) 2
25622
因此，所求的圆的方程是 (x -1) +(y -3) =
25
变式：求以C(1,3)为圆心，且和直线3x -4y -6=0截得的弦长为8的圆的方程。
（注：在求圆的方程时，要注意运用圆的几何意义，使问题解决简化）
例2已知圆的方程x +y =r ，求经过圆上一点M (x 0, y 0) 的切线方程 分析：此题关键是求切线的斜率，为此须分两种情形讨论。 解：如图，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1， 因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k =-
∵k 1=
2
2
2
1 k 1
y 0x ∴k =-0 x 0y 0
x
经过点M 的切线方程是 y -y 0=-0(x -x 0) ，
y 0
整理得 x 0x +y 0y =x 0+y 0
因为点M (x 0, y 0) 在圆上，所以x 0+y 0=r 2，所求切线方程是x 0x +y 0y =r
1
2
2
2
22
点评：1、 “待定系数法”：即设出圆的切线方程，将其代入到圆的方程，得到一个关于x 或y 的一元二次方程，利
用判别式进行求解。但此法不如用几何方法简练实用。几何方法：利用圆心到直线的距离等于半径(本题利用了圆心到切点的距离为半径的知识) ，由此确定了斜率的，从而得到点斜式的切线方程。以上两种方法只能求出存在斜率的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补。
2、若圆的方程是：(x -a )
2
+(y -b ) 2=r 2，M (x 0, y 0) 是圆上一点，则过M 的切线方程是：x 0x +y 0y =r 2。
例3．求过点M (3,1)，且与圆(x -1) 2+y 2=4相切的直线l 的方程．
解一：（待定系数法）设切线方程为y -1=k (x -3) ，即kx -y -3k +1=0， ∵圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，
3
=2，解得k =-，
4
∴切线方程为y -1=-
3
(x -3) ，即3x +4y -13=0， 4
当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为x =3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径
解二：利用切线方程公式，关键是求出切点坐标。
例4．一圆过原点O 和点P (1,3) ，圆心在直线y =x +2上，求此圆的方程。（学生思考、探索不同解法） 解法一：（待定系数法）∵圆心在直线y =x +2上， ∴设圆心坐标为(a , a +2) ， 则圆的方程为(x -a ) 2+(y -a -2) 2=r 2， ∵点O (0,0)和P (1,3)在圆上，
1⎧a =-22
⎪⎧⎪⎪(0-a ) +(0-a -2) =r 4
∴⎨，解得⎨，
222
25⎪⎪r 2=⎩(1-a ) +(3-a -2) =r
⎪8⎩
127225
所以，所求的圆的方程为(x +) +(y -) =．
448
2
解法二：（定义法）由题意：圆的弦OP 的斜率为3，中点坐标为(, ) ，
13
22
311
=-(x -) ，即x +3y -5=0， 232
∵圆心在直线y =x +2上，且圆心在弦OP 的垂直平分线上，
∴弦OP 的垂直平分线方程为y -
1⎧x =-⎪⎧y =x +217⎪4
∴由⎨解得⎨，即圆心坐标为C (-, ) ，
44⎩x +3y -5=0⎪y =7
⎪⎩4
127225
所以，所求的圆的方程为(x +) +(y -) =．
448
例5．已知一圆与y 轴相切，在直线y =x
上截得的弦AB 长为x -3y =0上，求此圆的
又∵圆的半径r =|OC |==
方程．
解：∵圆心在直线x -3y =0上，∴设圆的方程为(x -3a ) +(y -a ) =r ， ∵圆与y 轴相切，∴r =3|a |，
又圆心到弦AB
2
2
2
=a |，
∴a |)2+2=(3|a |)2，∴a =±1，r =3，
2
所以，所求的圆方程为(x -3) 2+(y -1) 2=9或(x +3) 2+(y +1) 2=9． 说明：（1）求圆的方程，常用待定系数法，要注意用部分条件设方程（少设未知数），再用其余的条件求待
定的系数；
四、课堂练习：P77 T1、2、3、4
2、已知圆x 2+y 2=25，求：
（1）过点A （4，-3）的切线方程 （2）过点B （-5，2）的切线方程
