高一(上)期末复习
例1、若函数f(x)=ax-1 (a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a=________. 解析 当a>1时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1].因定义域和值域一致,故a2-1=2,即a3.
当0
xax
例2、函数y=|x
|(0
xaxx
答案 D 函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且y={a,x
|x|
-ax,x0时,函数是一个指数函数,因为
0
例3、设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,求a的值.
解 令t=ax (a>0且a≠1),则原函数化为y=(t+1)2-2 (t>0).
1111
a,,此时f(t)在a,上为增函数.所以f(t)max=f=+12-2=14. ①当0
1=16,所以a=-或a又因为a>0,所以a=. 所以a533
11
a,此时f(t)在,a上是增函数.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, ②当a>1时,x∈[-1,1],t=ax∈aa1
解得a=3(a=-5舍去).综上得a=或3.
3
323a
例4、关于x的方程有负数根,则实数a的取值范围为__________.
25a
3x2+3a23
解析 由题意,得x
x
ax5(x6)
例5、已知函数f(x)在R上是单调递增函数,则实数a的取值范围为________. a
4x4(x6)2
4-a解析 由题意知,实数a应满足2
4-a×6+4≤a2
a>1
6-5
a>1
,即a
a≥7
例6、若直线y=2a与函数y=|ax-1| (a>0且a≠1)的图象有两个交点,求a的取值范围.
1
①当a>1时,画出函数y=|ax-1|的草图:若y=2a与y=|ax-1|的图象有两个交点,则有0
21
②当0
2
10. 综上所述,a的取值范围是2
例7、 函数f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是__________. a-1,26解析 设g(x)=3x-ax+5,由已知解得-8≤a≤-6. g-1≥0,
对数运算法则: ①loga(M.N)logaMlogaN;②loga
M
logaMlogaN;③logaMnnlogaM N
nlogaN1n
对数的换底公式:logbN= logab=; logamMlogaM
logablogbam
对数的性质:a
logaN
N;loga10;logaa1
b
对数式与指数式关系:指数式aN与对数式blogaN是同一数量关系的两种不同用表示
例8、已知x,y为正实数,则( )
A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy B.2lg(x+y)=2lgx ∙ 2lgy C.2lgx ∙ lgy=2lgx+2lgy D.2lg(xy)=2lgx ∙ 2lgy
11
例9、 ①设2a=5b=m,且a+b2,则m等于 ( )
10 B.10 C.20 D.100
1111
解析 ∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,∴+==logm2+logm5=logm10=2.∴m=10.
ablog2mlog5m
②已知loga2=m,loga3=n,则a2mn=______________;loga36=______________
+
∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3,∴a2mn=(am)2·an=22×3=12; loga36=loga4+loga9=2(loga2+loga3)=2(m
+
+n).
3
③已知f(x)=asin x+bx+4 (a,b∈R),且f[lg(log210)]=5,则f[lg(lg 2)]=________. lg(log210)=-lg(lg 2),f[lg(lg 2)]=4-5+4=3.
例10
① (2012·重庆)已知a=log23+log3,b=log29-log23,c=log32,则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a=bc C.ab>c
解析 答案 B∵a=log23+log3=log233,b=log29-log23=log23,∴a=b. 又∵函数y=logax(a>1)为增函数,∴a=log23>log22=1,c=log32c.
11.2
②(2012·天津)已知a=2,b=
2
0.8
0.8
,c=2log52,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c
1
解析 答案 A b=
2
=20.8
1-
③已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,设a=f(log47),b=f(log3),c=f(0.20.6),
2则a,b,c的大小关系是 ( )
A.c
1311-
解析 答案 B log3=-log23=-log49,b=f(log3)=f(-log49)=f(log49),log47
5
125>=2>log49,又f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,故f(x)在[0,+∞)上是
-0.6
单调递减的,∴f(0.2
1
)
2
例11、①已知函数f(x)=|lg x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是( ) A.(22,+∞) B.[2,+∞ C.(3,+∞) D.[3,+∞ 解析 由已知条件0
22
此a+2b=a+,由对勾函数知y=x+(0,1)单调递减,得a+2b>3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).
ax
|lg x|,0
②已知函数f(x)=1若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是_____________.
