于一种新的扫描方式的滤波反投影算法

北京交通大学

硕士学位论文

基于一种新的扫描方式的滤波反投影算法

姓名：杨艳芳

申请学位级别：硕士

专业：计算数学

指导教师：渠刚荣

20090701

中文摘要

扇形束ＣＴ（ｅｏｍｐｕｔｅｄｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ）扫描结构在实践中易于实现和控制，被广泛应用于临床。尽管新的快速三维螺旋ＣＴ体积成像方法将来是ＣＴ重建的研究主流，而扇形束ＣＴ也仍然有研究价值。为此本文定出了将扇形束扫描方式下的重建作为课题的研究内容。

本文主要介绍探测器等距离排列的扇形束投影，在全局重建与局部重建的数值模拟中，本文采用结合一种新型滤波函数［１，２】的扇形束滤波反投影（ＦＢＰ）【３】，通过数字验证了在全局重建中采用该滤波函数比现有常用的滤波函数效果更好，以及该特殊函数在局部重建中的有效性。

针对工业ＣＴ中存在感兴趣区域（ＲＯｔ）的旋转半径有时过大，当感兴趣区域（ＲＯＩ）绕旋转中心旋转时会落在扫描范围外的问题，本文在张慧韬、张朋［４１Ｉ作的基础上，推导出了在新的扫描方式下的扇形束滤波反投影（ＦＢＰ）的图像重建公式，并将扇形束重排法用到新的成像模式中，构造了新的成像模式下的局部重建算法。在数值试验中实现了用局部投影数据进行重建，用原物体的数据与重建后的数据对比，发现滤波反投影算法在新的扫描方式下的局部重建效果较好，并且容易实现。关键词：图像重建；Ｒａｄｏｎ变换；滤波反投影算法；扇形束局部重建；重排法

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ＡＢＳＴＲＡＣＴ

Ｆａｎ－ｂｅａｍＣＴ（ｃｏｍｐｕｔｅｄｔｏｍｏｇｒａｐｈｙ），ｗｈｉｃｈｉｓｅａｓｙ

ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｄｉｎｐｒａｃｔｉｃｅ．ｉｓｗｉｄｅｌｙｕｓｅｄｉｎｃｌｉｎｉｃａｌｍｅｄｉｃｉｎｅ．删ｌｅｔｈｅｆａｓｔｔｏｂｅｉｍｐｌｅｍｅｎｔｅｄａｎｄｂｅ３．Ｄｓｐｉｒａｌｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇｉｍａｇｅｓｍｅｔｈｏｄｗｉｌｌｂｅｔｈｅｍａｉｎｓｔｒｅａｍｉｎｆｅａｔｕｒｅｒｅｓｅａｒｃｈ，Ｉｔｉｓｓｔｉｌｌｖａｌｕａｂｌｅｔｏｒｅｓｅａｒｃｈｔｈｅｆａｎ－ｂｃａｍＣＴ．Ｓｏｔｈｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｎｇａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｎｖｏｌｖｉｎｇｔｈｅｆａｎ．ｂｅａｍｓｃａｎｎｉｎｇｉＳｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈｓｕｂｊｅｃｔｉｎｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅ．

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ａａｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＦＢＰ）［３】ｗｉｍ

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独创性声明

本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

学位论文作者签名：啊匆

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学位论文版权使用授权书

本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。

（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）

靴敝储戤：枋栊为导师爵：－签名轭匿

签字日期：砂７年７腿日签字日ｊ期：臻刁年Ｄ月夕

致谢

本论文的工作是在我的导师渠刚荣副教授的悉心指导下完成的，渠刚荣副教授严谨的治学态度和科学的工作方法给了我极大的帮助和影响。在此衷心感谢两年来渠刚荣老师对我的关心和指导。

渠刚荣副教授悉心指导我们完成了实验室的科研工作，在学习上和生活上都给予了我很大的关心和帮助，在此向渠刚荣老师表示衷心的谢意。

渠刚荣副教授对于我的科研工作和论文都提出了许多的宝贵意见，在此表示衷心的感谢。

在实验室工作及撰写论文期间，顾兴勇、肖波等同学对我论文中的图像重建算法研究工作给予了热情帮助，在此向他们表达我的感激之情。

另外也感谢家人朋友，他们的理解和支持使我能够在学校专心完成我的学』匕。

１绪论

１．１图像重建问题的发展及展望

计算机断层扫描（ＣｏｍｐｕｔｅｒｉｚｅｄＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ简写成ＣＴ）在医学上一个重要的方式是由多个ｘ射线投影值获得人体内部的密度分布。１９１７年奥地利数学家Ｒａｄｏｎ系统地论证了由积分值确定被积函数的理论方法，为ＣＴ技术的形成和发展提供了可靠的理论依据。随后，美国物理学家Ａ．Ｍ．Ｃｏｒｍａｃｋ在此基础上作了进一步研究，并且完成了仿真与实验研究，这标志着由Ｘ射线投影重建图像的解析数学方法的确立。１９７１年，英国ＥＭＩ公司工程师ＧＮ．Ｈｏｕｎｓｆｉｅｌｄ研制出了第一台ＣＴ扫描装置。至此，ＣＴ理论终于取得了实质性的突破。

在二维的情况下，Ｒａｄｏｎ变换是非局部的，即为了恢复图像中的任何一个特定的点需要待重建物体所有的投影信息。在医学上，即使医生只想了解病人的某个局部的情况，也要对病人的全身进行扫描，这意味着病人要承受更多的Ｘ射线辐射，过多的电离辐射可能会引起病人的癌变或者基因变异，对病人的身体带来危害。而在实际情况中，医生更多时候只是想了解病人的某个特定器官的情况，如：心脏，大脑等等。为了减少Ｘ射线对病人带来的伤害，同时也为了减少扫描的时间，提高资源利用率和计算的时间，针对感兴趣区域（ＲＯＤ局部重建迫切需要发展。

由于局部重建算法（ＬｏｃａｌＲｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ）的实用性，局部重建算法在近几十年来是国内外比较关注的话题。１９８４年Ｓｍｉｔｈ首先提出了ＬａｍｂｄａＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ（ＬＴ）［５—６】。他把Ｃａｌｄｅｒｏｎ在解偏微分方程时使用人引入到ＣＴ重建算法中，利用算子的数学性质实现了局部重建。ＬａｍｂｄａＴｏｍｏｇｒａｐｈｙ是最早提出的局部重建算法，有很多文献对该算法进行了推倒和更进一步地研究。１９９２年Ｗａｌｎｕｔ第一次把小波分析应用到了ＣＴ局部重建中［７．８］。２００７年宋沛然在范惠荣、徐茂林、邱钧工作的基础上，结合重排法，实现了扇形束的滤波反投影全局与局部重建。关于三维ＣＴ重建算法，虽然早在上世纪８０年代就给出了精确重建的充分必要条件，但在数值上很难实现。２００２年Ｋｅｔｓｅｖｉｃｈ提出螺旋锥束ＣＴ精确重建算法

【９］，该算法是三维ＣＴ领域的突破性进展。基于他的工作，Ｚｏｕ和Ｐａｎ对投影数据进行微分、反投影，然后对反投影的结果进行Ｈｉｌｂｅｒｔ滤波，提出了反投影滤波（ｆｉｌｔｅｒｅｄｂａｃｋｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ，ＦＢＰ）重建算法［１０．１６】。该算法在减少数据冗余和区域

