向量相关练习题及答案
向量相关练习
一:选择题(共12题,每题5分,共60分)
1.设向量 a , b , c 满足 a + b + c = 0, a ⊥ b ,| a |=1,| b |=2, 则| c |2
= (D )
A .1 B.2 C.4 D.5
2. O是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=+λ,
λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( B )
A. 外心 B.内心 C.重心 D.垂心
3. 已知平面向量a =(1, 2), b =(-2, m ) ,且∥,则2+3=( C ) A.(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10)
4、已知平面向量 a =(1,-3), b =(4,-2),λ a + b 与
a 垂直,则λ是( A )
A. -1 B. 1
C. -2
D. 2
5.已知向量a 、b 满足a =1, b =4, ,且a
b =2,则a 与b 的夹角为 (C) A .
π6 B.π4 C.π3 D.π
2
6.设向量a=(1, -2), b=(-2,4), c =(-1, -2) ,若表示向量4a ,4b -2c ,2(a -c ), d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d 为(D)
A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2, -6) 7. 如图,在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误的是 ( D ) --→--→--→--→--→
A. AB =DC B. AD +AB =AC --→
--→
--→--→--→→
C. AB -AD =BD D. AD +CB =0
8. 在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F. 若
AC =a , BD =b , 则=( B )
A.1 4a +12b B. 2 3a +13b C. 1 2a +14b D. 1 3a +2 3b
9. 已知点M 1(6,2)和M 2(1,7),直线y =mx -7与线段M 1M 2的交点分有向线段M 1M 2的比为3:2,则m 的值为 ( D )
A -
32 B -23 C 1
4
D 4 10. 点P 在平面上作匀速直线运动,速度向量v =(4,-3) (即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为v 个单位).设开始时点P 的坐标为(-10,10),则5秒后点P 的坐标为( C )
A (-2,4) B (-30,25) C (10,-5) D (5,-10)
11. (2007上海)直角坐标系xOy 中,i ,
j 分别是与x ,y 轴正方向同向的单位向量.在直角三
角形ABC 中,若=2 i + j , =3 i +k
j ,则k 的可能值个数是(B )
A.1 B.2 C.3 D.4
12. 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,且 DC =2 BD , CE =2 EA , AF =2 FB
, 则 AD + BE + CF 与 BC
( A )
A. 反向平行
B. 同向平行
C. 互相垂直
D. 既不平行也不垂直
二:填空题(共四题,每题4分,共14分) 13. 若三点A (2,2),B (a ,0), C (0,b )(ab ≠0) 共线,则
11a +b 的值等于_________.1
2
14.已知直线ax +by +c =0与圆O :x 2+y 2=1相交于A 、B 两点,且|AB|=3,则⋅ = -
1
2
15
.已知向量 OA =(1 , 0) , OB
=(1+cos θ , sin θ) ,则向量 OA 与向量 OB 的夹角的取值
范围是[π, π
32
].
16. 关于平面向量a ,b ,c .有下列三个命题:
①若a b =a c ,则b =c .②若a =(1,k ) ,b =(-2,
6) ,a ∥b ,则k =-3。 ③非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为60 。 其中真命题的序号为 . ② .(写出所有真命题的序号)
三:解答题
17(本题10分). 已知向量a =(cos32x ,sin 32x ) ,b =(-cos x 2,sin x 2) ,且x ∈[0,π
2
]. (1)求a +b
(2)设函数f (x ) =a +b +a ⋅b
,求函数f (x ) 的最值及相应的x 的值。
解:(I )由已知条件: 0≤x ≤
π
2
, 得:
a +b =(cos3x +cos x , sin 3x 2-sin x 2) =(cos3x 2+cos x 2) 2+(sin3x x
2-sin 2
) 222
=
2-2cos 2x =2sin x
(2)f (x ) =2sin x +cos
3x 2cos x 2-sin 3x 2sin x
2
=2sin x +cos 2x =-2sin 2
x +2sin x +1=-2(sinx -1232) +2
因为:0≤x ≤
π
2
,所以:0≤sin x ≤1
所以,只有当: x =
12时, f x ) =3
max (2
x =0 ,或x =1时,f min (x ) =1 18(本题10分)
已知a =-1), b =(12,存在实数k 和t ,使得x =a +(t 2-3) b ,y =-k a +t b , 且x ⊥y ,若不等式k +t 2
t
>m 恒成立,求m 的取值范围. 解:由题意,有|a |=2,|b |=
1,∵a b =12-1=0 ∴a ⊥b , ∵x ⋅y =0,∴[a +(t 2-3) b ]⋅(-k a +t b ) =0,
∴k =b 2(t 3-3t ) 123k +t 121a 2=4(t -3t ) ,∴t =4(t +4t -3) =4(t +2) 2
-74
故t =-2时,k +t 2t 有最小值-77
4,即m
.