分析：求过一点的切线方程，当斜率存在时可设为点斜式，利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程，求出斜率k 的值，斜率不存在时，结合图形验证；当然若过圆上一点的切线方程，可利用公式
x 0x +y 0y =r 2求得
解：（1）∵点A （4，-3）在圆x 2+y 2=25上 ∴过点A 的切线方程为：4x -3y -25=0
（2）∵点B （-5，2）不在圆x 2+y 2=25上，当过点B （-5，2）的切线的斜率存在时，设所求切线方程为y -2=k (x +5) ，即kx -y +5k +2=0 由
k +2
2
=5，得k =
k +1
当过点B （-5，2）的切线斜率不存在时，结合图形可知x =-5，也是切线方程 综上所述，所求切线方程为：21x -20y +145=0或x =-5
21
21x -20y +145=0 20
五、小结 ：1．圆的标准方程的概念及推导；2．如何求圆的标准方程：待定系数法、定义法3．求圆的切线方程的常用方法：公式法、待定系数法。
圆的方程（圆的一般方程） 教学目标：1. 掌握圆的一般方程，知道它的特点；
2. 能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径； 3. 能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．
教学过程：
（一）复习：1、写出圆的标准方程？(x -a ) +(y -b ) =r ． 2、求圆的方程的方法？3、经过一点求圆的切线方程的方法？ （二）新课讲解： 1．圆的一般方程
将上述标准方程展开，整理，得x +y -2ax -2by +a +b -r =0，
2
2
2
2
2
2
2
2
D 2E 2D 2+E 2-4F
将①配方得：(x +) +(y +) =． ②
224
把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：
D E , -) 22D E 22
（2）当D +E -4F =0时，方程①表示一个点(-, -) ；
22
22
（3）当D +E -4F
22
结论：当D +E -4F >0时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．
（1）当D +E -4
F >0时，方程①表示以(-
2
2
2．圆的一般方程形式上的特点：
（1）x 和y 的系数相同，且不等于0； （2）没有xy 这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax +Bxy +Cy +Dx +Ey +F =0表示圆的必要条件，但不是充分条件．充要条件是？（A=C≠0，B=0，D +E -4FA >0）
3
2
2
2
2
22
说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．
2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点？（圆的标准方程：有利于作图。一般方程：有利于判别二元二次方程是不是圆的方程） （三）例题分析：
例1．求过三点O (0,0)、M 1(1,1) 、M 2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标． 解：设所求的圆方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， ∵O (0,0)、M 1(1,1) 、M 2(4,2)在圆上，
⎧F =0, ⎧D =-8⎪⎪∴⎨D +E +F +2=0, 解得⎨E =6， ⎪4D +2E +F +20=0. ⎪F =0⎩⎩
∴所求的圆方程为x 2+y 2-8x +6y =0，
=5． 22
注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为x +y +Dx +Ey =0；
⑵本题也可以换一种说法：已知 OM 1M 2中，三个顶点的坐标分别O (0,0)、M 1(1,1) 、M 2(4,2)，
圆心坐标为(4,-
3) ，半径为r =求∆OM 1M 2的外接圆的方程．
例2．已知一曲线是与两个定点O (0,0)、A (3,0)距离的比为解：设M (x , y ) 是曲线上任意一点，由题意：
1
的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线． 2
|MO |1