ｉｎｔｅｒｅｓｔ，ＲＯＩ）重建方面有很大的优势。随后ＥＮｏｏ等人用经典有限（ｒｅｇｉｏｎｏｆ

Ｈｉｌｂｅｒｔ反演公式推倒出了局部重建方法［１７】。

ＣＴ设备的不断发展，由原来的第一代的二维扫描发展到了今天的螺旋ＣＴ，同时，对锥束重建算法的研究也随着活跃起来。虽然理论上、算法上和应用上正在不断地完善，但是这三个方面还有很多问题等待我们去解决。特别是研究更高效得长物体、短物体精确三维锥束重建算法［１８１。与此同时，尽管新的快速三维螺旋ＣＴ体积成像方法将是未来ＣＴ重建的主流，而扇形束ＣＴ也仍然有其研究价值。近来，主要研究两方面的问题：一方面是感兴趣区域超短扫描精确重建方法和理论分析证明，另一方面是如何处理带有部分截断投影数据的精确重建问题［１９】。１．２本文的研究工作

本文基于Ｒａｄｏｎ变换理论，以滤波反投影为研究对象，对ＣＴ的扇形束扫描模式和图像重建的算法作了进一步的研究。

论文各章内容安排如下：

第一章介绍ＣＴ局部重建的研究背景、发展历史和未来ＣＴ局部重建的发展趋势。

第二章介绍ＣＴ图像重建的原理和相关的数学理论基础，本章主要针对解析重建，为此重点介绍Ｒａｄｏｎ变换、Ｒａｄｏｎ变换的求逆公式、Ｆｏｕｒｉｅｒ分析和Ｆｏｕｒｉｅｒ切片定理。

第三章本文主要针对与探测器等距离排列的扇形束的图像重建算法，通过平行束的投影数据与扇形束投影数据之间的关系，通过平行束滤波反投影的重建公式，推导出了探测器等距离排列的扇形束图像重建算法。在计算机实现部分中，本文采用数据重排的方法，即通过线性插值把扇形束投影数据转化为平行束投影数据［２０．２２］，再进行平行束滤波反投影重建。在滤波函数的选择上，采用范惠荣、徐茂林、邱钧等研究的一种新型滤波函数，将其用于全局和局部重建。数值模拟部分把滤波函数与其它常用滤波函数做了对比，证明其有效性。

第四章首先介绍了新型的ＣＴ旋转台边旋转边平移的扇形束扫描模式，其次在扇形束滤波反投影重建算法的基础上，推导出了新的扫描模式下的图像重建算法，最后将采用新型滤波函数的扇形束重排法应用到新的成像模式下，通过数字实验，将模拟数据与待重建图像原始数据进行比较，说明在新的扫描模式下，扇形束滤波反投影重建算法的有效性。２

２ＣＴ图像重建的原理及相关的数学理论基础

在这一章，我们首先对二维图像重建问题进行简单介绍，主要介绍解析成像重建，给出了解析成像重建的重要的数学理论基础一Ｒａｄｏｎ变换的概念、Ｒａｄｏｎ变换的求逆公式以及Ｆｏｕｒｉｅｒ切片理论，为下面的研究做准备。

２．１图像重建的原理

对于给定某种公式来估计密度厂的近似值厂，我们称这种方法为解析重建法。目前，对应不同的ｘ光的投影结构，投影数据与密度厂之间的解析关系是不同的，数学计算也不同。在二维的Ｘ光的投影结构中，主要归纳为两种：平行束投影和扇形束投影。但是，由于扇形束投影与平行束可以相互转化，在本节中，将主要介绍平行束投影。

图２—１平行束扫描模式

平行束扫描的机器包括射线源和用于接受投射光的探测器。在每一组数据采集中，射线源和探测器之间作平行移动，探测器记录该组的投射数据；然后射线源和探测器同时围绕被探测物体的中心旋转一个固定角度，接着再进行平行移动扫描，直至旋转角度到１８００。再根据这些投影数据进行重建。

当ｘ射线穿过被探测物体（比如人体，地球物理表面等），由于吸收和微射，Ｘ射线会发生衰减，又由于被探测物体内部组织的不同，衰减系数随之不同，我们用函数∥（五Ｙ）来表示衰减系数。由于∥受到密度函数厂的影响，只要知道了∥的分布，也就知道了密度分布。３

设Ｘ射束穿过某个不均匀介质时，射束强度下降可用下面方程表示：

Ｉ＝Ｉｏｅ一胆

厶是输入射线的强度，Ｉ是测得的数据强度，经过变形上式可以简写为：

互鹏ｙ）凼一ｌｎ（丢）１２－ｌ＿１）

三是Ｘ射线经过的一条路径。ＣＴ图像重建通过探测厶和，得到一系列的投影Ｒａｄｏｎ变换

本节先给出甩维空间中的Ｒａｄｏｎ变换的定义［２３】；再介绍二维图像重建中的Ｒａｄｏｎ变换的定义

Ｒａｄｏｎ变换起源于积分几何，所谓的积分几何就是根据流形的几何性质（包考虑，ｚ维空间的超平面：

Ｌ：Ｐ＝石・国

其中ｘ＝（＿，Ｘ２，…，ｘｎ）∈Ｒ”，∞∈Ｓ”１，缈是刀维空间中的单位向量，Ｐ∈Ｒ１是定义２．２．１Ｒａｄｏｎ变换是函数ｆ（ｘ）在超平面￡上的积分，

Ｒｆ（ｐ，国）＝少＠）ｄｘ

ｍ‘ｘ＝ｐ４数据，利用（２—１—１）式，确定∥的分布函数。２．２Ｒａｄｏｎ变换的具体形式。２．２．１括几何形态和集合分布）研究函数在此流行上的积分。在ＣＴ中的含义是获得投影数据，即根据流形（即Ｘ射线束）的几何性质（各种平面直线）研究函数（Ｘ射线穿过物体的衰减系数分布函数／４ｘ，Ｙ））在此流形各直线上的积分。原点到超平面的距离，Ｐ，缈为超平面￡的位置参数。ｆ（ｘ）＝／（■，Ｘ２，…，％）∈矽（Ｒ”）

