N倍角正余弦公式
正弦余弦的n 倍角公式
在三角学中,我们知道,有正弦余弦的倍角公式:
cos 2θ=2cos 2θ-1 ,sin 2θ=2cos θsin θ ;
有正弦余弦的3倍角公式:
cos 3θ=4cos 3θ-3cos θ ,sin 3θ=4cos 2θsin θ-sin θ ;
有正弦余弦的4倍角公式:
cos 4θ=8cos 4θ-8cos 2θ+1 ,sin 4θ=8cos 3θsin θ-4cos θsin θ ;
……
我们自然会想到,是不是有一般的 n 倍角公式呢?下面,我们就给出这样的公式。
定理 对任何正整数 n ,必有
k k -1k n -1-2k
cos n θ=∑(C n cos n -2k θ , -k +C n -1-k )(-1) 2
k =0[n -1
]2n []2
sin n θ=
∑C
k =0
k n -1-k
(-1) k 2n -1-2k cos n -1-2k θsin θ 。
证 用数学归纳法来证明这两个公式。 (1)当 n =1 时,
∑(C
k =0
[
1[]2
k 1-k 1k 1-1-2k 0-100-2⨯0
+C 1k --cos 1-2k θ=(C 10-0+C 0cos 1-0θ=cos θ , 1-k )(-1) 2-0)(-1) 2
∑C
k =0
1-1]2
k 1-1-k 000-0
(-1) k 21-1-2k cos 1-1-2k θsin θ=C 0cos 0-0θsin θ=sin θ , -0(-1) 2
公式显然成立。
(2)设已知对某个给定的正整数 n ,公式成立,有
k k -1k n -1-2k n -2k
cos n θ=∑(C n +C )(-1) 2cos θ , -k n -1-k
k =0[n -1
]2n []2
sin n θ=
∑C
k =0
k n -1-k
(-1) k 2n -1-2k cos n -1-2k θsin θ 。
下面看 n +1 时的情形:
cos(n +1) θ=cos n θcos θ-sin n θsin θ
k k -1k n -1-2k k k n -1-2k
=∑(C n cos n +1-2k θ-∑C n cos n -1-2k θsin 2θ -k +C n -1-k )(-1) 2-1-k (-1) 2k =0
k =0
n
[]2
[n -1
]2
1
k k -1k n -1-2k
=∑(C n cos n +1-2k θ-k +C n -1-k )(-1) 2k =0n -1]2
n []2
[
k k n -1-2k
-∑C n (cosn -1-2k θ-cos n +1-2k θ) -1-k (-1) 2k =0
n
[]2
n -1
]2
[
k k -1k k n -1-2k k k +1n -1-2k
=∑(C n cos n +1-2k θ+∑C n 2cos n -1-2k θ -k +C n -1-k +C n -1-k )(-1) 2-1-k (-1) k =0
k =0
n []2
n -1
]+12k -1=0[n +1
]2k =1
[
k k k n -1-2k
=∑(C n cos n +1-2k θ+-k +C n -k )(-1) 2k =0
n
[]2
∑
k -1k -1+1n -1-2(k -1) C n 2cos n -1-2(k -1) θ -1-(k -1) (-1)
k k n -2k n +1-2k k -1k n +1-2k n +1-2k
=∑C n (-1) 2cos θ+C (-1) 2cos θ ∑-k n -k k =0
n +1
]2
[
=
[
∑(C
k =0
k n -k
k n -k k -1k n -2k
+2C n cos n +1-2k θ -k )(-1) 2
=
∑(C
k =0[n +1
]2
n +1
]2
k -1k -1k n -2k n +1-2k +C n +C )(-1) 2cos θ -k n -k
=
∑(C
k =0
k n +1-k k -1k n -2k +C n cos n +1-2k θ ; -k )(-1) 2
sin(n +1) θ=sin n θcos θ+cos n θsin θ
[
=
∑C
k =0
n -1
]2
k n -1-k
k k -1k n -1-2k
(-1) k 2n -1-2k cos n -2k θsin θ+∑(C n cos n -2k θsin θ -k +C n -1-k )(-1) 2
k =0
n
[]2
n []2
k k -1k k n -1-2k
=∑(C n cos n -2k θsin θ -k +C n -1-k +C n -1-k )(-1) 2k =0
n
[]2
k k k n -1-2k n -2k
=∑(C n +C )(-1) 2cos θsin θ -k n -k k =0
n
[]2
k k n -2k
=∑C n cos n -2k θsin θ 。 -k (-1) 2k =0
可见,当 n +1 时,公式也成立。
(3)所以,对任何正整数 n ,公式都成立。
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