中考压轴三角形
2011年全国各地中考数学压轴题专集:6三角形
1.△ABC 是一张等腰直角三角形纸板,∠C =90°,AC =BC =2.
(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形,有甲、乙两种剪法(如图1),比较甲、乙两种剪法,哪种剪法所得的正方形面积更大?请说明理由.
(2)图1中甲种剪法称为第1次剪取,记所得正方形面积为S 1;按照甲种剪法,在余下的△ADE 和△BDF 中,分别剪取正方形,得到两个相同的正方形,称为第2次剪取,并记这两个正方形面积和为S 2(如图2),则S 2=_______;再在余下的四个三角形中,用同样方法分别剪取正方形,得到四个相同的正方形,称为第3次剪取,并记这四个正方形面积和为S 3(如图3);继续操作下去„则第10次剪取时,S 10=_______. (3)求第10次剪取后,余下的所有小三角形的面积之和.
P B C F B C C F B C
甲 乙
图1 图2 图3
2.
问题探究
(1)如图,在△ABC 中,D 是BC 边上的中点,DE ⊥DF ,DE 交AB 于点E ,DF 交AC 于点F ,连接EF .
①求证:BE +CF >EF ; ②若∠A =90°,探索线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系,并加以证明.
A
F
问题解决
(2)如图,在四边形ABDC 中,∠B +∠C =180°,DB =DC ,∠BDC =120°,以D 为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点,连接EF ,探索线段BE 、CF 、EF
A
之间的数量关系,并加以证明. E
B
B
C
B
C
3
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题:“等边三角形一定是奇异三角
形”是真命题还是假命题?
(2)在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AB =
c ,AC =b ,BC =a ,且b >a ,
若Rt △ABC 是奇异三角形,求
a :b :c ;
(3)如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(不与点A 、B 重合),
︵
D
是半圆ADB 的中点,C 、D 在直径AB 的两侧,若在⊙O 内存在
点E ,使AE =AD ,CB =CE .
① 求证:△ACE 是奇异三角形;
② 当△ACE 是直角三角形时,求∠AOC 的度数.
4.如图1,在等边△ABC 中,点D 是边AC 的中点,点P 是线段DC 上的动点(点P 与点C 不重合) ,连结BP ,将△ABP 绕点P 按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A 1B 1P ,连结AA 1,射线AA 1分别交射线PB 、射线B 1B 于点E 、F . (1)如图1,当0°<α<60°时,在α角变化过程中,△BEF 与△AEP 始终存在相似关系,请说明理由;
(2)如图2,设∠ABP =β,当60°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF 与△AEP 全等?若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由; (3)如图3,当α=60°时,点E 、F 与点B 重合.已知AB =4,设DP =x ,△A 1BB 1的面积为S ,求S 关于
1
1 图3
B
1
图1
5.数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
在等边三角形ABC 中,点E 在AB 上, 点D 在CB 的延长线上,且ED =EC ,如图. 试确定线段AE 与DB 的大小关系,并说明 理由.
B
C
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答: (1)特殊情况,探索结论
当点E 为AB 的中点时,如图1,确定线段AE 与DB 的大小关系.请你直接写出结论: AE _______DB (填“>”,“<”或“=”).
C
图1
F
D B B
图2
C
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE 与DB 的大小关系是:AE _______DB (填“>”,“<”或“=”),理由如下.
如图2,过点E 作EF ∥BC ,交AC 于点F . (请你完成以下解答过程) (3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC 中,点E 在直线AB 上,点D 在直线BC 上,且ED =EC .若△ABC 的边长为1,AE =2,求CD 的长(请你直接写出结果).
6.如图,△ABC 的三条中线分别为AD 、BE 、CF .
(1)在图中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC 的面积为1,试求以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积.
顺时针
D 7.在平面直角坐标系中,点A (3,0),B (0,4).以点A 为旋转中心,把△ABO
旋转,得△ACD .记旋转转角为α,∠ABO 为β.
(1)如图①,当旋转后点D 恰好落在AB 边上时,求点D 的坐标; (
2)如图②,当旋转后满足BC ∥x 轴时,求α与β之间的数量关系; (3)当旋转后满足∠AOD =β时,求直线CD 的解析式.