Ｒａｄｏｎ已经证明，若函数厂（ｘ）连续且具有紧支集，则Ｒｆ（ｐ，缈）可由沿所有￡线积分为一确定。

显然，Ｒｆ（ｐ，秒）是单位柱面Ｚ＝Ｓ”１ｘＲ１上的偶函数，即

Ｒｆ（－ｐ，－ｃｏ）＝Ｒｆ（ｐ，ｃｏ）

２．２．２二维图像重建中Ｒａｄｏｎ变换的具体形式

在二维的图像空间中，设厂＠，ｙ）表示某一图像密度的二维空间分布，且该函数在二维空间中具有紧支集，Ｒａｄｏｎ变换可以表现为：

Ｒｆ（ｐ，ｐ）＝ｉ／（ｘ，ｙ）ｄｓ（２－２－１）

Ｐ为原点到直线的垂线，乡为法线与ｚ轴的交角，Ｐ，口为直线Ｌ的位置参数。它实际上是对图像厂Ｏ，Ｙ）的线积分。

设如图２－２建立直角坐标系，则直线Ｌ上的任意一点∽ｙ）可以表示为：

Ｘ＝

ＬｐＳ一ＳＳ

｝Ｓｍｙ＝ｐ∞出ｌ矽秒Ｃ｛宝ｐ秒

式子（２．２－１）可以改写成：

Ｒｆ（ｐ，９）＝王厂（ｚ，ｙ）ｄｓ＝￡州ｐｃ。ｓ秒一ｓｓｉｎ秒），（ｐｓｉｎｐ＋ｓｃｏｓＯ））ｄｓ

图２—２二维Ｒａｄｏｎ变换

５

２．３Ｒａｄｏｎ变换的求逆公式

在上一节中给出了图像重建中的Ｒａｄｏｎ变换的具体形式，在本节中将给出其相应的求逆公式［２３】：

ｆ（ｘ，ｙ）－－萨１胁￡南半勿

以下几个步骤：（２－３－１）由式子（２．３．１）可以看出，已知投影数据Ｒｆ（ｐ，秒），要求其逆变换，可以经过

（１）关于影（ｐ，ｐ）的第一个变量Ｐ求偏导数；

（２）对其偏导数做关于Ｐ的Ｈｉｌｂｅｒｔ变换；

（３）对经过Ｈｉｌｂｅｎ变换后的函数作反投影和归一化运算。

在反投影运算前经过微分、Ｈｉｌｂｅｒｔ变换两个环节，由于存在微分项，公式对实际投影数据中的微小误差极为敏感［２４．２６］。并且Ｈｉｌｂｅｒｔ算子又具有奇异点，在实际应用中带来许多困难，因此Ｒａｄｏｎ求逆公式目前在商用ＣＴ中未得到应用。２．４Ｆｏｕｒｉｅｒ分析和Ｆｏｕｒｉｅｒ切片定理

１８２２年法国数学家傅立叶发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了周期函数都可以展开成正弦技术，奠定了傅立叶级数的理论。其后，该理论被应用到了处理信号中，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），在频域内对信号进行处理、加工。最后利用傅立叶逆变换将频域信号转换成时域信号。在计算机图像处理中，也用到了傅立叶变换。

２．４．１二维Ｆｏｕｒｉｅｒ变换

设ｆ（ｘ，Ｙ）是两个独立变量ｘ、Ｙ函数，那么它的二维傅立叶变换可以表示为：

《州卅ＩｕＦ（ｕ，ｖ）＝ｆ：ｆ：ｆ（ｘ，ｙ）ｅｔ酬卅＇’，）ｄｘｄｙ，Ｖ）＝Ｉｌ●ｐ∞，∞（２—４．１）

对Ｆ（ｕ，力进行傅立叶逆变换，即把公式（２４１）两边分别乘以ｅｘｐ（ｊ２７ｒ（ｕａ＋印））后再对变量“１，积分，可以得到：６

￡￡Ｆ（…）ｅＪ２ｒ（ｕａ＋ｖ，８）ｄｕｄｖ

＝￡￡￡￡厂（ｚ，ｙ）ｅ－２ｑ（ｕ（ｘ－ａ）＋ｖ（ｙ－Ｐ））ｄｘｄｙｄｕｄｖ

（２－４—２）

＝￡￡厂（工，ｙ）出方￡艮‘２咖（Ｐ咖咖呐）ｄｕｄｖ

为了更好地说明下面的工作内容，在本节中先引入狄拉克函数的概念：定义２．４．１函数８（ｘ，ｙ）【２７］若满足：

Ｊ￡ｍ，ｙ）ｄｘｄｙ＝１

则称函数８（ｘ，Ｙ）是狄拉克函数。

狄拉克函数８（ｘ，Ｙ）具有如下性质：【万（．砖Ｊ，）＝ｏ，ｚ≠０，ｙ≠０

性质１：￡￡厂（ｚ，ｙ）８（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝ｆ（Ｏ，ｏ）

性质２：￡￡厂（石，ｙ）艿（ｘ一而，Ｙ－Ｙｏ）ｄｘｄｙ＝ｆ（ｘｏ，Ｙｏ）

性质３：８（－ｘ，－ｙ）＝８（ｘ，ｙ）

根据狄拉克函数的定义知函数；０。；，ｏｅ－２ｎｊｔｕｘ＋ｖｙ）幽咖是一个狄拉克函数［１９】，利用狄拉克函数的性质可以把（２—４．２）式进一步改写成：

￡￡Ｆ（叩）∥“甜棚ｄｕｄｖ

＝￡￡ｍ，ｙ）ｄｘｄｙ；，。艮。２酬吣训ｗｏ邛＂ｄｕｄｖ

＝￡；ｆ（ｘ，ｙ）８（ｘ－ａ，ｙ－ｆ１）ｄｘｄｙ

＝ｆ（口，∥）（２－４－３）

７

将（２４．３）式中的口、∥分别用ｘ和少代替，则傅立叶逆变换可以写成：

似，ｙ）＝￡￡Ｆ（“，ｖ）ｅＪ２ｒ（ｎｘ＋ｖＹ）ｄｕｄｖ

２．ｇ．２（２－４—４）Ｆｏｕｒｉｅｒ切片理论

利用前面介绍的Ｒａｄｏｎ变换计算图像ｆ（ｘ，ｙ）在秒方向上的投影矽（ｐ，０）

另（ｆ）＝ｌｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ

Ｐ＝ｘｃｏｓＯ＋ｙｓｉｎ８，利用狄拉克函数的性质，上式可以写成：

局（ｆ）＝￡￡厂（工，ｙ）８（ｘｃｏｓＯ＋ｙｓｉｎ０一ｔ）ｄｘｄｙ

再对易（ｆ）作关于ｆ的一维傅立叶变换得：（２－４－５）

＆（国）＝ｆ。Ｐｏ（ｔ）ｅ－Ｊ２Ｍｔｄｔ

我们考虑傅立叶变换在’，＝０时的状况，（２．４．１）式可以简化为：（２—４—６）

Ｆ（ｕ，ｏ）：ｆ：ｆ：ｆ（ｘ，ｙ）ｅ－Ｊ２＂”ｄｘｄｙ，ｏ）＝ＩＪ∞・ｐ∞Ｉ，

＝￡［￡ｍ，ｙ）ｄｙ］ｅ－ｊ２撇ｄｘ（２－４－７）

以ｔ为横坐标，与直角坐标系ｘＯｙ同原点，建立直角坐标系（如图２—３所示），当０＝０时，（ｆ，ｓ）坐标系和（ｘ，Ｙ）坐标系是重合的，即ｔ＝ｘ、ｓ＝Ｙ，故（２－４－５）式可以写成：

—Ｏ

易：ｏ（ｚ）２上。／（ｘ，ｙ）ｄｙ

从而可得（２－４—８）

８

Ｆ似，０）＝ＥＰｅ＝ｏ（ｔ）ｅ－Ｊ２＂ｄｔ

的傅立叶变换，（“，Ｄ在’，＝Ｏ处经线上的值，（“，Ｏ），即Ｆ（ｕ，ｏ）＝・‰（缈）。（２－４—９）（２－４．９）式说明厂Ｏ，ｙ）在垂直于ｘ轴方向上一维投影的傅立叶变换等于厂∽Ｊ，）

