数学分析 含参量积分
第十九章 含参量积分
教学目的：1. 掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2. 掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；
教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时
§ 1含参量正常积分
一. 含参积分: 以实例
和
引入.
定义含参积分
和
.
含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分.
1. 含参积分的连续性:
Th19.5 若函数
在
Th19.8 若函数
和
在
在矩形域
上连续 , 则函数
上连续 . ( 证 ) P172
在矩形域
上连续, 函数
在
上连续.
上连续 , 则函数
( 证 ) P173
2. 含参积分的可微性及其应用:
Th 19.10 若函数
连续, 则函数
及其偏导数
在
都在矩形域
上
上可导 , 且
.
( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174
Th 19.11 设函数
连续, 函数
参积分
和
及其偏导数
定义在
在
都在矩形域
上
, 值域在
上可微 , 且
上 , 且可微 , 则含
. ( 证 )P174
例1 计算积分
. P176.
例2 设函数
时 , 函数
在点
的某邻域内连续 . 验证当
充分小
的
阶导数存在 , 且
. P177.
§ 2 含参反常积分
一. 含参无穷积分:
1. 含参无穷积分: 函数
(
定义在
上 为例介绍含参
可以是无穷区间 ) . 以
.
无穷积分表示的函数
2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义
:
使
.
,
,
引出一致收敛问题 .
定义 (一致收敛性 ) 设函数
, 使
分
在
( 关于 ) 一致收敛.
定义在
对
上 . 若对
成立, 则称含参无穷积
Th 19.5 ( Cauchy 收敛准则 ) 积分
收敛,
在
上一致
对
成立 .
例1 证明含参量非正常积分
其中
. 但在区间
在
上一致收敛 ,
内非一致收敛 . P180
3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
Th 19.6 积分
,
在
, 函数项级数
一致收敛. ( 证略 )
二. 含参无穷积分一致收敛判别法: 1. Weierstrass M 判别法: 设有函数
有
一致收敛.
. 若积分
, 使在
在
上
上一致收敛,
对任一数列
在
上
, 则积分
例2 证明含参无穷积分
P182
在
内一致收敛.
2. Dirichlet 判别法和Abel 判别法: P182
三. 含参无穷积分的解析性质: 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.
1. 连续性: 积分号下取极限定理.
Th 19.7 设函数
在
在
上连续 . 若积分
在
上一致收敛, 则函数
上连续. ( 化
为级数进行证明或直接证明 )
推论 在Th.7的条件下 , 对
, 有
2. 可微性: 积分号下求导定理.
Th 19.8 设函数
和
在
在
上连续. 若积分
在
上收敛, 积分
一致收敛.
则函数
在
上可微, 且
.
3. 可积性: 积分换序定理.
Th 19.9 设函数
在
上连续. 若积分
在
上一致收敛, 则函数
在
上可积 , 有
.
例3 计算积分
P186
且