图①
图②
A
E
8.在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,BC =30,AB =50.点P 是AB 边上任意一点,直线PE ⊥AB ,与边AC 或BC 相交于E .点M 在线段AP 上,点N 在线段BP 上,EM =EN ,sin ∠EMP =
12. 13
(1)如图1,当点E 与点C 重合时,求CM 的长;
(2)如图2,当点E 在边AC 上时,点E 不与点A 、C 重合,设AP =x ,BN =y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)若△AME ∽△ENB (△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应),求AP 的长. (E ) A M P N B A M P N B A
图1 图2 备用图
9.已知∠MON =60°,射线OT 是∠MON 的平分线,点P 是射线OT 上的一个动点,射线PB 交射线ON 于点B .
(1)如图,若射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与射线OM 交于点A ,求证:P A =PB ; (2)在(1)的条件下,若点C 是AB 与OP 的交点,且满足PC =
B
3
PB ,求△POB 与△2
PBC 的面积之比;
(3)当OB =2时,射线PB 绕点P 顺时针旋转120°后与直线OM 交于点A (点A 不与点O 重合),直线P A 交射线ON 于点D ,且满足∠PBD =∠ABO ,求OP 的长.
T T T
B N N 备用图 备用图
10.在△ABC 中,∠ACB =90°,∠ABC =30°,将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A ′B ′C .
(1)如图1,当AB ∥CB ′ 时,设A ′B ′ 与CB 相交于点D .证明:△A ′CD 是等边三角形; (2)如图2,连接A ′A 、B ′B ,设△ACA ′ 和△BCB ′ 的面积分别为S △ACA ′ 和S △BCB ′ .
求证:S △ACA ′ :S △BCB ′ =1 :3;
(3)如图3,设AC 中点为E ,A ′B ′ 中点为P ,AC =a ,连接EP ,当θ=__________°时,EP 长度最大,最大值为__________.
N
B ′
图
2 图1
图3
11.如图,△ABC 是边长为3的等边三角形,点F 在边BC 上,CF =1,点E 是射线BA 上一动点,以线段EF 为边向右侧作等边△EFG ,直线EG 、FG 分别交直线AC 于点M 、N . (1)设BE =x ,MN =y ,求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (2)若AE =1,求△GMN 的面积.
A A A
G
B F C B C B C
备用图 备用图
12.如图,边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点,点A 在x 轴的正半轴上,点B 在第一象限.点P 从点O 出发,沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动,当点P 到达点A 时停止运动,设点P 运动的时间是t 秒.将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ,点C 随点P 的运动而运动,连接CP 、CA . (1)求点C 的坐标(用含t 的代数式表示);
(2)在点P 从O 向A 运动的过程中,△PCA 能否成为直角三角形?若能,求t 的值.若不能,请说明理由;
(3)点P 从点O 运动到点A 时,点C 运动路线的长是多少?
备用图
13.如图,直线y =-
3
x +2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点,将射线AM 绕点A 顺时针旋3
转45°得到射线A N ,D 为AM 上的动点,B 为AN 上的动点,点C 在∠MAN 的内部.
(1)当AM ∥x 轴,且四边形ABCD 为梯形时,求△BCD 的面积; (2)求△BCD 周长的最小值;
(3)当△BCD 的周长取得最小值,且BD =
52
时,求△BCD 的面积. 3
备用图
备用图
14.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AB =10cm ,AC :BC =4 :3,点P 从点A 出发沿AB
方向向点B 运动,速度为1cm /s ,同时点Q 从点B 出发沿B →C →A 方向向点A 运动,速度为2cm /s ,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动. (1)设点P 的运动时间为x (s ),△PBQ 的面积为y (cm 2),当△PBQ 存在时,求y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(2)当点Q 在CA 上运动,使PQ ⊥AB 时,以点B 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 是否相似,请说明理由;
(3)当x =5s 时,在直线PQ 上是否存在一点M ,使△BCM 的周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由.
A
15.如图,在△ABC 中,AB =5,AC =3,cos A =
3
,D 为射线BA 上的动点(点D 不与点10
B 重合),DE ∥BC 交射线CA 于点E .
(1)设CE =x ,BD =y ,求y 与x 的函数关系式;
(2)若以线段BD 、CE 为直径的两圆相切,求DE 的长度;
(3)当点D 在AB 边上时,BC 边上是否存在点F ,使△ABC 与△DEF 相似?若存在,请求出线段BF 的长;若不存在,请说明理由. B
16.已知:在△ABC 中,BC =2AC ,∠DBC =∠ACB ,BD =BC ,CD 交线段AB 于点E . (1)如图l ,当∠ACB =90°时,则线段DE 、CE 之间的数量关系为____________________; (2)如图2,当∠ACB =120°时,求证:DE =3CE ; (3)如图3,在(2)的条件下,点F 是BC 边的中点,连接DF ,DF 与AB 交于点G ,△DKG 和△DBG 关于直线DG 对称(点B 的对称点是点K ),延长DK 交AB 于点H .若BH =10,求CE 的长.
