直线与平面的位置关系

模块一：【复习模块】

1角的概念、定义

2弧度制下的公式

3三角函数公式

1、已知fncos

2、已知

n

(nN)，求f(1)f(2)f(2009)的值。 5

0,,且sin,cos是关于x的方程5x2xm0的根,求

sin3cos3和tan的值.

3已知函数f(x)log1(sinxcosx)

2

⑴求它的定义域和值域； ⑵求它的单调区间；

⑶判断它的奇偶性； ⑷判断它的周期性.

(1sincos)(sin

4



cos)



模块二：【知识讲解】：

直线和平面垂直的性质定理用文字语言表示为：

垂直于同一个平面的两条直线平行，也可简记为线面垂直、线线平行. 直线和平面垂直的性质定理用符号语言表示为：

a

b∥a. b

直线和平面垂直的性质定理用图形语言表示为：如图5. ⑤直线与平面垂直的性质定理不仅揭示了线面之间的关系，而且揭示了平行与垂直之间的内在联系.

模块三：【典例分析】：

例1 证明垂直于同一个平面的两条直线平行.

例2 如图7，已知α∩β=l,EA⊥α于点A,EB⊥β于点B,aα,a⊥AB. 求证:a∥l.

图7

例3 如图8,已知直线a⊥b，b⊥α，aα. 求证：a∥α.

例3 如图9，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点. （1）求证：MN⊥CD； （2）若∠PDA=45°，求证:MN⊥面PCD.

模块四：【课堂练习】：

已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和平面α相交，并且和a、b、c三条直线成等角.求证：l⊥α.

如图10，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a, （1）求证：BD1⊥平面B1AC; （2）求B到平面B1AC的距离

.

图10

已知在梯形ABCD中，AB∥CD，CD在平面α内，AB∶CD=4∶6，AB到α的距离为10 cm，求梯形对角线的交点O到α的距离.

图11

直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为：

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

ab

直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：la

lbab

直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5,



l⊥α. P

图5 图6

斜线在平面内的射影.

斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线. 斜足：斜线和平面的交点. 斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.

直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角. 一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0°.如图6，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l′

）

是l在α内的射影，∠AOB（记作θ）是l与α所成的角.

直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？

⑤点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.

垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段. 点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离. 模块三：【典例分析】：

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.

如图9,在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.

练习

如图8,已知点P为平面ABC外一点，PA⊥BC，PC⊥AB，求证：PB⊥

AC.

如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.

（2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

(1)

(1)求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.

如图10，四面体A—BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.

（2007山东高考,文20）如图11(1)，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC.

(1)

(1)求证：D1C⊥AC1；

（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.

如图12，在正方体ABCD—A1B1C1D1，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心. 求证：A1O⊥平面GBD.

如图13，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证：E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.

已知Rt△ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角.

如图15，已知a、b是两条相互垂直的异面直线，线段AB与两异面直线a、b垂直且相交，线段AB的长为定值m，定长为n（n＞m）的线段PQ的两个端点分别在a、b上移动，M、N分别是AB、PQ的中点.

图15

求证：（1）AB⊥MN； （2）MN的长是定值. .

如图16，已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC—A1B1C1中,AC=3，AB=5，BC=4,AA1=4,点D是AB的中点.

图16

（1）求证：AC⊥BC1;

（2）求证：AC1∥平面CDB1；

课堂练习

如图6，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.

如图8,E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面α过EH分别交BC、CD于F、G.求证：EH∥FG.

如图12，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥

AB.

图12

已知AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB. （1）求证：CD∥α;

（2）若AB=4，EF=5，CD=2，求AB与CD所成角的大小.

课堂总结 回家作业

设P、Q是边长为a的正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心,如图8, （1）证明PQ∥平面AA1B1B； （2）求线段PQ的长.