／／＼‘、协一＼，—＿，ｆ

一．奠而一

／匕

图２—３Ｆｏｕｒｉｅｒ切片定理羚

可以把上面的结论加以推广，设Ｆ（ｒｏ，乡）是，（“，’，）沿秒角方向经线上的值，而且Ｓ。佃）设为易（ｆ）投影的一维傅立叶变换，由（２—４－９）式定义的投影的傅立叶变换和二维傅立叶变换在角度秒所对应的值相等，即Ｆ（ｒｏ，０）＝岛（国）［２８】。这也就是说一个方向投影的傅立叶变换，是二维傅立叶变换的一个切线，且该切面垂直于投影射线并通过频域中一Ｌ，－零点［２９．３１１；反过来，有无限个不同方向的切线叠加在一起，可以构成一个完整的二维傅立叶变换，这也就是傅立叶切片理论【１９】。９

３二维滤波反投影重建算法

滤波反投影算法是目前ＣＴ中普遍使用的一种重建算法。本章首先分别介绍了平行束和扇形束的滤波反投影重建算法，然后介绍扇形束的局部重建算法，为第四章的新的扫描模式的扇形束局部重建的研究打下基础。

３．１平行滤波反投影重建算法

从前面介绍的傅立叶切片理论可以看出，一个方向投影的一维傅立叶变换，是二维傅立叶变换的一个切线；反过来有无限多个不同方向的切线叠加在一起，可以构成一个近似的二维傅立叶变换。再对近似的傅立叶变换求逆变换可以得到横截面影像。这一原理给了断层图像重建的基本方法，实际应用中还存在一些其它的问题要解决。

３．１．１理论推导

滤波反投影算法可以通过对傅立叶变换进行坐标变换后得到．设ｆ（ｘ，Ｙ）是需要重建的图像，它由傅立叶逆变换获得的表达式为：

ｍ，Ｊ，）＝Ｅ￡Ｆ（州）ｅＪ２Ｘ（ｕｘ＋ｖｙ）ｄｕｄｖ

把上式的直角坐标变换为极坐标，令

Ｕ＝缈ＣＯＳ臼（３・１—１）（３－１—２）

（３－Ｉ－３）１，＝ｃｏｓｉｎ秒

则有

ｄｕｄｖ＝ａｌｃｌｃｏｃｌＯ（３－ｉ－４）（３．Ｉ—Ｉ）式可以改写成：

２彻¨瞄¨芦…∞０）ｅＪ：土，（缈，２彻“瞄“州相）（ａｄａ２ｄ０，ｙ）５（３—１－５）

ｌＯ

利用Ｆ（ｒｏ，０＋１８０。）＝Ｆ（－ｃｏ，０）的性质得

，ｙ）５Ｊ：，ｐ）怫ｆ（ｘ，ｙ）：ｆ［ｆ一：Ｆ（ｏＪ，ｐ）怫ｊ２Ｊｒｍｔｄｔｏ］ｄＯ（３－１－６）上式是简单式，令ｔ＝ｘｃｏｓＯ＋ｙｓｉｎＯ，如果利用投影切片定理，用０角度投影的傅立叶变换Ｓｏ（国）代替二维Ｆｏｕｒｉｅｒ变换：

，ｙ）２ｊ－【Ｌ＆（缈）怫口删ｄｔｏ］ｄＯ（３－１－７）

将（３—１－７）式改写成

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｆＱｏ（ｔ）ｄｔ

其中（３－１—８）

Ｑｏ（ｔ）－ｅ＆（缈）彬２删ｄａｏ

＝一＝（３－１－９）一Ｊｚ删ｄｔ（３－１－１０）

Ｑｏ（ｔ）表示一个滤波过程，Ｈ表示理想滤波函数的频率。（３—１—８）就是利用每个角度的滤波投影幺（ｆ）进行反投影。

３．１．２计算机实现

在实际情况中，ｔ的取值是有限值。设㈦＞Ｅ＞０，Ｐｏ（ｔ）＝０。用ｄ表示相邻两平行线之间的距离，用△表示相邻两个方位图之问的夹角（Ａ＝州Ｍ），Ｐ（ｎｄ，ｍＡ）已知，其中一Ｎ≤咒≤Ｎ，０≤ｍ≤Ｍ一１。理想滤波函数缈有上限，设为形，根据采样定理，采样间隔为１／（２Ｗ）。

第一步，用ＦＦＴ（快速傅立叶变换）计算Ｐ（ｎｄ，ｍＡ）的傅立叶变换

跗万Ｗ舢州蝥Ｎ（ｎｄ，ｍＡ矿２删２Ⅳ）

第二步，乘以理想滤波函数和进行傅立叶逆变换（３－１－１１）

∽掰妒号言跗矿Ｗ帕卜伽∥一，…，Ⅳ㈨４埘上式说明Ｇ（ｆ）在投影函数离散点的值，可以通过计算ｓ（后州Ⅳ，ｍ△）陋叫卅的离散傅立叶逆变换得到。然而，川是理想的滤波函数，根据佩利－维纳准则［３２】，这一理想滤波器是不可实现的。但是如果结合具体的成像过程，则不但能够实现，而且能够达到足够的精度。为此，需要对理想滤波函数Ｈ进行窗处理。

常见的滤波函数的窗函数有ｆ３３－３４１，其中Ｂ＝西１：

①Ｒａｍ－Ｌａｋ滤波函数的窗函数一Ｗｌ（缈）：

ｄ

掣＝￥Ｊ搿

（窑）Ｓｈｅｐｐ．Ｌｏｇａｎ滤波函数的窗函数－－ｓｉｎｃ函数：

ｓ；ｎｃｃ詈，＝等

③Ｈａｍｍｉｎｇ滤波函数的窗函数一Ｊ｝ｌ（缈）：

ｈ（ｃｏ）＝州ｈ）ｃｏｓ（警）其中口－ｏ．５４

相应的滤波函数只要用理想滤波函数俐乘窗函数即可。在本文中，窗函数用Ｈ（ｃｏ）表示，则将（３．１—１２）式改为：

Ｑ（ｎ＇ｄ，ｍＡ）＝熹言跗矿Ｗ△蝴础矽Ｗ蒯伽（３－１－１３）第三步计算ｆ（ｘ，Ｙ）

Ｊｌｌ，一ｌ

ｆ（ｘ，ｙ）＝△∑Ｑ（ｘ・ｃｏｓ（ｍＡ）＋ｙ・ｓｉｎ（ｍＡ），ｍＡ）

ｍ＝Ｏ（３—１－１４）

１２

ｊＥ立窑煎厶堂蚯±堂位监塞三缍逮蘧厦控墅重建簋莹

上式中Ｊｃｏｓ（胍△）＋Ｙｓｉｎ（ｍＡ）７Ｆ定和ｔ完全相等，可以用线性插值的方法，利用口（ｎ＇ｄ，ｍＡ）近似Ｑ（ｘｃｏｓ（ｍＡ）＋Ｙｓｉｎ（ｍ△），埘△）。

在本章节中，对Ｓｈｅｐｐ—ｌｏｇａｎ（５１２ｘ５１２）进行全局重建，ＦＢＰ的滤波函数选月ｊ了Ｒａｍ－Ｌａｋ滤波函数、Ｓｈｅｐｐ－Ｌｏｇａｎ滤波函数和Ｈａｍｍｉｎｇ滤波函数。