A E
C
A
C F
图2 图3 图1
17.如图,在平面直角坐标系中,点A 、B 、C 的坐标分别为(0,2)、(-1,0)、(4,0).P 是线段OC 上的一动点(点P 与点O 、C 不重合),过点P 的直线x =t 与AC 相交于点Q .设四边形ABPQ 关于直线x =t 的对称的图形与△QPC 重叠部分的面积为S .
(1)点B 关于直线x =t 的对称点B ′ 的坐标为___________;
(2)求S 与t 的函数关系式. 1
18.在△ABC 中,∠A =90°,点D 在线段BC 上,∠EDB =2
DE 与AB 相交于点F . (1)当AB =AC 时,(如图1) ①∠EBF =_________°;
②探究线段BE 与FD 的数量关系,并加以证明;
BE
(2)当AB =kAC 时(如图2),求 的值(用含k 的式子表示).
FD
A
E
A
B D C B D C
图2 图1
19.如图1,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,BD 为斜边AC 上的中线,将△ABD 绕点D 顺时针旋转α(0°<α<180°),得到△EFD ,点A 的对应点为点E ,点B 的对应点为点F ,连接BE 、CF .
(1)判断BE 与CF 的位置、数量关系,并说明理由;
(2)若连接BF 、CE ,请直接写出在旋转过程中四边形BFEC 能形成哪些特殊四边形; (3)如图2,将△ABC 中AB =BC 改成AB ≠BC 时,其他条件不变,直接写出α为多少度时(1)中的两个结论同时成立. A
A
A
D D D
C C C 备用图
图1 图2
20.如图11,在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC =2,BD 是AC 边上的中线,CE ⊥BD ,垂足为E .
(1)求sin ∠DCE 的值;
(2)求证:∠ABD =∠CAE ;
(3)若点F 在边AB 上,且△AEF 为等腰三角形,求AF 的长.
B
21.如图,点C 为线段AB 上任意一点(不与A 、B 两点重合),分别以AC 、BC 为一腰在AB 的同侧作等腰△ACD 和等腰△BCE ,CA =CD ,CB =CE ,∠ACD 与∠BCE 都是锐角且∠ACD =∠BCE ,连接AE 交CD 于点M ,连接BD 交CE 于点N ,AE 与BD 交于点P ,连
D 接PC .
(1)求证:△ACE ≌△DCB ;
(2)请你判断△AMC 与△DMP 的形状有何关系并说明理由;
(3)求证:∠APC =∠BPC .
A C
22.如图①,P 为△ABC 内一点,连接P A 、PB 、PC ,在△P AB 、△PBC 和△P AC 中,如果存在一个三角形与△ABC 相似,那么就称P 为△ABC 的自相似点. (1)如图②,已知Rt △ABC 中,∠ACB =90°,∠ACB >∠A ,CD 是AB 上的中线,过点B 作BE ⊥CD ,垂足为E ,试说明E 是△ABC 的自相似点; (2)在△ABC 中,∠A <∠B <∠C .
①如图③,利用尺规作出△ABC 的自相似点P (写出作法并保留作图痕迹); ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数.
A
E
① ② ③
23.如图①,在△ABC 中,AB =AC ,BC =a cm ,∠B =30°.动点P 以1cm /s 的速度从点B 出发,沿折线B -A -C 运动到点C 时停止运动.设点P 出发x s 时,△PBC 的面积为y cm 2.已知y 与x 的函数图象如图②所示,请根据图中信息,解答下列问题: (1)试判断△DOE 的形状,并说明理由; (2)当a 为何值时,△DOE 与△ABC 相似?
图①
B
24.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =BC =6,点D 为AC 中点,点E 为边AB 上一动点,点F 为射线BC 上一动点,且∠FDE =90°. (1)当DF ∥AB 时,连接EF ,求cos ∠DEF 的值;
(2)当点F 在线段BC 上时,设AE =x ,BF =y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(3)连接CE ,若△CDE 为等腰三角形,求BF 的长.
