初中数学_证明[1]

A

3．【06湖北】如图，AC 和BD 相交于点E ，AB ∥CD ，BE =DE 。

求证：AB =CD

D

B E 第3题图

A 4．【06温州】如图，点D 、C 在BF 上，AB ∥EF ，∠A=∠E ，BC=DF，

求证AB=EF．

E 5．【06重庆】如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF,AE= BC, 且 AE ∥BC.

求证：（1）△AEF ≌△BCD ；(2) EF∥CD.

B A D F

C

E

6．【06北京】如图，AB ∥ED ，点F 、点C 在AD 上，AB =DE ，AF =

DC 。 求证：BC =EF 。

B

(第6题图) 7．【05三明】已知：如图，∠1=∠2，BD=BC, 求证：∠3=∠4

8．【05福州】已知：如图5，点C 、D 在线段AB 上，PC ＝PD 。 请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。 所加条件为＿＿＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形 是△＿＿＿≌△＿＿＿。

证明：

D B

11．【06湖北】如图，已知△ABC ，请你增加一个条件，写出一个结论，并证明你写出的结论。

15．【04连云港】已知:如图, A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF =CD ，AB ∥DE ，且AB =DE ．

求证：（1）∆ABC ≌∆DEF ； E D

（2）∠CBF =∠FEC .

C

F

A

B

17．【04万州】已知：如图，已知：D 是△ABC 的边AB 上一点，CN ∥AB ，DN 交AC 于，

若MA=MC， 求证：CD=AN.

18．【04北京】．请看下面小明同学完成的一道证明题的思路：

【证明题】如图1，已知△ABC 中，AB=AC，CD ⊥AB ，垂足是D ，P 是BC 边上任意一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F

求证：

PE+PF=CD

证明思路：

如图2，过点P 作PG ⊥AB 交CD 于G ， 则四边形PGDE 为矩形，PE=GD 又可证△PGC ≌△CFP ，则PF=CG 所以

PE+PF=DG+GC=DC

【问题】若P 是BC 延长线上任意一点，其它条件不变，则PE 、PF 与CD 有何关系？请你写出结论并完成证明过程。

结论： 证明：

三、解答题

1． 如图，已知，BD=CE,只添加 一个条件，就可证得∠ABE =∠ACD ，有哪几

种方法？

B A

C

2． 如图，B,C,E 三点在一条直线上，∆ABC 与∆DCE 均为等边三角形，连接

AE,DB. (1) 求证：AE=DB

(2) 如果把绕点顺时针旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？

B

已知如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F ，且BF=CE。

求证：（1）△ABC 是等腰三角形; (3) 当∠A=90º时，试判断四边形AFDE 是怎样的四边形，证明你的判断

结论。

C

E

C

1. 已知正方形ABCD 和正方形AEFG 有一个公共点A, 点G 、E 分别在线段AD 、AB 上.

(1) 如图1, 连结DF 、BF, 若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转, 判断命题:“在旋转的过程中线段DF 与BF 的长始终相等. ”是否正确, 若正确请证明, 若不正确请举反例说明;

(2) 若将正方形AEFG 绕点A 按顺时针方向旋转, 连结DG, 在旋

以图2转的过程中, 你能否找到一条线段的长与线段DG 的长始终相等？并图1

为例说明理由. 图2

2. . 用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD. 把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合， 使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB ，AC 重合. 将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 相交于点E ，F 时，（如图13—1），通过观察或测量BE ，CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC ，CD 的延长线相交于点E ，F 时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

3. 将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，

M D

C

交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.

如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM =3∶4∶5；

E

F

A B

4. 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、 D

DA 的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由． A 解：添加的条件： G

E 理由

C B

F

5. 阅读材料：

C

如图（1）在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，垂足为P.

1

P 求证：S 四边形ABCD =A C ⋅BD

2

1⎧

S =A C ⋅P D ⎪∆A C D

2

证明：AC ⊥BD→⎨1

⎪S ∆A B C =A C ⋅BP ⎩2

A

B

图（1）

∴S

四边形

A B C D =S ? A C D +S ? A C B =

12

A C ⋅P D +

12

A C ⋅BP

=

12

A C (PD +P B ) =

1122

A ⋅B BD A C C D .

解答问题：

（1）上述证明得到的性质可叙述为___________________________________________________. （2）已知：如图（2），等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 且相交于点P ，AD=3cm,BC=7cm，利用上述的性质求梯形的面积.

图 2 6. 已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA ⊥AF .

求证：DE =BF .

7. 如图，梯形ABCD ，AB//DC，AD=DC=CB，AD 、BC 的延长线相交于G ，

CE ⊥AG 于E ，CF ⊥AB 于F.

（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；

（2）选择（1）中你所写出的一组相等线段，说明它们相等的理由.

