第五章:风险衡量

第五章 风险衡量（选择考试卷子题目讲）

衡量可能性大小和损失大小 风险衡量工作的主要内容：

1、收集损失资料；2、整理、描述损失资料；3、运用概率统计工具进行分析与预测；4分析估算方法存在缺陷，避免失误。

第一节 损失资料的收集与整理

一、损失资料收集的要求

要求数据具有完整性、统一性、相关性和系统性，并且数据的获取必须合理利用财力与时间。

1、完整性。完整性是指不仅要有足够的损失数据，而且要求收集相关的外部信息，以便找出损失的原因。 2、一致性。有两个方面的一致性。

（1）损失数据必须在统一的基础上收集；

（2必须对价格水平差异进行调整，所有的损失必须用同种货币表示。调整过去损失数据的最好办法是提供每种损失中每个元素价格的独立增减额。 3、相关性。即必须以与风险管理相关性最大的损失为基础。

（1）对财产损失：以修复或重置财产的费用为损失值，而不是以原始帐面价值作为损失；

（2）对责任损失：包括各种赔偿以及调查、辩护和解决责任纠纷费用。 （3）营业中断损失： 包括停工收入损失、努力恢复经营至正常状态下的额外费用。

4、系统性。收集来的原始数据必须根据风险管理的目标与要求进行整理，使之系统化。

二、损失资料的整理 （一）整理的步骤为：

第一步，也是最简单的办法是将损失数据按递增顺序排列； 第二步，将资料进行分组； 第三步，得出频数分布表；

第四步，得出累积频数分布表。

第n 组所对应的累积频数＝第n-1组所对应的累积频数＋第n 组的组频数 （二）资料分组的方法（完成书后第4题）

1、选择组数：损失数据个数大于50，可分10到20组，小于50，可分5组或6组。

理由：一般情况下，组数少，组距（每组数据之间的间隔）就大，不能充分揭示损失数据中内涵的信息；组数大，组距就小，分析工作量大。 只要在合理的范围内一般可以任意选择组数。确定了组数也就确定了组距。 2、起始组的起点选择：要求小于等于最小观察值。

3、组界的精确度：一般比原始数据精确10倍。例如，原始数据精确到十分位，则组界精确到百分位。

4、组界的归属：一般规定左组界属于该组，右组界属于下一组。两个组界的中点为组中值。

例题1．（2006年1月考试题）某出租汽车公司每次事故的损失金额（单位：万元） 如下表所示：

问：（1）请将资料分组。要求：将资料分为五组，组距为4.5, 第一组从1.25开始。

（三）频数分布。每个组的频数是指落在每一组中的损失数据的个数。频数分布的缺点得不到每一次事故造成的损失大小的信息，因此在使用频数分布表时需要使用每组的组中值。

第二节 损失资料的描述

损失资料的描述分为图形描述和数字描述。

一、图形描述：包括条形图、圆形图、直方图、频多边形图

1、条形图。特点：长度与频率成正比；主要用于比较不同时期的损失状况或不同类型之间的某些变动数量。

2、、圆形图：先把百分率转化为度数，是用来比较整个组成部分的相对量，一个圆被分成若干部分，每个面积代表一个组成部分。

3、、直方图：没有间隔的条形图。水平轴表示损失的大小，用组界注明，两个连续的阻界值的差异用组距的宽度来描述，长方形底的宽度与组距的宽度相等。纵轴表示各组的频数或者频率。直方图的一个重要特征是，每个长方形的面积与相应的频数成比例。

例题2（2006年1月考试题） 保险公司家庭财产保险保单中某100件由于管道渗漏引

起的索赔额X 的分组数据如下所示:(单位：100元) 试作出频数直方图

4、频数多边形：由直方图顶端的中点连接而得到的光滑曲线。几个常见的频数分布曲线的形状(p115)。

二、损失资料的数字描述（注意计算题，要做几道习题）

分为两类：位置量数(描述集中趋势的指标) 和变异量数（描述离散趋势的指标）。

（一）位置量数

包括：全距中值=（最小观察值+最大观察值）÷2；众数，中位数，算术平均数。

1、众数：出现次数最多的观察值。

（1）对于未分组资料：一个样本中可以有多个众数，但所有数据都一样时就没有众数。一个众数对应一个“峰”，所以有单峰和多峰。

（2）对于已经分组资料，频数最多的组称为众数组，众数是该组的组中值，如果有多个众数组，则不存在众数。众数为峰点对应的横坐标。 2、中位数：位置处于正中间的观察值。

（1）对于未分组数据：当观察值个数为偶数时，中位数为两个中间观察值的平均数。

（2）对于分组数据：先根据N/2求出中位数组（即中位数落在那个组），再依据公式：中位数=中位数组的下限+（N/2-中位数组前组对应的累积频数）÷中位数组的频数。用例题2说明

这一公式前提条件是假定观察值在组内是均匀分布的。 （二）变异量数包括：

包括：全距（最大观察值与最小观察值之差）；平均绝对差；方差和标准差；变异系数。最常用的是变异系数、方差和标准差。 1、平均绝对差用例题3说明 （1）对于未分组数据，公式为：