19(本题12分)
已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R ,都有f (1-x ) = f (1+x ) 成立,设向量→a = ( sinx , 2 ) ,→b = (2sinx , 1) ,→c = ( cos 2x , 1 ),→d =(1,2),当x ∈[0,π]时,求不等式f (→a ·→b ) >f (→c ·→
2d ) 的解集。
解:设f (x ) 的二次项系数为m ,由条件二次函数f (x ) 对任意x ∈R ,都有f (1-x ) = f (1+x ) 成立得f (x ) 的图象关于直线x =1对称,若m >0,则当x ≥1时,f (x ) 是增函数 ;
若m <0,则当x ≥1时,f (x ) 是减函数。
∵→a ·→
b =(sinx ,2)·(2sinx , 12)=2sin 2x +1≥1 →c ·→d =(cos 2x ,1)·(1,2)=cos 2x +2≥1
∴当m >0时,f (→a ·→b ) >f (→c ·→d ) ⇔f (2sin 2x +1) > f (cos 2x +2)
⇔ 2sin 2x +1>cos 2x +2⇔1-cos 2x +1>cos 2x +2 ⇔ cos 2x <0⇔2k π+π2
<2x <2k π+
3π
2
, k ∈z ⇔k π+π3π
4
<x <k π+4, k ∈z ∵0≤x ≤π ∴π3π
4
<x <4
当m <0时 同理可得不等式的解集为{ x |0≤x <
π4
或3π
4<x <π}
综上所述,不等式f (→a ·→b ) >f (→c ·→d ) 的解集是:
当m >0时,为{ x|
π4
<x <3π
4 } ;
当m
4
或4<x <π}。
20(本题12分)设G 、H 分别为非等边三角形ABC 的重心与外心,A(0,2) ,B (0,-2)且=λ(λ∈R). (Ⅰ)求点C(x ,y ) 的轨迹E 的方程;(Ⅱ)过点(2,0) 作直线L 与曲线E 交于点M 、N 两点,设OP =OM +ON ,是否存在这样的直线L ,使四边形OMPN 是矩形?若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.
解:(1)由已知得G (x y x
3, 3) , 又GH =λAB ,∴H (3
,0)
x 2y 2x 2x 22
+=1(x ≠± ∵CH=HA ∴(x -) +y =() +
4即
33124
(2)设l 方程为y =k(x -2) ,代入曲线E 得(3k +1)x -12k x +12(k-1)=0
2
2
2
2
12k 212(k 2-1)
设N (x 1,y 1) ,M (x 2,y 2) ,则x 1 +x 2=2,x 1 x 2= 2
3k +13k +1
∵OP =ON +OM ,∴ 四边形OMPN 是平行四边形.
若四边形OMPN 是矩形,则ON ⊥OM
2
12(k 2-1) 24k 2212(k -1) +k (-2+4) =0得k=∴x 1 x 2+y 1 y 2=0 ∴223k +13k +13k +
1
∴ 直线l 为:y
= y =x -2)