C
A B
25.某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究,他们发现如下结论:
(1)有一条边对应相等的两个三角形的面积之比等于这条边上的对应高之比; (2)有一个角对应相等的两个三角形的面积之比等于夹这个角的两边乘积之比;
„
现请你继续对下面问题进行探究,探究过程可直接应用上述结论.(S 表示面积)
问题1:如图1,现有一块三角形纸板ABC ,P 1,P 2三等分边AB ,R 1,R 2三等分边AC .经
1
探究知S 四边形P 1R 1R 2P 2=S △ABC ,请证明.
3
问题2:若有另一块三角形纸板,可将其与问题1中的△ABC 拼合成四边形ABCD ,如图2,
Q 1,Q 2三等分边DC .请探究S 四边形P 1Q 1Q 2P 2与S 四边形ABCD 之间的数量关系.
问题3:如图3,P 1,P 2,P 3,P 4五等分边AB ,Q 1,Q 2,Q 3,Q 4五等分边DC .若S 四边形ABCD
=1,求
S 四边形P 2Q 2Q 3P 3.
问题4:如图4,P 1,P 2,P 3四等分边AB ,Q 1,Q 2,Q 3四等分边DC ,P 1Q 1,P 2Q 2,P 3Q 3将四边形ABCD 分成四个部分,面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4.请直接写出含有S 1,S 2,S 3,S 4的一个等式. P 1 P P 3 B P 1 P P 3 P B P 1 P 2 B P 1 P 2 B A 1
R 1 2
R 2 C C Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 C Q 1 Q 2 Q 3 C Q 1 Q 2
图1 图2 图3 图4
26.在平面直角坐标系中,直线y =
211
kx +m (-≤k ≤)经过点A (23,4),与y 322
轴相交于点C ,点B 坐标为(0,7).记△ABC 的面积为S .
(1)求m 的取值范围;
(2)求S 关于m 的函数关系式;
(3)当S 取得最大值时,将△ABC 沿AC 翻折得到△AB ′C ,求点B ′ 的坐标.
27.如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =3cm ,CB =4cm .点P 、Q 分别是AB 、CB 上动点,它们分别从A 、C 同时出发向B 点匀速移动,移动速度为1cm /秒,设P 、Q 移动时间为t 秒(0≤t ≤4).
(1)当∠CPQ =90°时,求t 的值;
(2)是否存在t ,使△CPQ 成为等边三角形?若存在,求出t 的值;若不存在,能否改变Q 的运动速度(P 的速度不变),使△CPQ 成为等边三角形?如何改变?并求出相应的t 值.
28.如图,在△ABC 中,∠ABC =∠BAC =72°,将△ABC 绕点A 顺时针旋转α度(36°<α<180°)得到△ADE ,连接CE ,线段BD (或其延长线)分别交AC 、CE 于点G 、F . (1)求证:△ABG ∽△FCG ;
(2)在旋转的过程中,是否存在某一时刻,使得△ABG 与△FCG 全等?若存在,求出此时旋转角α的大小;若不存在,说明理由.
F
E
3
29.已知Rt △ABC 中,∠ACB =90º,BC =5,tan ∠A =.将△ABC 绕点C 逆时针旋转α
4
(45°<α<135°)得到△DCE ,设直线DE 与直线AB 相交于点P ,连接CP . (1)如图1,当CD ⊥AB 时,求证:PC 平分∠EP A ; (2)如图2,当点P 在边AB 上时,求证:PE +PB =6;
25
(3)在△ABC 旋转过程中,连接BE ,当△BCE 的面积为 3时,求∠BPE 的度数及PB
4
的长.
D
E
C A C A C
图1 图2 备用图
30.已知△ABC 中,点D 在AC 上,点E 在BC 上,且DE ∥AB .将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△CD ′E ′(∠BCE ′<180°),连接AD ′、BE ′,设直线BE ′ 与AC 、AD ′
分别交
B D B B
A
于点O 、F .
(1)如图1,若△ABC 为等边三角形,则
AD ′
的值为________,∠AFB 的度数为________; BE ′
(2)如图2,若△ABC 满足∠ACB =60°,AC 3,BC 2.
AD ′①求 的值和∠AFB 的度数;
BE ′
②若E 是BC 的中点,求△OBC 面积的最大值. A A
F D F
D ′ D ′
B C B C E E
图1 图2
31.如图1,△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形,AC 与DE 重合,AB =AC =EF =9,∠BAC =∠DEF =90º.固定△ABC ,将△DEF 绕点A 顺时针旋转,当DF 边与AB 边重合时,旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况,设DE ,DF (或它们的延长线)分别交BC (或它的延长线)于G ,H 点,如图2.