=， |MA |2
∴
=
1
，化简得x 2+y 2+2x -3=0， ① 2
2
2
这就是所求的曲线方程．
把方程①配方得：(x +1) +y =4，所以方程①的曲线是以(-1,0) 为圆心，2为半径的圆．（作图） 注意：本题也可以一般化
已知一曲线是与两个定点A 、B 距离的比为λ(λ>0) 的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．
提示：以直线AB 为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，设AB =2a (a >0)，则可以按照上例的方法求解。可得：
(1-λ)x +(1-λ)y
2
2
2
2
-2a (1+λ2)x +a 2(1-λ2)=0
，
要注意讨论λ对曲线的形状的影响．
22
R ⊥Q R 例3．已知圆x +y -x -8y +m =0与直线x +2y -6=0相交于P 、Q 两点，定点R (1,1)，若P
求实数m 的值．
解：设P (x 1, y 1) 、Q (x 2, y 2) ，
⎧x 2+y 2-x -8y +m =02
由⎨，消去y 得：5x +4m -60=0， ①
⎩x +2y -6=0
由题意：方程①有两个不等的实数根，∴60-4m >0，m
⎧x 1+x 2=0⎪
由韦答定理：⎨， 4
x x =m -1212⎪5⎩
y -1y 2-1
∵PR ⊥QR ，∴k PR k QR =-1，∴1⋅=-1，即(x 1-1)(x 2-1) +(y 1-1)(y 2-1) =0，
x 1-1x 2-1
即x 1x 2-(x 1+x 2) +y 1y 2-(y 1+y 2) +2=0， ②
4
x 1x x x x x x x 3
, y 2=3-2，∴y 1y 2=(3-1)(3-2) =9-(x 1+x 2) +12=9+12， 2222244
554
y 1+y 2=6，代入②得：x 1x 2+5=0，即(m -12) +5=0，
445
∴m =10，适合m
∵y 1=3-
圆的方程（圆的参数方程）
教学目标：1. 理解圆的参数方程，能熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程；
2. 理解参数θ的意义；
3. 理解圆心不在原点的圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程； 4. 能进行圆的一般方程和圆的参数方程的互化，并能用之解题．
教学过程：
（一）复习：1、圆的标准方程和一般方程．
2、P （x,y ）是图形F 上的任意一点，它在平移后图形F ’上的对应点为P ’(x’,y ’), 平移向量为（h,k ）=. 则平移公式是？
（二）新课讲解：（点题：圆的参数方程） 1．圆的参数方程的推导
O 上从P （1）设圆O 的圆心在原点，半径是r ，圆O 与x 轴的正半轴的交点是P 0，设点在圆0开始按逆
时针方向运动到达点P ，∠POP =θ，则点P 的位置与旋转角θ有密切的关系： 0
y
当θ确定时，点P 在圆上的位置也随着确定； 当θ变化时，点P 在圆上的位置也随着变化． 这说明，点P 的坐标随着θ的变化而变化． 设点P 的坐标是(x , y ) ，你能否将x 、y 分别表示
P 0x
⎧x =r cos θ
θ成以为自变量的函数？根据三角函数的定义，⎨， ①
y =r sin θ⎩
显然，对于θ的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x , y ) 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程，θ是参数． （2）圆心为O 1(a , b ) ，半径为r 的圆的参数方程是怎样的？
圆O 1可以看成由圆O 按向量v =(a , b ) 平移得到的（如图）， 由O 1P =OP 1(a , b ) ， 1可以得到圆心为O
y
⎧x =a +r cos θ半径为r 的圆的参数方程是⎨ （θ为参数）②
⎩y =b +r sin θ
2．参数方程的概念
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y
P (x , y )
x
⎧⎪x =f (t )都是某个变数t 的函数，即⎨③
⎪⎩y =g (t )
并且对于t 的每一个允许值，方程组③所确定的点M (x , y ) 都在这条曲线上，那么方程组③就叫做这条曲线
的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．
