4月30号 高一数学 线性规划与基本不等式

线性规划与基本不等式

知识点：

1．二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，直线l ：ax ＋by ＋c ＝0把直角坐标平面分成了三个部分： ①直线l 上的点(x ，y ) 的坐标满足ax ＋by ＋c ＝0；

②直线l 一侧的平面区域内的点(x ，y ) 的坐标满足ax ＋by ＋c ＞0； ③直线l 另一侧的平面区域内的点(x ，y ) 的坐标满足ax ＋by ＋c ＜0.

则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)

作为测试点． 2．线性规划相关概念

双基自测

1．(人教A 版教材习题改编) 如图所示的平面区域(阴影部分) ，用不等式表示为

2．下列各点中，不在x ＋y －1≤0表示的平面区域内的点是( ) ．

A ．2x －y －3＜0 B ．2x －y －3＞0 C ．2x －y －3≤0 D ．2x －y －3≥0

A ．(0,0) B ．(－1,1) C ．(－1,3) D ．(2，－3)

3．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( ) ．

⎧x ＋y －1≥0⎧x ＋y －1≤0⎧x ＋y －1≥0⎧x ＋y －1≤0⎪⎪⎪⎪A. ⎨ B. ⎨ C. ⎨ D. ⎨ ⎪⎪⎪⎪x －2y ＋2≥0x －2y ＋2≤0x －2y ＋2≤0x －2y ＋2≥0⎩⎩⎩⎩

4．(2011·安徽) 设变量x ，y 满足|x |＋|y |≤1，则x ＋2y 的最大值和最小值分别为( ) ．

A ．1，－1 B ．2，－2 C ．1，－2 D ．2，－1

5．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是________．

典型例题：

⎧⎪y ≥0，例1、直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎨x －y ≥－2，

⎪⎩4x ＋3y ≤20

0≤x ≤2，⎧⎪

变式：已知关于x ，y 的不等式组⎨x ＋y －2≥0，

⎪⎩kx －y ＋2≥0

x ≥0

表示的平面区域的公共点有

A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．无数个

所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( ) ．

A ．1 B ．－3 C ．1或－3 D ．0

⎧0≤x ≤ ，

例2、(2011·广东) 已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎨y ≤2，

⎩x ≤ 2y

A ．3 B ．4 C ．2 D ．2

→→

给定．若M (x ，y ) 为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1) 则z ＝OM ·O A 的最大值为( ) ．

x ＋2y －3≤0，⎧⎪

变式：已知变量x ，y 满足条件⎨x ＋3y －3≥0，

⎪⎩y －1≤0，最大值，则a 的取值范围是( ) ．

若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0) 仅在点(3,0)处取得

1111

－∞，－⎫ B. ⎛－，0⎫ C. ⎛0， D. ⎛，＋∞⎫ A. ⎛2⎭⎝⎝2⎭⎝2⎝2⎭

x －4y ＋3≤0，⎧⎪

例3、变量x 、y 满足⎨3x ＋5y －25≤0，

⎪⎩x ≥1.

y

（1）设z ＝z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．

x

2x －y ＋2≥0，⎧⎪

变式：如果点P 在平面区域⎨x ＋y －2≤0，

⎪⎩2y －1≥0值为( ) ．

34

B. 1 C ．2－1 2－1 25

例4、某企业生产A ，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：

上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2) 2＝1上，那么|PQ |的最小

已知生产每吨A 仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业如何安排生产，才能获得最大利润？

变式：(2011·四川) 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( ) ．

A ．4 650元 B ．4 700元 C ．4 900元 D ．5 000元

a ＋b 3．基本不等式ab 2

(1)基本不等式成立的条件：(2)等号成立的条件：当且仅当 4．几个重要的不等式

b a

(1)a 2＋b 2≥a ，b ∈R ) ；(2)＋≥a ，b 同号) ；

a b a ＋b ⎛a ＋b ⎫2a ＋b 2

(3)ab ≤⎛(a ，b ∈R ) ； ≥

2⎝2⎝2⎭(a ，b ∈R ) ． 5．算术平均数与几何平均数

a ＋b

设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数

2的算术平均数大于或等于它的几何平均数．

6．利用基本不等式求最值问题：已知x ＞0，y ＞0，则

(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当时，x ＋y p .(简记：积定和最小) p 2

(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当xy .(简记：和定积最大)

4

2

2

双基自测

1

1．(人教A 版教材习题改编) 函数y ＝x ＋x ＞0) 的值域为( ) ．

x A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[2，＋∞)

B ．(0，＋∞) D ．(2，＋∞)

a ＋b 1

2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②；③x 2，其中正确的个数是

x ＋1ab A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( ) ． 1

B ．1 C ．2 D ．4 2

1

4．(2011·重庆) 若函数f (x ) ＝x ＋x ＞2) 在x ＝a 处取最小值，则a ＝( ) ．

x －2A ．1＋2 B ．13 C ．3 D ．4

t 2－4t ＋1

5．已知t ＞0，则函数y ＝________．

t

典型例题：

11

例1、(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则＋________；

x y

(2)当x ＞0时，则f (x ) ＝

1

变式： (1)已知x ＞1，则f (x ) ＝x ＋________．

x －1

2

(2)已知0＜x y ＝2x －5x 2的最大值为________．

5

(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．

x

例2、(2010·山东) 若对任意x ＞0，a 恒成立，则a 的取值范围是________．

x ＋3x ＋1

变式：(2011·宿州模拟) 已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．

2x

的最大值为________． x ＋1

巩固练习：

x ＋2y －5≤0，⎧⎪

1、(2011·山东) 设变量x ，y 满足约束条件⎨x －y －2≤0，

⎪⎩x ≥0，( ) ．

17

A ．11 B ．10 C ．9 2

x ＋3y －3≥0，⎧⎪

2、(2010·浙江) 若实数x ，y 满足不等式组⎨2x －y －3≤0，

⎪⎩x －my ＋1≥0，于( ) ．

A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2

则目标函数z ＝2x ＋3y ＋1的最大值为

且z ＝x ＋y 的最大值为9，则实数m 等

3、已知点P （x ，y ）的坐标满足条件最大值等于________。

，点O 为坐标原点，那么|PO|的最小值等于________，

114、(2010·四川) 设a ＞b ＞0，则a 2＋( ) ．

ab a a －b A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

12

5、已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求＋的最小值．

a b

课后作业：

1．若，则目标函数 z = x + 2 y 的取值范围是（ ）

A ．[2 ，6] B ． [2，5] C ． [3，6] D ． [3，5]

2．不等式表示的平面区域是一个（ ）

A ．三角形 B ．直角三角形 C ．梯形 D ．矩形 3．不等式A ．4．若

B ．

表示的平面区域包含点

C ．

和点

则m 的取值范围是

D ．

，下列不等式恒成立的是（ ）

A ．5．若

B ．且

C ． D ．

，则下列四个数中最大的是（ ）

A ． B

． C ．2ab D ．a

6．设x>0,则

A ．3 B ．7．设

A. 10

B.

的最大值为（ ）

C ．

的最小值是（ ）

C.

D.

D ．－1

8．若x, y是正数，且，则xy 有（ ）

C ．最小值16 D ．最大值

A ．最大值16 B ．最小值

9．若a, b, c∈R ，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（ ） A ．

B ．

C ． D ．

10．若x>0, y>0,且x+y4, 则下列不等式中恒成立的是（ ）

A ．11. 若

B ．，且

C ． D ．

，则下列不等式中，恒成立的是

A ． B ． C ． D ．

12．下列函数中，最小值为4的是（ ）

A ．C ．

B ．

D ．