(1)始终与△AGC 相似的三角形有___________和___________; (2)在图2中,设CG =x ,BH =y ,求y 关于x 的函数关系式; (3)当x 为何值时,△AGH 是等腰三角形?
(D ) (D ) A A
F
(E ) B C B
E
图1 图2
32.如图1,已知线段AB 的长为2a ,点P 是AB 上的动点(P 不与A 、B 重合),分别以AP 、PB 为边向线段AB 的同一侧作正△APC 和正△PBD .
(1)当△APC 与△PBD 的面积之和取最小值时,AP =_________;(直接写出结果)
(2)连结AD 、BC 相交于点Q ,设∠AQC =α,那么α的大小是否随点P 的移动而变化?请说明理由;
(3)如图2,若点P 固定,将△PBD 绕点P 180°),此时
C
α
D
D Q Q
A
A P B B
图2
H
33.已知直线l 经过A (6,0)和B (0,12)两点,且与直线y =x 交于点C .
(1)求直线l 的解析式;
(2)若点P (x ,0)在线段OA 上运动,过点P 作l 的平行线交直线y =x 于D ,求△PCD 的面积S 与x 的函数关系式;S 有最大值吗?若有,求出当S 最大时x 的值;
(3)若点P (x ,0)在x 轴上运动,是否存在点P ,使得△PCA 成为等腰三角形?若存在,请写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
34.如图,Rt △ABC 中,∠A =30°,BC =10cm ,点Q 在线段BC
上从B 向C 运动,点P 在线段BA 上从B 向A 运动.Q 、P 两点同时出发,运动的速度相同,当点Q 到达点C
时,两点都停止运动.作PM ⊥PQ 交CA 于点M ,过点P 分别作BC 、CA 的垂线,垂足分别为E 、F
.
(1)求证:△PQE ∽△PMF ;
(2)当点P 、Q 运动时,请猜想线段PM 与MA 的大小有怎样的关系?并证明你的猜想; (3)设BP =x ,△PEM 的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式,当x 为何值时,y 有最大值,并将这个值求出来.
E Q A C
35.如图1,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =BC ,D 是AB 边上一点,E 是AC 边上的一个动点(与点A 、C 不重合),DF ⊥DE ,DF 与射线BC 相交于点F . (1)如图2,若点D 是边AB 的中点,求证:DE =DF ; (2)若AD :DB =m ,求DE :DF 的值;
(3)若AC =BC =6,AD :DB =1 :2,设AE =x ,BF =y . ①求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
②以CE 为直径的圆与直线AB 是否可相切,若可能,求出此时x 的值,若不可能,请说
明理由.
B
B
图1
图2
B B
备用图 备用图 36.(1)如图1,在△ABC 中,点D 、E 、Q 分别在AB 、AC 、BC 上,且DE ∥BC ,AQ 交
DP PE
DE 于点P .求证:=.
BQ QC
(2)如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上,连接AG 、AF 分别交DE 于M 、N 两点.
①如图2,若AB =AC =1,直接写出MN 的长;
2
②如图3,求证:MN =DM ·EN .
A A
E
N D
P
Q C B B B G F G F
图1 图2 图3
37.如图,D 是△ABC 的边BC 的中点,过AD 延长线上的点E 作AD 的垂线EF ,E 为垂
A 足,EF 与AB 的延长线相交于点F ,点O 在AD 上,AO =CO ,BC ∥
EF .
(1)证明:AB =AC ;
(2)证明:点O 是△ABC 的外接圆的圆心;
(3)当AB =5,BC =6时,连接BE ,若∠ABE =90°,求AE 的长. O
D
F E
38.两个大小相同且含30°角的三角板ABC 和DEC 如图①摆放,使直角顶点重合.将图①中△DEC 绕点C 逆时针旋转30°得到图②,点F 、G 分别是CD 、DE 与AB 的交点,点H 是DE 与AC 的交点.
(1)不添加辅助线,写出图②中所有与△BCF 全等的三角形; (2)将图②中的△DEC 绕点C 逆时针旋转45°得△D 1E 1C ,点F 、G 、H 的对应点分别为F 1、G 1、H 1,如图③.探究线段D 1F 1与AH 1之间的数量关系,并写出推理过程;
(3)在(2)的条件下,若D 1E 1与CE 交于点 I ,求证:G 1I =CI .