+6,x>10,2解析 画出函数f(x)的图象,再画出直线y=d(0
0
探究提高 通过图形可以发现a,b,c所在的区间,再把绝对值符号去掉,就能发现ab=1,这样利用数形结合就可把问题化难为易了.
例12、函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为( )
B. C.1 D.2 33
1解析 令f(x)=0,解得x=1;令f(x)=1,解得x3.因为函数f(x)在(0,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.故
3
12
b-a的最小值为1-.
33
12,x>0,
例13、设函数f(x)=若f(m)
log2-x,x
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 11
解析 当m>0时,f(m)1;当m
22所以,m的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞).
例14、①已知不等式x2-logax
12
由x2-logax
1
0,时,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方, 由题意知,当x∈20
②(2014·中山模拟)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,求实数a的取值范围. 8
当a>1时,f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数,由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-2a)>1,解得1<a<.
3若0<a<1时,f(x)在x∈[1,2]上是增函数,由f(x)>1恒成立,则f(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0,∴a不存在. 8
1,. 综上可知,实数a的取值范围是3
例15、如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象.已知n取±2,四个值,则相应于曲线C1,C
2,C3,C4的n
2值依次为____________.
11
答案 2,-2
22
gx+x+4,x
例16、设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=则f(x)的值域是__________.
gx-x,x≥gx,
解析 由x2;由x≥g(x)得x≥x2-2,∴-1≤x≤2.
127x++,x2,2
24x+x+2,x2,∴f(x)=2即f(x)=
129x-x-2,-1≤x≤2.
x--,-1≤x≤2.
24
99
当x2;当x>2时,f(x)>8.当-1≤x≤2时,-≤y≤0.综上可知,f(x)的值域为[-,0]∪(2,+∞).
44
例17、已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-ax+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则f(2)
-
等于 ( )
1517
A.2 B. C. D.a2
44
--
解析 ∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴由f(x)+g(x)=ax-ax+2,①f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)=ax-ax+2,② 15---
①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-ax.又g(2)=a,∴a=2,∴f(x)=2x-2x,∴f(2)=22-22=.
4
例18、已知y=f(x)的图象如图,则y
=f(1-
x
)的图象为下列四图中的 ( )
解析 将y=f(1-x)变形为y=f[-(x-1)]
①作y=f(-x)图象,将y=f(x)关于y轴对称即可; ②将f(-x)的图象沿x轴正方向平移1个单位, 得y=f[-(x-1)]=f(1-x)的图象.
例19、设奇函数f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数,且f(2)=0,则不等式( )
f-x-fx
≥0的解集为 x
A.[-2,0]∪[2,+∞) B.(-∞,-2]∪(0,2] C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,0)∪(0,2] 解决抽象函数问题的关键是灵活利用抽象函数的性质,利用函数的单调性去掉函数符号是解决问题的关键,由函数为奇函数可知,不等式的解集关于原点对称,所以只需求解x>0时的解集即可. 解析 转化成f(m)
因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),不等式可化为
-fx-fxfx
0,即-≥0. xx
当x>0时,则有f(x)≤0=f(2),由f(x)在(0,+∞)上单调递增可得x≤2;当x
有f(x)≥0=-f(2)=f(-2),由函数f(x)为奇函数可得f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以x≥-2.所以不等式的解集为[-2,0)∪(0,2].
例20、函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.
(1)求证:f(x)在R上是增函数; (2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)
解析 (1)证明 设x10,∵当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1.
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =[f(x2-x1)+f(x1)-1]-f(x1) =f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)
(2) 解抽象函数不等式:①将函数不等式转化为f(M)
解∵f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1,又∵f(3)=4⇒f(2+1)=4⇒f(2)+f(1)-1=4⇒3f(1)-2=4,∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)
函数零点的判定常用的方法有:
(1)零点存在性定理;函数零点的判定(零点存在性定理):如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)
例21、(2011·课标全国)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为 ( )
111113A.(-,0) B.(0, C., D.(444224
解析 ∵f(x)=ex+4x-3,∴f′(x)=ex+4>0.∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数. 11111111∵f(-)=e-40,∴f()·f44442242
例22、(2012·湖北)函数f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析 当x=0时,f(x)=0.又因为x∈[0,4],所以0≤x2≤16. 因为5π
11ππ3π5π7π9π
y=cos x2在x2取,,时为0, 222222
此时f(x)=0,所以f(x)=xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为6. 例23、方程sin(x答案:3个
例24、(2011·山东)已知函数f(x)=logax+x-b (a>0,且a≠1).当2
则n=________.