结果如Ｆ：

（ｃ）Ｓｈｅｐｐ一『ｏｇａｒｔ滤波函数重建图像（ｄ）Ｈａｍｍｉｎｇ滤波荫数重建图像

图３一ｌ平行柬滤波反投影重建

由圈３－ｌ（ｂ）、图３－１（ｃ）和图３－１（ｄ）可以看出，与原始模ｌｏ相比，采用三种滤波函数均获得了很好的重建质量，崩肉眼无法区分。下一章节中将引用评价函数对这二种滤波函数的重建精度作进一步客观的评价。

３．２扇形束投影重建算法

上一节介绍的平行束滤波反投影重建要求Ｘ射线是平行束，但是在实际情况中，由于探测器和焦距的距离很小，很难的到平行光，只能获得扇形束投影。在这一节中，将介绍扇形束的滤波反投影重建。扇形束扫描方式采集数据时，射线源和接受器同步绕着受检物体旋转。Ｘ－射线源对应一排足够多检测器，使所有检测器和射线源所对应的角包含整个待重建区域。根据探测器类型的不同，扇形束投影算法分为等距（线阵探测器）（如图３－２（ａ）），等角（弧形探测器）（如图３－２（ｂ））两种。

ｌ

ｊ。紧西过＿７

＼潞曩

（ａ）等距扇形束扫描模式

沁一，一＼

（ｂ）等角扇形束扫描模式

图３—２扇形束扫描模式一

１４

３．２．１

蝴淼一…娥瓤探测器等距椭懒

叠嚣耋雷徽嚣爱蒹蓬揣？

投影？瓣篱二０芝雾麓…蛐～黼

蕊汝

．／々

Ｊ

＼

探测器等距离排列扇形束投影重建算法

竺竺道，∥表示旋转的角度。探测器≤；忑乏芜嚣ｉ蕃笺篓置二萎竺粤竺体运动

拿！－个投影吩＠，）与ｑ皿上的投影值足。三ｊ磊萎：Ｊ｛掌竺？≮。，鼍此在研呸上

：’与射线船与研ｑ的交点彳的坐标，二二菇≥７：？习兰竺÷鬯交点亏的坐标

＼

１５

图３—４∥、，和秒、ｆ的关系

∥、，和秒、ｔ的关系可用以下公式表示：

ｆ＝，ＣＯＳｙ＝Ｘ！而雨Ｄ矛

秒＝∥＋７＝∥＋删觚五ＸＩ（３－２－１）

根据平行束的滤波反投影公式［２３】有

厂（，．，≯）＝ｒＥ另（ｆ）＾（，．ｃｏｓ（乡一矽）一ｔ）ｄｔｄＯ

（３－２—２）

由于ｒＥＢ（ｆ）ＪＩｌ（，ｃｏｓ（ｐ一≯）一ｆ）ｄｔｄＯ＝ｆ”￡易（ｆ）＾（，ｃｏｓ（乡一≯）一ｆ）ｄｔｄ８，故有ｍ，≯）＝互１ｆ。Ｅ删ＪＩｌ（，ｃｏｓ（９一矽）一ｆ）ｄｔｄＯ

（３－２－３）

利用（３．２．１），把秒、ｆ变换为关于∥、ｘ’的式子，先计算捌ｐ＝ＩＪＩｄＺＵｘ＇。

怍Ｉ

Ｉ淼别ａｄａ筇，８Ｉ计算得

（Ｄ２＋，２）恐

西／苏，：—Ｄ（—Ｄ—２＋—Ｘ—＇２）—－－矿Ｄ—ｘ＇２

：—旦可；ａＵａｐ：ｏ一（Ｄ２＋∥２）％’

＿ｕ

玳’２币１怍Ｉ丽Ｄ３

；郴＿ｌ

（３－２－４）

．

将（３．２．１）代入（３—２－３），整理得：

ｍ脚＝三Ｐ仨‰ｃ考每，

番志

№

邯

（３－２－５）

考虑到积分函数对自变量∥是以２万为周期的函数，则上式积分可以改为：

竹聊＝互１

ｆ仨‰（番）

ｍ州∥＋删ａｎｃ争沪面Ｄ甭ｘ＇，瓦匆出’妒

（３－２—６）

现在再来研究函数ｈ，设Ｍ（ｒ，≯）为待重建区域中的任意一点，射线ＳＭ与ｚ７轴的交点坐标为石

令７＝删ａｎ（丢），湖厂２历鼋矛’

、／Ｄ‘＋ｘ～

Ｄ

．

龇ｎ７

２历鼋矛

，

，．ｃｏｓ（∥＋ａｒｃｔａｎ（－丢）一矽）一了荔告

＝ｒｃｏｓ（ｐ４－ｙ一矽）－－Ｘ’ｃｏｓ７＝ｒｃｏｓ（（ｆｌ一≯）＋ｙ）一Ｘ＇ＣＯＳｙ

＝ｒｃｏｓ（ｐ一≯）ｃｏｓｙ—ｒｓｉｎ（ｆｌ一矽）ｓｉｎ７一ｘ’ｃｏｓｙ

＝（厂ｃｏｓ（ｐ一矽）一ｘ’）ｃｏｓｙ—ｒｓｉｎ（ｆｌ一≯）ｓｉｎ厂（３—２—７）

（３－２—７）式可以改写成

（爿√）ｃ唧＋，ｓｉｎ（∥卅吾ｃ。ｓ７一心ｎ（∥一加ｉｎ厂（３－２－８）

把ＣＯＳ

ｙ＝了翥子和ｓｉｎ７－了荔丢ｉ矛分别代入式（３・２・８）得到

１７

（工：一工’）南＋‘ｒ、／ｓ。ｉｎ。（ｆｌ＋－ｘ，矽。）（ｘ：一ｘ’）

—．．（．．ｘ．．．．；．．．－．．．．．ｘ．．．＇．．）．．（．．Ｄ．．．．．．＋．．．．．ｒ．．．ｓ．．．ｉ．．ｎ．．．（．．ｆ１．．．．．．－．．．．矽．．．．）—）—

