相似三角形专题 8字形
相似基本形————————
一、基本形说明
条件:D E ∥BC 结论:(1)ΔAED ∽ ΔABC (2)
8
字形
AD AE DE
== AC AB BC
(3)等积式:AD ·AB=AE·AC
(4)对应比例式(上:下=上:下,上:全=…) 说明:不能直接用 过程:∵D E ∥BC
∴∠B=∠E ,∠D=∠C
∴ΔAED ∽ ΔABC ∴二、基本形练习;
AD AE DE
== AC AB BC
AD 1
1. 已知:如图,D E ∥BC ,=,DE =4cm, 则BC 的长为 ( )
AC 2
A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm
答案:A
2. 将一副三角板按如图叠放,则△AOB 与△DOC 的面积之比等于( )
1
111
A . B . C .
D .
2343
答案:C
3. 在平行四边形ABCD 中,E 是AB 的中点,F 在直线AD 上,EF 交AC 与G, 且AF=2DF,则AG :GC= 。 答案:
22或 35
4. 如图1,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,四边形ABCO 是菱形,点A 的坐标为(-3,4) ,点C 在x 轴的正半轴上,直线AC 交y 轴于点M ,AB 边交y 轴于点H. (1)求直线AC 的解析式;
(2)连接BM ,如图2,动点P 从点A 出发,沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动,设△PMB 的面积为S(S≠0) ,点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式(要求写出自变量t 的取值范围) ;
(3)在(2)的条件下,当t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值.
1
答案:
2
5. 在△ABC 中,已知AB >AC ,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ,点E 在DC 的延长线上,且
DE
=k ,过E 作EF BD
∥AB 交AC 的延长线于F.
(1)如图1,当k=1时,求证:AF+EF=AB ;
(2)如图2,当k=2时,直接写出线段AF 、EF 、AB 之间满足的数量关系: ; (3)如图3,在(2)的条件下,连接AE ,若AB =9,tan ∠DAF=
1
,AE=2,且AF >EF ,求边AC 的长. 2
答案:(1)证明:延长AD 、EF 交于点G , 当k =1时,DE=BD
∵E F ∥AB, ∴∠BAD=∠EGD,
又∵∠BDA=∠EDG,BD=ED, ∴△AB D ≌△GED, ∴AB=GE, 又∵AD 平分∠BAC, ∴∠BAD=∠DAC, ∴∠FGD=∠DAC,
∴AF=GF, ∴AF+EF=AB. (2) AF+EF=2AB. (3)延长AD 、EF 交点为G. 由(1)(2)可知:FG+EF=2AB=18,即GE=18.
第(1)问图 1过点A 作A H ⊥GE, 在Rt △AGH 中,tan ∠G=tan ∠DAF=.
2
AH 1
=∴GH=2AH 即
GH 2
设AH=x ,则GH=2x ,HE=18-2x , 在Rt △AEH 中, 由勾股定理可得
32
x 2+(18-2x ) 2=(2) 2 ,解得x 1=8, x 2= 5
当AH=8时,GH=16,设FH=a ,则AF=16-a , 在Rt △AFH 中,
由勾股定理可得: 82+a 2=(16-a ) 2
解得a =6,
AF=10,EF=8,
成立。
32
当AH=时,同理可求FH=4.8,AF=8,EF=10. 5∵A F >EF, ∴此种情况不成立. ∵E F ∥AB, ∴∠ABC=∠FEC, 又∵∠ACB=∠FCE.
∴△AB C ∽△FEC, ∴
E AB AC 9AC
= 即= FE FC 810-AC
3
∴AC=
90
17
4