总复习-4特征值与特征向量.二次型
IV 特征值与特征向量、二次型
一、矩阵的特征值与特征向量
概念
性质
1. 属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于该特征值的特征向量。
2. 属于不同特征值的特征向量的线性组合一般不是特征向量。 属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
3. 设λ1, λ2, , λn 是方阵A =(a ij ) n ⨯n 的特征值,则
λ1+λ2+
λ1λ2+λn =∑a ii i =1n Tr (A ) , λn =|A |.
⎧kA ⎧k λ⎪aA +bE ⎪a λ+b ⎪⎪m m ⎪⎪⎪A ⎪λ4. 若A 有特征值λ,则矩阵⎨分别有特征值⎨.
⎪f (A ) ⎪f (λ)
⎪A -1⎪λ-1
⎪*⎪-1⎪⎪⎩A ⎩|A |λ
(与A 有共同的特征向量)
求法
1. 定义法
2. 特征多项式法
3. 利用特征值的性质(求矩阵其余的特征值或矩阵多项式等的特征值)
二、矩阵的对角化
1. 矩阵相似:定义、相似不变量
定义2. A n ⨯n 可对角化⇔A 相似于对角阵
⇔A 有n 个线性无关的特征向量
⇐A n ⨯n 有n 个不同的特征值
注意比较:
⎧⎪⎪⎪⎪
上三角⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎛a 1***⎫ ⎪a **2 ⎪, a ≠a ≠≠a ------可对角化2n *⎪1 ⎪a n ⎭⎝ ≠0⎛a ⎫ ⎪a ⎪----------------不可对角化 ⎪ ⎪a ⎝⎭ 3. 实对称矩阵可正交对角化
即存在正交矩阵Q ,使得
⎛λ1 =T Q A =Q Q -1A Q ⎝⎫⎪⎪ λn ⎪⎭
其中λ1, , λn 为A 的全部特征值。
A 为n 阶可对角化矩阵时)
A 为n 阶实对称矩阵时)
三、二次型
二次型的概念及其矩阵(对称)
二次型化简⇔矩阵的合同
矩阵在合同关系下保持不变的性质:秩、对称性、正定性
二次型化简为标准形的方法:正交变换法(实对称矩阵正交对角化的应用) 注:用正交变换法化得的标准形,其平方项系数必是矩阵A 的n 个特征值,
而其它方法化得的标准形未必。
正定二次型(正定矩阵)
n 元二次型X T AX 正定(或n 阶实对称矩阵A 正定) 定义⇔任意给定X ≠0,恒有X T AX >0 ⇔A 的特征值全大于零
⇔A 的(顺序) 主子式全大于零
⇒A >0
⇒A 的主对角元全大于零