一矗瓦了

（３－２—９）

令ｕ＝Ｄ＋，ｓｉｎ（ｆｌ一扔，三＝以丽，则（３—２—９）可简写为兰（《一曲。

所以（３—２－６）可以改写为

现在我们具体研究一Ｔｈ（Ｕ（ｘ；一工’））。前面已知办（ｆ）是频率函数Ｈ的傅立叶逆

变换。ＪＩｌ（ｆ）＝ｅＨＰ／２删ｄ国于是可以得到

办（一Ｕ＝肼Ｐ胁‰

Ａ拿ＣＯ＇

（３－２—１１）

ＵＬ・缈，可以把（３－２－１１）改写为

＾ｃｉＵ俨啪十２耐口弘＝等肼∥耐‰７＝等坳，

这样（３—２—１０）可以写为

删）２互１膀１仨即√坝扣’）赤蝴（３－２－１２）

３．２．２计算机实现

本文将采用数据重排法进行计算机实现。扇形束投影数据重排法就是把扇形束投影数据进行重排，使其接近平行束投影．数据重排法不限制投影的角度和数据

采集的角度。因此它非常实用于射线源与探测器之间距离较短的情况。

本文采用插值逼近的方法，根据扇形束的扫描数据进行内插估计，近似得出

平行束扫描的投影数据集。再应用平行束扫描数据的重建方法实现图像重建。

假设，只在等间隔的ｙ（０≤ｙ≤Ｖ一１）处不同的∥角度获取投影数据，每个相邻的∥角问的变化量为１１，并且有

ＶＩ－＂＝２万

对于每个投影，仅在长度变化量为ｒ／的２Ｕ＋１个等间隔长度进行采样。并有

聊≥Ｘ一

又因为密度函数厂在每一条射线上的线积分尺已知，即Ｒ在点（∥刁，订），

一Ｕ≤／２≤Ｕ，０≤ｙ≤Ｖ—ｌ上的值已知，根据公式（３—２—１）知

尸（∥刁丽Ｄ

，订＋ａｒｃｔａｎ（鲁））＝Ｒ（肌哪

Ｐ（∥刁了手丽Ｄ

线性插值为例）：

，订＋ａｒｃｔａｎ（－警）），通过给定的插值方法，估计得出平行束扫描

方式中的数据Ｐ（ｎｄ，ｍＡ），ｄ平行束射线间距。具体操作过程分为以下两个部分（以

①假设∥固定不变，一【，≤∥妣根据舷靠，订＋ａｒｃｔａｎ铮）的值，对第二变量进行线性插值估计础赢，删，０鲕州－ｌ

１９

令∥＝

，

Ｏ≤ｙ’≤矿一１

ｒ

则ｙｒ＋ａｒｃｔａｎ（詈）≤肌△≤（山１）ｒ＋删ａＩｌ（詈）成立

则有

础宫籍，删

≈——————————————————。————————一

ｒ

．．叭１）ｒ＋舭蟹）＿砸

＋竺竿塑鼬刁南∥…＠

此时得到近似的不等间隔平行束射线扫描的投影数据。

、／∥＋∽功２

计Ｐ（ｎｄ，ｍＡ），其中－Ｎ＜＿ｎ＜Ｎ

降２舶，

②假设ｍ固定不变，０≤ｍ≤Ｍ—ｌ，对舷印亏等，删进行线性插值，估

钳＝Ｌ【－刁扫ｎ：ｄ—Ｄ丽ｊ，－Ｕ％ｕ＜Ｕ

贝ｏ∥７刁了｛乒丽Ｄ

则有

≤刀ｄ≤（∥７＋・）刁了｛乒南

Ｐ（ｎｄ，ｍＡ）≈

只∥＋１）刁万丽Ｄ

刀ｄ一∥刁了芝丽Ｄ

，删

＋

删咿丽Ｄ

，删（３－２－１４）

这就是用于重建的近似的等间距平行束射线扫描的投影数据。

３．２．３局部重建及误差分析

上一小节介绍的重建算法是传统意义上的ＣＴ重建算法（ｇｌｏｂａｌＣＴ），它是一

种全局的算法，它应用于整个物体的二维的断层重建。也就是说要得到断层中某一点的数据，需要采集该断层所有的点的投影值，需要花费很多时间和资源，在医学里，ｘ射线还会对人的身体产生副作用，不利于身体的健康。在现实的情况中，我们往往只对一部分区域感兴趣（ＲｅｇｉｏｎｏｆＩｎｔｅｒｅｓｔ，ＲＯＩ），为了减少ｘ射线对人体产生的副作用，节约资源和提高计算的速度，迫切需要发展局部重建算法。因此在最近十几年的时间里一些针对感兴趣区域（ＲＩＯ）的局部重建算法得到了飞速发展，这些局部算法仅需要围绕感兴趣极其邻域采集投影数据，即可重建出该区的图像。

具体地说，对任一感兴趣的局部圆形区域Ｄ’ＣＹ．Ｄ，其半径为Ｒ’，设Ｄ７的圆心为Ｄ，，圆心区域Ｂ（Ｏ’，Ｒ’＋ｆ）是Ｄ’的同心圆，利用区域Ｂ（０７，Ｒ’＋ｆ）的投影数据重建区域Ｄ７内的任一点的值。

图３—５局部重建数据区域

在本章节中，在采用滤波反投影（ＦＢＰ）基础上，将采用范惠荣、徐茂林、邱

钧等研究的一种新型滤波函数【１】，用于局部重建。

局部重建将用到的滤波函数是：

形

筹

Ａ＝与，

口

式中，厶是归一化常数，Ｒ为感兴趣区域内的一个点到中心的距离，ｄ为平行束的距离。

在全局重建中，为了让新型滤波函数与其它滤波函数相比较，在这里引进常用的评价函数【３６】．

（１）归一化均方根距离测量值Ｄ，它强调少量大误差，少数点大的偏差使得Ｄ较大；

叫一＃

Ｒ＝黜

Ｅ＝ｍａｘｑ／Ｏ＜Ｊ

Ｖ

．

（２）归一化平均绝对距离测量值Ｒ，它强调大量小误差：

（３）最坏情况距离测量值Ｅ，表示原图像和重建结果之间的最大密度偏差：

，

其中：

乃＝（六ｆ。２／＋正川，２．，＋五ｉ，２』＋ｌ＋五Ｍ，２卜Ｉ）／／４，

ＲＵ＝（五啦．，＋五Ｍ２＿，＋五『，２ｐＩ＋五，＋Ｉ，２川）／４

‘和乃分别表示原图像和重建图像的第ｆ行和／列像素的密度，夕表示原图像

ｊ￡立童适盘生亟±芏ｉ童监塞

三缝逮泣厦地壁重韭显壁

的平均密度

３

２４数值模拟

首先用上一节提到的新型滤波函数对Ｓｈｅｐｐ－ｌｏｇａｎ（５１２ｘ５１２）进行全局重建

图３－６为基于新型滤波函数的滤波反投影重建图像，其中＆－２。

图３—６基于新型滤波函数的ＦＢＰ全局重建

、＼评价函数

Ｒａｍ—ＬａｋＳｈｃｐｐ・ＬｏｇａｎＨａｍｍｉｎｇ

窗函薮、、＼

酽（ｍ

ＤＲＥ

０１３２１０１２９６０１３１７０１２７７

０１８６１０１７５３０１７０１０１６７６

３７３７９３６０８８３６１２４３５６７Ｉ

表３—１常用滤波函数与新型函数的误差比较

从表格中－Ⅱ吼很直观地得出结论：在三个误差训算值中，新型滤波函数的值比

三个常用的滤被函数的值都小，晚明了新型滤波函数整体评价较好。

韭立窑逼盍堂匝±芏芷监鸾

二丝进进匠控堂童建显基

接下来利用新型滤波函数的特性对Ｓｈｅｐｐ—ｌｏｇａｎ（５１２ｘ５１２）进行滤波反投影局部重建，重建的区域为以图像中心为圆心，半径为１００的圆形区域，在重建数

据的采集中，ｆ－５，叩取与待重建的物体同圆心，半径为１０５的圆形区域的投影数据。重建结果如下：

（ａ）待重建的局部｜墨｜像

图３

（ｂ）重建后的局部图像

７基于新型滤波函数的局部重建

罔３８数据对比图（实线模型数据，虚线～重建模型数据）

在图３－８中，通过抽墩罔３—７（ａ）中虚线似置的数据，将其重建结果与模型进行比较，其中实曲线是模型数据，虚ｍ线是重建模型数据，可以直删地看出基于新型函数的滤波反投影算法住局部重建中效果较好。