D
B
B
B D F
G C A H H 1 C A H
C A E E
C
C
39.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠A =90°,D 是腰AC 上的一个动点,过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线,垂足为E ,如图1. (1)若BD 是AC 的中线,如图2,求
BD
的值; CE
(2)若BD 是∠ABC 的角平分线,如图3,求(3)结合(1)、(2),请你推断
BD
的值; CE
BD
的值的取值范围(直接写出结论,不必证明),并探究CE
BD 4
的值能小于吗?若能,求出满足条件的D 点的位置;若不能,请说明理由. CE 3
A A A
D
D
B C B C B C
(图1) (图2) (图3)
40.Rt △ABC 中,∠ACB =90°,M 为AB 中点,将线段BM 绕点B 顺时针旋转90°,得到线段BP ,连接AP 、CP ,CP 交AB 于点N (如图1). (1)若AC =BC ,求证:△NPB ∽△P AB ;
(2)若BC =2,当AC 的长为多少时,△ACB ∽△ABP ?
(3)图1中,当点A 沿直线AC 向下运动(其余条件不变)时,Rt △ABC 、△P AB 、△PBC 都会变化(如图2),若点A 一直运动到BC 下方,请在图3中画出相应的图形.若BC =2,设AC =x ,△BCP 的面积为S 1,△P AB 的面积为S 2,试问S 1、S 2是否都为定值?若是,求出这个定值;若不是,求出其关于x 的函数关系式.
C B
C C
图1 图2 图
3
41.如图(1),在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ,点E 在AC 上,BE 交CD 于点G ,EF ⊥BE 交AB 于点F .若AC =mBC ,CE =nEA (m ,n 为实数). 试探究线段EF 与EG 的数量关系. (1)如图(2),当m =1,n =1时,EF 与EG 的数量关系是____________;
证明: (2)如图(3),当m =1,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是____________;
证明: (3)如图(1),当m ,n 为任意实数时,EF 与EG 的数量关系是____________.(写出关系
式,不必证明)
E
A F D B A F D B A F D B
图(1) 图(2) 图(3)
42.如图,已知在△ABC 中,AB =4,BC =2,以点B 为圆心,BC 长为半径的弧交边AC 于点D ,且∠DBC =∠BAC .P 是边BC 延长线上一点,过点P 作PQ ⊥BP ,交BD 的延长线于点Q .设CP =x ,DQ =y . (1)求CD 的长;
A
(2)求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)若∠DAQ =2∠BAC ,求CP 的长. Q
B C P 43.如图,在平面直角坐标系中,等边△OAB 的边长是12,点A 在第一象限,边在x 轴的正半轴上.将△OAB 沿直线CD :y =kx
+b 折叠,使点A 落在x 轴上的点E 处. (1)若点A 恰好落在线段OB 上(不包括O 、B ),△OCE 与△BED 相似吗?为什么?若OE :EB =2 :3,求CE :DE 的值;
(2)①若点C 是OA 的中点,AD =2DB ,试判断以CD 为直径的圆与x 轴的位置关系,并说明理由;
②若点C 、D 分别在线段OA 、AB 上,试求b 的取值范围; (3)当点E 从点O 移动到点B 时,点D 运动的总路线长为多少?
44.Rt △ABC 的直角顶点B 在Rt △DEF 的斜边DF 上,已知AB =DF ,定△DEF 不动,将△ABC 绕点B 旋转,并使边AB 与边DE 交于点P Q .
FB BP
(1)如图1,若=m ,求的值,并确定m 的取值范围;
BD BQ FB
(2)若DF =30,=2,连接PQ ,设△BPQ 的面积为S ,在旋转过程中:
BD
①如图2,当点E 恰好落在边AC 上时,求AE 的长;
②S 是否存在最大值或最小值?若存在,求出最大值或最小值,若不存在,请说明理由; ③随着S 取不同的值,对应△BPQ 的个数有哪些变化?求相应S 值的取值范围.
D D
B B
A Q Q
E F F A C C
图1 图2 45.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,D ,E 分别为CA ,CB 延长线上的点,AE 与BD 相交于点F . (1)若BE =AC ,AD =CE ,求∠AFD 的度数; (2)若BE =
33
AC ,AD =CE ,求∠AFD 的度数. 33
B
46.已知:△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形,∠ABC =∠ADE =90°,点M 是CE 的中点,连接BM .