M . A . D =

∑x -x

i i =1

n

n

这里n 为数据个数，x i 为第i 个数据，x 为算术平均值。

（2）对于分组数据，公式为

M . A . D =

∑m -x

i

i =1

k

f i

n

其中k 为组数，f i 为第i 组的频数， m i 为第组的组中值。

2、方差和标准差 标准差是方差开平方。 （1）对于未分组数据

1n 2

方差公式为：s = (x -x ) ∑i

n -1i =1

2

n -212

方差公式的变形：s =(∑x i -n x )

n -1i =1

2

（2）对于分组数据

1n

方差公式：s =(m i -x ) 2f i ∑n -1i =1

2

k -212方差公式的变形：s =(∑m i f i -n x )

n -1i =1

2

1k

其中k 为组数，m i 是第i 组的组中值，x =∑m i f i

n i =1

3、变异系数。它是位置量数与变异量数的综合量数，其值范围为0到∞。 公式：V =

s

即标准差除以算术平均值。 x

变异系数同位置参数和变异数量相比的优点：①、位置数量不能衡量风险的大小；②、单独使用标准差，缺乏反映风险大小的能力。

注意，当已知为概率时，求方差和均值把频率换成概率，其他不变。 例题3（2003年1月考试题）：计算样本：

12 73 59 31 19 28 73 65 57 62 81 46 37 95 103 87 的平均绝对差，方差和标准差及变异系数。

第三节 风险衡量指标（例题5）

一、风险（大小）衡量指标包括两类（即风险大小主要由下列两个指标来表示）： 1、损失发生的可能性：损失概率；

2、损失程度又包括两个指标：损失期望值和损失幅度。

例题5（2006年下半年考试题）：A 、B 、C 保险公司承包火险的建筑物历年损失率（％）如下表：

公司 1995年 1996年 1997年 1998年 1999年 2000年 2001年 2002年 A 24 18 21 19 15 23 19 21 B 15 25 20 13 27 23 20 17 C 27 13 26 21 28 31 28 24 比较三个公司损失风险的大小 估计损失概率的平均值、变异系数。 二、损失概率

1、损失频率不等于损失频率，但可以用之估计损失概率； 2、在风险衡量中损失概率有两种说法：时间性说法和空间性说法。

3、时间性说法：通常的说法是多少个时间单位发生一次损失，或者多少年一遇。 （1）值得注意的两个问题：第一，时间单位的采用不同，在直觉上损失概率

的大小不同。第二：这种说法通常是在经济单位并不拥有许多同类风险单位的情况下采用。

（2）在再保险中，事故超赔分保的层次划分常采用时间性说法：一般层次划分如下：

低层：每年可能发生一次赔付； 中层：10至39年可能发生一次赔付； 高层：约40年以下可能发生一次赔付。

2、空间性说法：此种说法侧重于在特定时期内遭受损失的风险单位数，是众多风险单位在空间上的平均结果。

其条件是观察的风险单位相互独立和同质；

所谓同质：指特定风险事故的损失概率和损失程度相同或相近。 所谓独立：指一个风险单位遭受损失同其它风险单位损失无关。

三、损失期望值（即算术平均值），它在保险中常用于制订纯费率，在其它经济单位中，常用于说明风险处理的重要性。 四、损失幅度

1、“事件”要领的外延和内涵都大于“意外事故”。保险人为限制其赔偿责任常采用“每一意外事故”概念。

2、有四个衡量指标：（1）最大可能损失；（2）最大预期损失；（3）年度最大可能损失；（4）年度最大预期损失。

它们的区别是：最大可能损失是指财产的最大价值；最大预期损失与概率相联系，是指在一定概率水平下的最大可能损失，因此最大 可能损失大于等于最大预期损失。它们都局限于单一风险。 “年度”的既可以是单一风险也可以是多种风险。

3、阿兰·费雷德兰德对每一建筑物发生一次火灾的实质损失最出了四种衡量方法：

（1）正常期望损失：公营、私营保持系统都有效情形下；

（2）可预期的最大损失：保护系统中一个关键设施出了问题情形下； （3）最大可预见损失：私营保护系统无效情形下；

（4）最大潜在损失：保持系统都不起作用情形下。列举一个计算题

第四节 损失概率与损失程度的估测

一、每年损失事故发生次数的分布

次数的概率估计用到两种分布：二项分布和泊松分布。这里是估计每一年的情况。

1、二项分布B( n, p)（离散型的）

这里n 为风险单位的个数，p 风险事故发生的概率。 （1）用二项分布估计的条件：

第一，对于一个经济单位而言，风险事故是只有两个结果（发生与不发生）的

随机事件；

第二，每个风险单位发生该风险的概率相同； 第三，各风险单位同样风险事故的发生是独立的；

第四，一个经济单位在一年中发生二次以上的事故的可能性极小，趋近于零。 （2）均值与方差、均方差、概率；

设N 为风险单位，风险事故发生的概率为P ，不发生概率为：1-P ，一年中发生风险事故的次数为x 。

⎛n ⎫

则概率p {x =k }= ⎪p k q n -k , k =0,1,...., n 。

⎝k ⎭

⎛n ⎫n !