４一种针对感兴趣区域的ＣＴ重建

通常在工业ＣＴ扫描中，射线源和探测器围绕被探测物体作圆周运动，也可以理解成射线源和探测器固定不动，被探测物体围绕圆心作圆周运动。当感兴趣区域离旋转中心很远时，可能会出现感兴趣区域在探测区域之外。当然可以通过加大探测器的长度，或者移动被探测物体，使其靠近旋转中心，由于加工的限制，探测器的长度总是有一定限值的，如果是第二种方法，当感兴趣区域在旋转的边缘时，旋转半径就大大加长。本章首先介绍由张慧滔、陈明、张朋研究的一种针对感兴趣区域的ＣＴ扫描模式，其次在新的ＣＴ扫描模式下，结合平行束滤波反投影重建算法（ＦＢＰ），推导出新扫描模式下的重建公式，构造出新的扫描模式下的滤波反投影重建算法，最后通过数值试验证明新扫描模式的可行性。

４．１扫描模式

通常工业ＣＴ的旋转台都有沿探测器平移的功能，针对这种特性，张慧滔、陈明、张朋研制出了一种针对感兴趣区域旋转台边旋转边平移的扫描模式。（如图４．１所示）

・．５｝

ｊ

，，，７；ｙ・

，，■Ｖ，，，，一‘。。ｊ。’‘。７巳、、、／；／９／７、’／

’’－、上？｜Ｉ、’卜。Ｃ＼？ｌ！／＼

、

Ｌｖ

，

，

－，。＼、¨、’、Ｌ’—、，ｉ：；｛：醪ＩｌＩ’、、、

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，’●’Ｊ！’、一’－’１、亡＝＝：＝＝＞Ｉ．，：‘●、．Ｉ●’．、，：●－－、＾．．．，～ｒ－‘一，Ｉ／Ｊ，’，，７‘．．，’’，卜

图４—１扫描模式示意图

在图４．１中，坐标系｛ｘ’，Ｙ’＇以Ｄ’为坐标原点，该坐标系是固定的，ｏ代表被测物体旋转中心，该点可在ｘ’轴上来回移动，以Ｄ为圆心建立一个运动的坐标系｛ｘ，），），∥表示探测物体旋转的角度（０≤∥≤２刀）。设射线源Ｓ在Ｙ’正半轴上，Ｓ到ｘ’的距离为Ｄ，ＡＢ为线阵列探测器，ｔＬＢ与Ｙ’垂直，并且ＡＢ的中点Ｄ”在Ｙ’负半轴上，Ｄ，，表示Ｓ到ＡＢ的距离，２Ｈ表示ＡＢ的长度。，点表示感兴趣区域的中

心，为了确保感兴趣区域始终在探测的区域内，每次移动旋转中心，都使，在Ｙ’轴上。风表示优的距离，则００’的距离可用ｄ＝Ｖ，ｏｃｏｓｌ罗表示。Ｍ为感兴趣区域内的任意一点。

线阵列探测器ＡＢ上得到的扫描数据我们用Ｒ（ｆｌ，Ｕ’）表示，其中∥如前定义，Ｕ’表示在ＡＢ上的位置，“’的取值范围为Ｈ≤Ｕ’≤Ｈ。接下来的工作就是通过感兴趣区域的扫描数据Ｒ（ｆｌ，Ｕ’）重建出该区域的密度函数ｆ（ｘ，ｙ）。

４．２ＣＴ转台边旋转边平移的扇形束ＦＢＰ公式

在推导重建公式Ｚ再Ｕ，找１ＩＪ先设Ｘ’硼上碉一个与ＡＢ半仃阴厦拟髁删器，ＡＢ上的任意一点Ｑ点，在ＡＢ的坐标为甜’，连接ｓｏ．，都与Ｘ’轴有一交点，“’和Ｘ’的有如下关系：一＝∥若。令ｋ（ｆｌ，∥）＝Ｒ（ｆｌ，，），其ｖｅｋ（ｆｌ，∥）是己知的，根据“’和∥的关系，我们可以推出Ｓ（ｆｌ，ＸＩ）。接下来我们要根据Ｒ（ｆｌ，Ｘ’）重建图像密度函数ｆ（ｘ，ｙ）。

已知平行束滤波反投影重建公式：

厂（ｘ，Ｊ，）＝ｊｒＥＢ（ｆ）＾（，．ｃｏｓ（秒一矽）一ｆ）ｄｔｄＯ

＝１２ｆ”丘删＾（ｘＣｏｓ秒＋ｙｓｉＩｌ¨）ｄｔｄＯ

将密度函数的直角坐标系转化为极坐标系：

厂（，－，矽）＝互１ｆ４￡ｔｍＢ（ｆ）五（厂ｃ。ｓ（伊一≯）一ｆ）ｄｔｄＯ

在新的扫描模式中

Ｒ（∥√）＝Ｊｉｉ（∥∥），令Ｉ。协Ｉ＝日，因为，＝“７若，日≤”’≤日，所以Ｍ≤百ＤＨ且仁（Ｒｃｏｓ∥¨’’意导，秒＝∥＋ａｒｃｔａｎ丢令７＝ａｒｃｔａｎｘ丢

则有

ｄｔｄ８＝ＩＪＩｄｐｄｘ’