(1)如图①,点D 在AB 上,连接DM ,猜想BD 与BM 的数量关系,并说明理由; (2)如图②,点D 不在AB 上,(1)中的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请直接写出此时BD 与BM 的数量关系. E
E
C A
图①
图②
47.如图,在四边形ABCD 中,∠C =90°,∠ABD =∠DBC =30°,E 在BC 上,AE ⊥BC ,且∠ADE =60°.
(1)求证:CD =EC ;
A
(2)若BE =1,求AD 、BC 、CD 的长.
D
B E C
48.如图,△ABC 与△BCD 均为等边三角形,过D 点的直线与AB 交于点M ,与CA 的延长线交于点N ,CM 与BN 交于点E ,求∠BEC 的度数.
A
C
D
49.已知△ABC 是锐角三角形. (1)求证:2sin A >cos B +cosC ;
(2)若点M 在边AC 上,作△ABM 和△CBM 的外接圆,则当M 在什么位置时,两外接圆的公共部分面积最小?
50.如图,△ABC 中,AD 是∠BAC 的角平分线,AD 的垂直平分线交AD 于点E ,交BC 的延长线于点F . (1)求证:DF =BF ·CF ; (2)若
2
AB 5BC
=,求 的值. AC 3CF
51.在△ABC 中,点M 为BC 的中点. 1
(1)如图1,求证:AM <AB +AC ) ;
2
B D C F
(2)延长AB 到D ,使得BD =AC ,延长AC 到E ,使得CE =AB ,连接DE . ①如图2,连接BE ,若∠BAC =60°,请你探究线段BE 与线段AM 之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明;
1
②请在图3中证明:BC ≥DE .
2
C M E
图1 图2 图3
E
且DE ∥AB ,CD =22.将△CDE 绕点C 顺时针旋转,得到△CD ′E ′(如图②,点D ′、E ′分别与点D 、E 对应),点E ′ 在AB 上,D ′E ′ 与AC 相交于点F . (1)求∠ACE ′ 的度数;
′
′(2)求证:四边形ABCD 是梯形;
(3)求△AD ′F 的面积.
B E C B
图① 图②
53.如图,在△ABC 中,∠ABC =45°,点D 在边BC 上,且∠ADC =60°,BD =
C
1
CD .将2
A △ACD 沿AD 折叠,得到△AC ′D ,连接BC ′.
(1)求证:BC ′⊥BC ;
(2)求∠C 的大小. B D C
54.已知等边三角形ABC 中,点D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 边的中点,P 为直线BC 上的动点,以DP 为一边在DP 的右侧作等边三角形DPQ .
(1)如图,当点P 在BC 边上时,请你判断PF 与QE 有怎样的数量关系?点F 是否在直线QE 上?说明理由;
(2)当点P 在CB 的延长线或BC 的延长线上时,你在(1)中得到的结论是否仍然成立?说明理由.
备用图 备用图
55.如图,直角三角板ABC 中,∠A =30°,BC =1,将三角板ABC 绕直角顶点C 逆时针旋转一个角度α(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt △A ′B ′C . (1)当A ′B ′边经过点B 时,求旋转角α的大小;
(2)在三角板旋转的过程中,边A ′C 与直线AB 交于点D ,过点D 作DE ∥A ′B ′ 交CB ′ 边于点E ,连接BE . ①当0°<α<90°时,设AD =x ,BE =y ,求y 与x 之间的函数关系式; ②当S △BDE =
1
S 时,求AD 的长. 3△ABC
A ′
B ′ C
A
C
备用图
A
C
备用图
A
56.如图,在平面直角坐标系中,直线y =-
4
x +b 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,且B 3
点的坐标为(0,8),直线AC 交线段OB 于点C (0,n ).
(1)过C 点作CD ⊥AB 于D 点,CD =m ,求m 与n 的函数关系式; (2)将△AOC 沿着AC 翻折,使点O 落在AB 上. ①求点C 的坐标;
②P 是直线AC 上的点,在x 轴上方的平面内是否存在点Q ,使得以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
57.如图1所示,直线y =-x +9与x 轴、y 轴交于B 、A 两点,直线y =-
2
x -4与x 轴、3
y 轴交于C 、D 两点,E (4,0),直线l 过B 点且垂直于x 轴,P 是直线l 上一点(与B 点不重合),连结AP .
