初一下数学证明经典例题及答案
如图，已知D 是△ABC 内一点，试说明AB+AC＞BD+CD 证明：延长BD 交AC 于E
在△ABC 中，AB+AE＞BE, 即AB+AE＞BD+DE……① 在△DEC 中,DE+EC＞DC ……②
①+②，得（AB+AE）+（DE+EC）＞（BD+DE）+CD 即AB+（AE+EC）+DE＞（BD+DE）+CD 即AB+AC+DE＞BD+DE+CD ∴AB+AC＞BD+CD
如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，求证： （1）AB+AC＞2AD
（2）若AB=5,AC=3，求AD 的范围。
B
A
E
D
C
A
(1)延长AD 到点G, 使DG=AD.连接BG
在△CDA 和△BDE 中 AD=GD,∠ADC=∠GDB ∵D 是BC 的中点 ∴CD=BD ∴△CDA ≌△BDG. ∴BG=AC
在△ABG 中,AB+BG=AB+BC AG=2AD
因为三角形两边和大于第三边, 所以AB+BE＞AG ∴AB+BC＞2AD
G
B
C
(2)AB-AC ＜2AD ＜AB+AC
2＜2AD ＜8 1＜AD ＜4
如图，AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°，点F 为DE 的中点，求证：BC=2AF. 延长AF 到点G, 使AF=DF.连接GD 在△AFE 和△DFG 中 AF=GF,∠AFE=∠DFG ∵点F 为DE 的中点 ∴DF=EF
所以△AFE ≌△DFG. (SAS) GD=AE=AC;∠G=∠FAE.
∴DG ∥AE.(内错角相等, 两直线平行)
则∠GDA+∠DAE=180°.(两直线平行, 同旁内角互补） 又∵∠BAC+∠DAE=180°.
∴∠GDA=∠BAC.(同角的补角相等). 又∵AD=AB.
∴⊿ADG ≌⊿BAC(SAS) ∴AG=BC,即2AF=BC. ∴BC=2AF.
如图，AD 是△ABC 的中线，点E 在BC 的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA 求证：AE=2AD
证明：在AD 的延长线上取点F, 使AD ＝FD, 连接
CF ∵AD 是中线
∴BD ＝CD,AD ＝FD, ∠ADB ＝∠FDC ∴△ABD ≌△FCD （SAS ） ∴CF ＝AB, ∠B ＝∠FCD
F
∵∠ACF ＝∠BCA+∠BCE, ∠ACE ＝∠BAC+∠B, ∠BAC ＝∠BCA ∴∠ACF ＝∠ACE
D
C
E
A C
∵CE ＝AB ∴CE ＝CF
∴△ACE ≌△ACF （SAS ） ∴AE ＝AF ∵AF ＝AD+FD＝2AD ∴AE ＝2AD
如图，△ABC 中，∠ABC=90°，AC=CE,BC=CD,∠ACE=∠BCD=90°，BC 的延长线交DE 于F 。 （1）求证:EF=DF
（2）求证: S △ABC=S△DCE 证明：
①作EG ⊥BF, 交BF 延长线于G 则∠CGE=∠ABC=90° ∵∠ACE=90° ∴∠ACB+∠ECG=90° ∵∠ACB+∠BAC=90° ∴∠ECG=∠BAC 又∵AC=EC
∴△ABC ≌△CGE （AAS ） ∴BC=EG ∵BC=CD ∴EG=CD ∵∠BCD=90° ∴∠DCF=90°=∠EGF
又∵∠CFD=∠GFE （对顶角相等）,CD=EG ∴△CFD ≌△GFE （AAS ）
②∵△CFD ≌△GFE ∴S △CFD=S△GFE
∴S △CFD+S△CFE=S△GFE+S△CFE 即S △DCE=S△CGE ∵△ABC ≌△CGE ∴S △ABC=S△CGE ∴S △ABC=S△DCE
如图，在△ABC ，△DEF 中，AM,DN 分别是两三角形中线，AB=DE,AC=DF,AM=DN. 求证：△ABC ≌△DEF
证明：如图，延长AM 至A′，使A′M=AM 延长DN 至D′，使D′N=DN 连接A′C、D′F ∵AM 是△ABC 的中线 ∴BM=MC
在△ABM 和△A′CM中
BM ＝MC ∠AMB ＝∠A′MCAM＝A′M ∴△ABM ≌△A′CM（SAS ） ∴AB=A′C，同理可得DE=D′F ∵AB=DE，∴A′C=D′F ∵AM=DN，AA′=2AM，DD′=2DN
∴AA′=DD′，在△AA′C和△DD′F中，AC ＝DFAA′＝DD′A′C＝D′F ∴△AA′C≌△DD′F（SSS ）
∴∠A′=∠D′，在△A′MC和△D′NF中，A′M＝D′N∠A′＝∠D′A′C＝D′F ∴△A′MC≌△D′NF（SAS ）
A ′
B
M
C
D ′
A
N
F
D
∵AM 、DN 分别是两三角形中线 ∴BC=2MC，EF=2NF
∴BC=EF，在△ABC 和DEF 中，AB ＝DEAC ＝DFBC ＝EF ∴△ABC ≌DEF （SSS ）．