注意0! =1, 1! =1 = ⎪

⎝k ⎭k ! n -k !

E(x)=np s2

=np(1-p) s =例题6 在机动车辆保险种，根据以往的统计资料，已知每两机动车在一年内出现事故的概率为0.005，今年参加保险的激动车辆有1000辆，问： A 、明年有10辆机动车出现事故的概率是多少？ B 、明年出现事故的平均车辆数是多少，均方差是多少？

⎛1000⎫101000-10

⎪解：10辆车出现事故的概率为p {x =10}= 0. 005(1-0. 005) 10⎪⎝⎭⎛1000⎫1000! 1000⨯999⨯998⨯ ⨯1

⎪== 10⎪10! (1000-10)! (10⨯9⨯ ⨯1)(990⨯ ⨯1) ⎝⎭明年出现事故的平均车辆为np =0. 005⨯1000=5

均方差为npq =0. 005⨯1000⨯(1-0. 005) 2、泊松分布（离散型的）

（1）近似二项分布的条件：n 很大，p 很小，一般n ≥50,p ≤0.1时，可以用泊松分布来近似二项分布。

（2）概率、均值、方差、均方差。 概率为p {x =k }=

λk e -λ

k !

，其中k 等于0，1，2，….

这里方差和标准差分别为λλ=np 。

510e -5

我们对例题6重新求解：p {x =10}=，均值为5，均方差为。

10!

二、每次事故的损失金额估计

估计的任务是平均损失额和超过某损失额的可能性大小（概率）。用到的分布：正态分布、对数正态分布、帕累托分布（连续性的）。后两个是分布密度函数为右偏斜，即小额损失发生概率大，大额损失发生概率小。 1、正态分布：N (μ, σ2) 。 （连续型的）

(根据资料做出图形进行判断)

（1）特征：图形对称单峰的。求平均损失和标准差前面学过了。

（2）标准化正态分布：N （0，1）。就是把正态分布化为均值为0，均方差为1的过程。 一般正态分布标准化方法为：把随机变量x 化为标准标量：果某一变量服从N (μ, σ2) ，则p (x

p (x >m ) =1-Φ(

m -μ

m -μ

x -μ

σ

。如

σ

) ；

σ

) 。

例题7：某保险公司一年内赔款支付服从N (50, 102) 。求赔款 A 、在50～60万元之间的概率。 B 、超出70万元的概率。

解：设赔款为X ，首先对之进行标准化，其次通过查表求出其概率值。 A 、P {50

50-50X -5060-50

B 、P {X >70}=P X -5070-50

>=1-Φ(2) 1010

2、对数正态分布（连续型的）： 观察值取对数后得到的数据服从正态分布。

E (x ) =exp μ+σ

ln m -μ

p (x

σ

(

2

)

, Var (x ) =(e σ-1)exp {2μ+σ2}

2

三、每年的总损失金额

(基本方法同上面, 但书上没有列出, 讲的是离散型的情况) 1、估测年总损失金额要解决三个基本问题； （1）年平均损失（把各年的损失进行平均） （2）企业遭受特定损失金额的概率 （3）“严重损失”将发生的概率。

对于第二和第三个问题，如果损失是连续性的变量，如果为正态分布，可根据上面的方法求解。对于离散型的损失资料下面给出了方法。 2、年平均损失估测； （1）需要考虑的问题：

第一、损失数据应该满足完整性、一致性和相关性；第二、考虑损失数据的变化趋势，如果有递增趋势，应该使用时间序列分析法。

（2）多经济单位遭受损失的总和值，用正态分布来近似，原理依据是中心极限定理，原理内容是：独立同分布的总损失金额近似服从正态分布。 （3）长期的年平均损失金额又称为期望总损失金额。 3、遭受特定损失金额的概率

先求累积概率，然后根据 用1减去这个累积概率为损失大于等于这个值的概率， 因此有无等于号的情况很重要。在例题8中，损失不小于5000元的概率1－0.010=0.99

4、最大可能损失与最大预期损失（概念同前面） 可以依据下式求出最大预期损失或年度最大预期损失L

P （X ≥L ）≤1%（后面的概率可以变为3%，4%等等），注意这里都有应有“=”号（注意书本上举例有误，注意表5－22的题头）。在1‰和3‰的概率水平下求最大预期损失为50000元和25000元。

例题8：下表为某企业每年总损失的概率分布：

损失金额（元）0 500 1000 5000 10000 25000 50000 概率 0.800 0.15 0.030 0.010 0.007 0.002 0.001 累积概率为： 0.800 0.95 0.980 0.990 0.997 0.999 1.000 累计概率： 1.000 0.20 0. 050 0.020 0.010 0.003 0.001 总损失的期望值、标准差和变异系数，这里的概率视为频率。

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