8. 如图，在ΔABC中，AC=BC，∠C=90º，AD 是ΔABC的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ， （1）已知CD=4cm，求AC 的长；

A （2）求证：AB=AC+CD。

C

D

B

9. 已知:如图, 四边形ABCD 是平行四边形,F 、G 是AB 边上的两个点, 且FC 平分∠BCD ，GD 平分∠ADC ，

FC 与GD 相交于点E. F G A

B

（1）求证:AF=GB

（2）请将平行四边形ABCD 添加一个什么条件，使得ΔEFG为等腰直E 角三角形，并说明理由。

D

C

10. 等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，DE ⊥BC 于E ，AE ＝BE ，BF ⊥AE 于F ，线段B 图中的哪一

条线段相等。先写出你的猜想，再加以证明。BF ＝

11. 如图，在□ABCD 的纸片中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于O ，将△ABC 沿对角线AC 翻转180°，得到∆A B ' C . （1）求证：以A 、C 、D 、B ' 为顶点的四边形是矩形；

（2）若四边形ABCD 的面积S ＝12cm2. 求翻转后纸片重叠部分的面积，即S ∆AC E .

B' E A

D

O

C B

图（三）

12. 如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点E 。已知：DA ＝DC ，

E 为AC 中点。 求证：（1）AC ⊥BD ；（2）∠ABD ＝∠CBD 。

A

C

二、综合题：

1、如图，已知在△ABC 中，AB=AC，O 是△ABC 内的一点，且OB=OC求证：A O ⊥

BC

2、如图，等边△MAC 和等边△NCB ，AN 交MC 于D ，BM 交CN 于E ，求证：△DEC 等边三角形。

6、一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如图（3）形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条线上。 （1）求证：AB ⊥ED

（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明。

7、如图，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别在AB 、AC 上，且BD=AE，CD 、BE 相交于点O ，DF ⊥BE 于F 。 求证：

OD=2OF

8、如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90︒，D 是AB 上一点，BD=BC，过点D 作AB 的垂线，交AC 于点E ，交BE 于点F 。

求证：BE 垂直平分

CD

9、如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 平分∠BAC ，过D 作DE//AC

，交AB 于E ，DF//AB，交AC 于F ，

EF 与BC 的延长线交于点G 。 求证：（1）EG 是AD 的垂直平分线 （2）∠

ACG =∠BAG

10、如图，在△ABC 中，∠BAC =90︒，延长BA 到D ，使AD =（1）求证：DF=BE

（2）过点A 作AG//BC，交DF 于点G ，求证：AG=DG

12

AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。

11、如图，已知正方形ABCD ，对角线交于O ，另有一个正方形OFGH （OF>OB），绕O 点旋转，问：在旋转过程中两正方形重合部分的面积是否会改变：请说明理由。

12、如图，在等腰梯形ABCD 中，AB//CD，AC 、BD 是对角线，将△ABC 沿AB 向下翻折到△ABE 的位置，试判断四边形AEBC 的形状，并证明你的结论。

13、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AC 、AB 的中点，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF =∠A ， ∠C =90︒，求证：四边形DECF 是平行四边形。

14、如图，在等腰梯形ABCD 中，M 、N 是AD 、BC 的中点，EF 是MB 、MC 的中点， （1）求证：△ABM ≌△DCM （2）求证：四边形MENF 是菱形

15、如图，BD 、CE 是高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点，试求证：FG ⊥

DE

16、如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠

BAD =∠CAE ，求证：四边形

BCED 是矩形

17、如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB=a. 求（1）∠ABC 的度数

（2）对角线AC 的长

（3）菱形ABCD 的面积。

18、已知M 是矩形ABCD 的AD 的中点，P 是BC 边上的一动点，PE ⊥BM ，PF ⊥CM ，垂足分别为E 、F ，（1）当矩形的长宽满足什么条件时，四边形PEMF 为矩形？说明你的理由。

（2）在（1）中，点P 运动到什么位置时，四边形DEMF 为正方形？请说明。

19、如图，已知E 、F 分别是平行四边形ABCD 边上的一点，且AE=CF，

（1）求证：△ABE ≌△CDF

（2）若M 、N 分别是BE 、DE 的中点，连续MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论。

20、如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC，M 、M 分别是AD 、BC 的中点，E 、F 分别是BM 、CM 的中点，

（1）求证：四边形MENF 是菱形；

（2）若四边形MENF 是正方形，请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系，并证明你的结论。

21、如图，在矩形ABCD 中，F 是BC 边上的一点，AF 的延长线交DC 的延长线于G ，DE ⊥AG 于E ，且DE=DC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论。

11

22、已知平行四边形ABCD 的对角线AC 的中垂线与边AB 、CD 的分别交于点E 、F ，那么四边形AECF 是菱形吗？请你证明。

12