(1)求A 、C 两点的坐标;
(2)设M 是AP 的中点,若ME =5,猜想∠CME 的度数,并说明理由;
(3)如图2所示,连结PE ,求△PCE 外接圆面积的最小值,并求△PCE 外接圆面积最小时,圆心G
58.在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =α,点D 是BC 上一动点(不与B 、C 重合),将线段
AD 绕点A 逆时针旋转α后到达AE 位置,连接DE 、CE ,设∠BCE =β. (1)如图1,若α=90°,求β的大小;
(2)如图2,当点D 在线段BC 上运动时,试探究α与β之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点D 在线段BC 的反向延长线上运动时,(2)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明,若不成立,请写出α与β之间的数量关系,并说明理由. E
E
B D C B D C 59.已知:在平面直角坐标系中,直线y =kx +4与y 轴、x 轴分别交于A 、B 两点,点C 的
图1 图2
坐标为(10,0).
(1)如图①,若k =-1,在直线y =kx +4上求点P ,使∠OPC =90°; (2)若在直线y =kx +4上只存在一个点P ,使∠OPC =90°,求k 的值.
60.如图1,△ABC 和△DEF 均为等边三角形,BC 和EF 的中点均为O .
(1)将△DEF 绕点O 旋转到图2的位置时,试判断AD 与CF 的位置关系,并证明你的结论;
(2)将△DEF 绕点O 旋转一周,若顶点D 与AC 只有一个交点,且AB =4,求△COF 的面积.
图
2 图3 图1
61.把Rt △ABC 和Rt △DEF 按如图(1)摆放(点C 与E 重合),点B 、C (E )、F 在同一条直线上.已知:∠ACB =∠EDF =90°,∠DEF =45°,AC =8cm ,BC =6cm ,EF =10cm .如图(2),△DEF 从图(1)的位置出发,以1cm /s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动,在△DEF 移动的同时,点P 从△ABC 的顶点A 出发,以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动;当点
P 移动到点B 时,点P 停止移动,△DEF 也随之停止移动.DE 与AC 交于点Q ,连结PQ ,设移动时间为t (s ).
(1)用含t 的代数式表示线段AP 和AQ 的长,并写出t 的取值范围;
(2)连结PE ,设四边形APEQ 的面积为y (cm 2),试探究y 的最大值;
(3)当t 为何值时,△APQ 是等腰三角形?
A
B C F (E ) 图(1) 图(2)
62.如图,在平面直角坐标系中,已知△AOB 为等边三角形,点A 的坐标为(0,4),点B 在第一象限,点P 是x 轴上的一个动点,将△AOP 绕点A 按逆时针方向旋转,使边AO 与AB 重合,得到△ABC .
(1)求直线AB 的解析式;
(2)当点P 运动到点(3,0)时,求此时CP 的长及点C 的坐标;
(3)是否存在点P ,使△COP
若不存在,请说明理由.
63.已知△ABC P
作AB 的垂线与BC 相交于点D ,以点D 为正方形的一个顶点,在△ABC 内作正方形DEFG ,其中D 、E 在BC 上,F 在AC 上.
(1)设BP 的长为x ,正方形DEFG 的边长为y ,求y 关于x 的函数关系式;
(2)当BP =2时,求CF 的长;
(3)△GDP 是否可能成为直角三角形?若能,求出BP 的长;若不能,请说明理由.
F
B D E C
64.如图,在平面直角坐标系中,直线l 的解析式为y =2x ,点M 的坐标为(6,2),MN ⊥x 轴,垂足为N ,点P 是x 轴上位于点N 右侧的一动点,连结PM 并延长交直线l 于点Q .
(1)当点M 平分线段PQ 时,试判断△POQ 的形状,并说明理由;
(2)当△POQ 是等腰三角形时,求点P 的坐标;
(3)设
S △PMNB PM =k ,是否存在适当的k 值,使得=k ?若存在,求出k 的值;若不存
PQ S 四边形ONMQ
65.在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =6,AC =8,点D 是边AB 上的一动点(不与点A 、B 重合),过点D 作DE ∥BC ,交边AC 于点E .
(1)如图1,当AD =2BD 时,求△ADE 的面积;
(2)当△ADE 的周长与四边形BDEC 的周长相等时,求AD 的长;
(3)如图2,将四边形BDEC 沿DE 向上翻折,得四边形DEFG ,设AD 的长为x ,四边形DEFG 与△ADE 公共部分的面积为y ,求y 关于x 的函数关系式,当x 为何值时y 最大,最大值是多少?
A A
F B C B C
图1 图2