考点分析 本题考查对数函数、函数单调性、函数零点等知识,体现了函数知识的综合.
求解策略 解答本题可先确定函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,然后根据a,b满足的条件及对数的运算性质探究出f(x)零点所在的区间,从而对照x0∈(n,n+1),n∈N*确定出n的值.
3
)lgx的实数根有_______个 2
答案 2
解析 ∵2
lg 2lg 2
∵2
lg 3lg a又∵b>3,∴-b
lg 3lg 3∵1
lg alg 2∴loga3+3-b>0,∴f(3)>0,即f(2)·f(3)
解后反思 (1)本题考查函数零点,与函数的单调性相结合;
(2)解决函数的有关问题,要综合利用函数的图象,函数的单调性、对称性、周期性、值域等.
1
-1,,则b-a的值不可能是( ) 例25、已知函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为2π2π4π
A. B. C.π 333
15π13π
-1,,则函数定义域为2kπ+2kπ+[解析] 画出函数y=sinx的简图,要使函数的值域为,k∈Z或266
3π5π
其子集,又定义域为[a,b],则a,b在同一个k所对应的区间内,且[a,b]必须含2kπ+,还有2kπ、2k
26
13π2π4ππ+b-a的取值范围为,故选A.
633
πππππ
例26、已知f(x)=sinωx(ω>0),f=f,且f(x)在区间有最小值,无最大值,则ω的最小值为
36363
________.
πππππππ
[解析] 依题f(x)=sinωx+(ω>0),f=f,且f(x)在区间有最小值,无最大值,∴区间为
3636363
ππ63πππ3π
f(x)的一个半周期的子区间,且知f(x)的图象关于x=ω2kπk∈Z,取k=0
24432
14得ω=.
3
sinπx(0≤x≤1),
例27、已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则a+b+c的取值范围是( )
log2 012x(x>1),
A.(2,2 013) B.(2,2 014) C.(3,2 013) D.(3,2 014)
[解析] 数形结合法,画出函数f(x)的简图,作直线y=h,移动此直线观察直线y=h与函数f(x)的图象有三个交点的
a+b1
情形,不妨设a<b<c,则1<c<2 012,∴2<a+b+c<2 013.
22
1
例28、① 已知α是第二象限的角,tan α=-,则cos α=________.
2
sin α12解析 ∵α是第二象限的角,∴cos α
cos α25 ② 已知tan α=2,则sin2α+sin αcos α-2cos2α=________.
sin2α+sin αcos α-2cos2αtan2α+tan α-24
解析 sinα+sin αcos α-2cosα==5sinα+cosαtanα+1
2
2
例29、A={x|-2<x<-1或x>1},B={x|a≤x<b},A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x<3},则a=_______,b=_______解 ∵A∩B={x|1<x<3},∴b=3, 又A∪B={x|x>-2}, ∴-2<a≤-1, 又A∩B={x|1<x<3}, ∴-1≤a<1, ∴a=-1.
例30、设集合A={x|x+4x=0,x∈R},B={x|x+2(a+1)x+a-1=0,a∈R,x∈R},若B⊆A,则a的取值范围为__________
思路分析 本题体现了分类讨论思想,应对集合B中所含元素个数分类讨论. 解 ∵A={0,-4},∴B⊆A分以下三种情况:
(1)当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x+2(a+1)x+a-1=0的两个根,由根与系数之间的关系,Δ=a+-a-
a+=-4,得-
a2-1=0,
2
2
2
2
2
2
2
>0,
解得a=1.
2
2
(2)当∅≠BA时,B={0}或B={-4},并且Δ=4(a+1)-4(a-1)=0,解得a=-1,此时B={0}满足题意.
22
(3)当B=∅时,Δ=4(a+1)-4(a-1)<0,解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.