5
相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标x 、y 关系的方程，叫做曲线的普通方程． 将曲线的参数方程中的参数消去，可得到曲线的普通方程。参数方程和普通方程可以互化． 如：将圆的参数方程②的参数θ消去，就得到圆的普通方程(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2． （三）例题分析：
例1．把下列参数方程化为普通方程：
2⎧x =1⎪⎧x =a ⎧x =2+3cos θ⎪1+t 2(t +)
（1）⎨（θ为参数）（2）⎨（t 为参数）（3）⎨（t 为参数） ⎩y =3+2sin θ⎩y =2(t -t ) ⎪y =2t
⎪1+t 2⎩⎧x -2
=cos θ，(1)⎪⎪3
解：（1）(利用同角公式化简) ⎨，
⎪y -3=sin θ，(2)⎪⎩2
(x -2) 2(y -3) 222
+=1，这就是所求的普通方程． 由(1)+(2)得
94
y y 22
（2）（整体代入消元）由原方程组得=t ，把t =代入x =得， x =
y 21+t 2x x
1+()
x
化简得：x 2+y 2-2x =0（x ≠0），这就是所求的普通方程．
（3）平方后加减消元
说明：1、将参数方程和普通方程的互化，要注意参数的取值范围与x 、y 的取值范围之间的制约关系，保
持等价性．2、注意消参的方法，及参数的几何性质。
例2．如图，已知点P 是圆x 2+y 2=16上的一个动点，定点A (12,0)，当点P 在圆上运动时，线段PA 的中点M 的轨迹是什么？
解：设点M (x , y ) ，∵圆x 2+y 2=16的参数方程为⎨
⎧x =4cos θ
，
⎩y =4sin θ
4cos θ+12⎧x =⎪⎪2
∴设点P (4cosθ,4sin θ) ，由线段中点坐标公式得⎨，
⎪y =4sin θ⎪⎩2
y
⎧x =2cos θ+6
即点M 轨迹的参数方程为⎨，
⎩y =2sin θ
∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．
O 【思考】：这个问题不用参数方程怎么解？（相关点法）
又解：设M (x , y ) ，P (x 0, y 0) ，
x
x 0+12⎧
x =⎪⎧x 0=2x -12⎪2
∵点M 是线段PA 的中点，∴⎨，∴⎨，
y =2y ⎩0⎪y =y 0
⎪⎩222
∵点P (x 0, y 0) 在圆上，∴x 0+y 0=16，∴(2x -12) 2+(2y ) 2=16，
即点M 的轨迹方程为(x -6) +y =4，
∴点M 的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆．
6
2
2
变式：若Q 分PA 的比为1：2，求Q 点的轨迹方程。
⎧x =3+r cos θ,
例3．：设圆⎨（θ为参数）上有且仅有两点到直线-4x+3y=2的距离等于1，则r 的取值范
⎩y =-5+r sin θ
围是
例4．已知实数x 、y
满足x 2+y 2+2x -=0，（1）求x 2+y 2的最大值；（2）求x +y 的最小值．
解：原方程配方得：(x +1) 2+(y 2=
4，它表示以(-1为圆心，2为半径的圆，用参数方程可表
⎧⎪x =-1+2cos θ
示为⎨ （θ为参数，0≤θ
y =2sin θ⎪⎩
（1）x 2+y
2=(-1+2cos θ) 2+2sin θ) 2=θ-cos θ) +8=8sin(θ- ∴当θ-
π
6
) +8
π
6
=
π
2
，即θ=
2π
时，(x 2+y 2) max =16． 3
（2
）x +y =2(sinθ+cos θ) 1=θ+ ∴当θ+
π
4
) +1，
π
4
=
3π5π，即θ=
时，(x +y ) max =1． 24
说明：本题也可数形结合解．
五．小结：1．圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程⎨
⎧x =r cos θ
，（θ为参数）；
⎩y =r sin θ
⎧x =a +r cos θ
2．圆心为O 1(a , b ) ，半径为r 的圆的参数方程⎨（θ为参数）；
⎩y =b +r sin θ
3．参数方程和普通方程的互化，要注意等价性． 4．消参的方法。
六．作业：课本第81页练习第3题；第82页习题第9，10题；
⎧x =-2+cos θy
补充：已知曲线C 的参数方程为⎨（θ为参数），P (x , y ) 是曲线C 上任意一点，t =，
x ⎩y =sin θ
求t 的取值范围．
7