用变量替换法求解某些类型微分方程问题
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用变量替换法求解某些类型微分方程问题
高等数学的常微分方程这部分内容，许多类型题目求解都需要变量替换这一重要工具，下面就运用变量替换方法解几种类型的常微分方程。
一、在求解一阶显式微分方程中的应用
一阶显式微分方程如果能化成可分离变量方程，求解问题就解决了，很多类型的一阶方程可以通过适当的变量替换化为可分离变量方程。
（1）齐次方程，通过变量替换，化为以为未知函数的可分离变量方程。
（2）准齐次方程 ，其中 为常数，且，
至少有一个不为零。如果由方程
构成的方程组的解为 ，则同时作函数与自变量的替换 ，将其化为 以为函数，以为自变量的齐次方程，然后再将齐次方程化为可分离变量方程，达到求解齐次方程的目的。
（3）一阶线性方程，其中 为已知函数。该方程对应的齐次方程的通解为，作替换，
以此作为原方程的解，代入原方程中得
从中解出 ，进而完成原方程求解。
（4）伯努力方程，其中n≠0，1作替换，
将方程化为以z 为未知函数的线性方程
然后再按线性方程作替换求解。
（5）黎卡堤方程。若已知它的一个解为，则作代换，代入原方程化为以u 为未
知函数的伯努力方程。对黎卡堤方程，其中
都是常数，且a≠0，则当m=0，－2， （k ＝1，2…）时，可经过适当的变量替换化为可分离变量方程。
（6）其它形式的一阶方程对其他形式的某些一阶微分方程，可以根据方程自身特点，适当选取灵活的替换方法，将其化为可分