川＝型≤等尹趔（Ｄ２＋一２）７２

则公式可以改写为：

竹脚＝五１。ｒ睡ＤＨ删民ｃｏＳｆｌ＋ｘ＇）南）ｈ（ｒｅｏｓ（ｆｌ＋Ｚ－扔

‘Ｄ。、Ｘ郴删Ｍ南，型考铲捌口ｔＵ

观察函数＾（，．ｃｏｓ（∥＋７一力一（Ｒｏｃｏｓ∥＋ｘ’’了等），设感兴趣区内任意待重

建点Ｍ７（，．，矽）的投影值为Ｒ（∥，薪），令ｃｏｓ７＝了声Ｄｉ萨

ｒｃｏｓ（ｆｌ＋７一矽）一（Ｒｃｏｓｐ＋ｘ７）ｃｏｓｙ

＝ｒｅｏｓ（ｐ一矽）ｃｏｓｙ—ｒｓｉｎ（ｆｌ一≯）ｓｉｎ７一（Ｒ０ｃｏｓｆｌ＋ｘ’）ｃｏｓｙ

＝［ｒｃｏｓ（ｐ一矽）一（Ｒｃｏｓｆｌ＋ｘ＇）］ｃｏｓｙ—ｒｓｉｎ（ｆｌ一矽）ｓｉｎｙ

根据（∥，ｉ）与（∥，ｘ’）的几何关系得出：＝（Ｘ：－－Ｘｐ’办导…ｉｎ（∥一矽）－吾ｃｏｓｙ－ｒｓｉｎ（ｆｌ删ｓｉｎ／

＝（Ｘ１：－－Ｘｔ）南…ｉｎ（纠）（砉专）刊√）券

等（《棚令ｕ：Ｄ＋，．ｓｉＩｌ（∥一矽），￡：以孑了了则上式可以简化为

则在新的扫描模式下，重建公式可以写为：加脚＝五１膀蓐删Ⅲ巾卵型考铲枷数值试验与分析４．３

根据前面介绍的扇形束ＦＢＰ重建公式，在本章介绍的扫描模式中，重建过程可以表示为：

（１）计算Ｐ（（Ｒｃ。ｓ∥＋ｚ’’了ｉ等，∥＋ａｒｃｔａｎ吾）；

（２）利用线性插值方法估算出平行束投影数据尸（ｎｄ，ｍＡ）；

（３）用滤波反投影进行图像重建。

重建对象为Ｓｈｅｐｐ．１０９ａｎ（５１２×５１２），根据ＭＡＴＬＡＢ特点建立如图４－３（ａ）的坐标系，感兴趣的区域（图４．３（ｂ））为圆点在（１５６，２５６）（单位：像素），半径Ｒ＝１００像素的圆形区域，射线源Ｓ到Ｄ７的距离为３８０像素，射线源到探测器的距离为７１６像素，探测器的ＡＢ的长度为６００像素，扫描区域可以覆盖感兴趣区域，但是对整个图像，扫描区域不可全部覆盖，这个时候我们运用新的扫描方式对感兴趣区域进行扫描，然后重建。

韭立奎坦厶堂亟±堂位盈窑二挫皇七丑盛送鲤匡撼曲￡！童丝

；蘧’

●●

（ｂ）感兴趣区域（ｃ）重建图像

图４—２在新的扫描模式下扫描￥ｈｅｐｐ—ｌｏｇａｎ（５１２×５１２）

由崮４－２（ｂ）｛ｎＮ４－２（ｃ１可以直舢地看山，在新的扫拙方式下的扇形束滤波反投影重建算法得Ｈ的重建图像效果较好，为了更好的Ｉ兑明扇形束滤波反投影算法在新的扫描方式下局部重建有效性，取图４－２（ｂ）虚线部分的模型数据与相应的重建后的数掘作比较：

图４—３抽取图４—２（ｂ）中虚线位置的数据，将其重建结果与模型进行比较，

实曲线是模型数据，虚曲线是重建模型数据

从图４．３的比较图可以直观地看出，二者数据相近，说明了扇形束滤波反投影重建在新的扫描模式下的有效性。在图４．３中可以看到重建后的图像的数据比原始数据要大，即重建后的图像亮度比原始图像的亮度大，主要是因为在数据重排时产生了误差。

基于新的扫描模式的重建算法的主要部分是滤波反投影算法部分，其计算复杂度为Ｏ（ｎ３）［３７］。表４．１给出了基于新的扫描模式下的滤波反投影局部重建算法的主要部分的时间分配，从表中可以看出加权反投影占算法的主要部分，若要提高算法的运算速度关键在于提高加权反投影的运算速度。这为算法的优化提供了数据依据。

数据重排ＦＦＴ滤波过程加权

ＩＦＦＴ

反投影总时间

运行时

０．４１１８Ｏ．１７７６０．０６５Ｏ．１０６０１８．９１４０２０．５３８８０３

间（ｓ）

占总时

间百分

比（％）表４—１算法主要部分时间分配表２．００５０．８５９８０．３１６５Ｏ．５６９２１００

参考文献

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ＣＴ．ＳＩＡＭＪｏｕｒｎａｌｏｎｅｘａｃｔｆｉｌｔｅｒｅｄｂａｃｋｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ－ｔｙｐｅ

ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｉｎｖｅｒｓｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒＳｐｉｒａｌＡｐｐｌｉｅｄＭｅｔｈｅｍａｔｉｃｓ．２００２．ｖ０１．６２．ｐｐ．２０１２．２０２６Ｏｌｌ【ｌ０】ＹＺｏｕａｎｄＸ．Ｐａｎ．ＥｘａｃｔｉｍａｇｅＰＩ・ｌｉｎｅｓｆｒｏｍｍｉｎｉｍｕｍｄａｔａｉｎｈｅｌｉｃａｌ

ｃｏｎｅ－ｂｅａｍＣＴ．Ｐｈｙｓ．Ｍｅｄ．Ｂｉ０１．２００４．ｖ０１．４９．１ａｐ．９４１—９５９

【ｌｌ】ＹＺｏｕ，Ｘ．Ｐａｎ．ＩｍａｇｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｎＰＩ・ｌｉｎｅｓｂｙｌｌｓｅｏｆｆｉｌｔｅｒｅｄｂａｃｋｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎｉｎｈｅｌｉｃａｌｃｏｎｅ－ｂｅａｍＣＴ．Ｐｈｙｓ．ＭｅｄＢｉ０１．２００４．ｖ０１．４９．ｐｐ．２７１７—２７３１

【ｌ２】Ｘ．Ｐａｎ，ＹＺｏｕ，Ｄ．Ｘｉａ．Ｉｍａｇｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｉｎｐｅｒｉｐｈｅｒａｌａｎｄｃｅｎｔｒａｌｒｅｇｉｏｎ－ｏｆ－ｉｎｔｅｒｅｓｔａｎｄｄａｔａｒｅｄｕｎｄａｎｃｙ．Ｍｅｄ．Ｐｈｙｓ。２００５．ｖ０１．３２．ＰＰ．７６３・６８４

【ｌ３】Ｙ．Ｚｏｕ，Ｘ．Ｐａｎ，Ｅ．ＹＳｉｄｋｙ．Ｉｍａｇｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ

ｐｒｏｊｅｃｔ－ｔｉｏｎｓｉｎａｉｎｒｅｇｉｏｎｓ—ｏｆ－ｉｎｔｅｒｅｓｔｆｒｏｍｔｒｕｎｃａｔｅｄｒｅｄｕｃｅｄｆａｎ－ｂｅａｍＳＣａｎ．Ｐｈｙｓ．Ｍｅｄ．Ｂｉ０１．２００５．ｖ０１．５０．ＰＰ．１３．２７

０１１［１４】ＹＺｏｕ，Ｘ．Ｐａｎ，Ｅ．Ｙ

ｗｉｔｈｉｎｒｅｇｉｏｎｓｏｆＳｉｄｋｙ．Ｔｈｅｏｒｙａｎｄａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｉｍａｇｅｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｃｈｏｒｄｓａｎｄｉｎｔｅｒｅｓｔ．Ｊ．Ｏｐｔ．Ｓｏｃ．Ａｍ．Ａ．２００５．ｖ０１．２２．ＰＰ．２３７２．２３８４

【ｌ５】ＹＺｏｕ，Ｅ．ＹＳｉｄｋｙ，Ｘ．Ｐａｎ．Ｐａｒｔｉａｌｖｏｌｕｍｅａｎｄａｌｉａｓｉｎｇａｒｔｅｆａｃｔｓｉｎｈｅｌｉｃａｌｃｏｎｅ－ｂｅａｍＣＴ．Ｐｈｙｓ．Ｍｅｄ．Ｂｉ０１．２００４．ｖ０１．４９．ＰＰ．２３６５－２３７５

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作者简历

杨艳芳（１９８５．），女（壮）。广西人，２００７年在北京交通大学理学院读硕士研究生，主要从事图像处理与图像重建方面的研究。

基于一种新的扫描方式的滤波反投影算法

作者：

学位授予单位：杨艳芳北京交通大学

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下载时间：2010年11月5日