动量能量综合问题
【典型问题分析】
动量能量综合问题
一、动能定理与动量定理
例
1、2.质量分别为m 1和m 2的两个物体(m 1>m 2),在光滑的水平面上沿同方向运
动,具有相同的初动能.与运动方向相同的水平力F 分别作用在这两个物体上,经过相同的
时间后,两个物体的动量和动能的大小分别为p 1、p 2和E 1、E 2,比较它们的大小,有( ) A . p 1>p 2和E 1>E 2 B . p 1>p 2和E 1
C . p 1
E 2 D . p 1
二、机械能守恒定律与动量守恒定律
例2、(2000年北京、安徽春季高考)一轻质弹簧,上端悬挂于天花板,下端系一质
量为M 的平板如图6-3-1所示,处在平衡状态.一质量为m 的均匀环套在弹簧外,与平板的距离为h ,如图6-3-1所示,让环自由下落,撞击平板,已知碰后环与板以相同的速度向下运动,使弹簧伸长( )
A .若碰撞时间极短,则碰撞过程中环与板的总动量守恒 B .若碰撞时间极短,则碰撞过程中环与板的总机械能守恒 C .环撞击板后,板的新的平衡位置与h 的大小无关
D .在碰后板和环一起下落的过程中,它们减少的动能等于克服弹簧力所做的功
解析:环套与板碰撞时间极短,二者之间的内力远大于外力(重
力、弹簧弹力),环套与板的总动量守恒,A 项正确.因碰后两者速度相同,说明环套与板的碰撞为完全非弹性碰撞,动能损失最多,碰撞过程中总机械能不守恒,B 项错.碰后,环套与板做简谐运动,板的新的平衡位置就是停振后板所处的位置,由平衡条件kx 0=(m +M )g ,x 0=
m +M
g ,x 0与h 大小无关,C 项正确.碰k
后下落过程中,板和环套减少的动能和减少的重力势能都转化为弹性势能.弹性势能的增加与克服弹簧力做的功相同,故D 项错.
答案:AC
.
拓展练习:07年四川如图所示,弹簧的一端固定在竖直墙上,质量为m 的光滑弧形槽静止在光滑水平面上,底部与水平面平滑连接,一个质量也为m 的小球从槽高h 处开始下滑( )
A .在以后的运动过程中,小球和槽的动量始终守恒 B .在下滑过程中小球和槽之间的相互作用力始终不做功 C .被弹簧反弹后,小球和槽都做速率不变的直线运动 D .被弹簧反弹后,小球和槽的机械能守恒,小球能回到槽高h 处
答案: C
三、动量与能量综合应用 1、碰撞类问题
例3、A 、B 两小球在水平面上沿同一方向运动,两球的动量分别为p A =6kg·m/s,
p B =10kg·m/s.当A 球追及B 球发生对心碰撞后,关于两球动量p 'A 和p 'B 的数值正确的是( )
'=7kgm /s ,P B '=9kgm /s B .P A '=6kgm /s ,P B '=10kgm /s A .P A
'=-6kgm /s ,P B '=22kgm /s D.P A '=-3kgm /s , P B '=19kgm /s C .P A
答案:D
07年宁夏在光滑的水平面上,质量为m 1的小球A 以速率v 0向右运动。在小球的前方O 点处有一质量为m 2的小球B 处于静止状态,如图所示。小球A 与小球B 发生正碰后小球A 、B 均向右运动。小
球B 被在Q 点处的墙壁弹回后与小球A 在P 点相遇,PQ =1.5PO 。假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的,求两小球质量之比m 1/m2。
解:从两小球碰撞后到它们再次相遇,小球A 和B 的速度大小保持不变,根据它们通过的路程,可知小球B 和小球A 在碰撞后的速度大小之比为4∶1 两球碰撞过程有:m 1v 0=m 1v 1+
m 2v 2
解得:
11122m 1v 0=m 1v 12+m 2v 2 222
m 1
=2 m 2
2、摩擦生热类问题
8、如图所示,长为L ,质量为m 1的物块A 置于光滑
水平面上,在A 的水平上表面左端放一质量为m 2的物体B (物体B 可视为质点),B 与A 的动摩擦因数为μ.A 和B 一起以相同的速度v 向右运动,在A 与竖直墙壁碰撞过
程中无机械能损失,要使B 一直不从A 上掉下来,v 必须满足什么条件? (用m 1、m 2、L 及μ表示)
解析:A 与墙壁发生无机械能损失的碰撞后,A 以大小为v 的速度向左运动,B 仍以原速度v 向右运动,以后的运动过程有三种可能
(1)若m 1>m 2,碰墙后系统的总动量方向向左,则m 1和m 2 最后以共同速度向左运动. 设它们相对静止时的共同速度v’,据动量守恒定律,有 m 1v -m 2v=(m 1+m 2)v’
若相对静止时B 正好在A 的右端,则系统机械能损失应为μm 2gL ,根据能量守恒,有
111
m 1v 2+m 2v 2-(m 1+m 2) v '2=μm 2gL
222
解得v =
若m 1>m 2
,则v ≤
(2)若m 1=m 2,碰墙后系统的总动量为零,则A 、B 最后都静止在水平面上,但不再与墙壁发生第二次碰撞.
设静止时A 在B 的右端,则有1m v 2+1m v 2=μm gL
122
22
解得v =
(3)若m 1 <m 2 ,碰墙后系统的总动量方向向右,则A 将多次和墙壁碰撞,每次碰撞后总动量方向都向右.由于滑动摩擦力的作用,系统的向右方向的总动量逐渐减小至零,最后停在靠近墙壁处.
设最后A 静止在靠近墙壁处时,B 静止在A 的右端,同理有
11
m 1v 2+m 2v 2=μm 2gL
22
解得v =
为
综合(2)(3)可知,若m 1≤m 2
,则v ≤
07年天津如图所示,水平光滑地面上停放着一辆小车,左侧靠在竖直墙壁上,小车的四分之一圆弧轨道AB 是光滑的,在最低点B 与水平轨道BC 相切,BC 的长度是圆弧半径的10倍,整个轨道处于同一竖直平面内。可视为质点的物块从A 点正上方某处无初速下落,恰好落入小车圆弧轨道滑动,然后沿水平轨道滑行至轨道末端C 处恰好没有滑出。已知物块到达圆弧轨道最低点B 时对轨道的压力是物块重力的9倍,小车的质量是物块的3倍,不考虑空气阻力和物块落入圆弧轨道时的能量损失。求:
(1)物块开始下落的位置距水平轨道BC 的竖直高度是圆弧半径的几倍; (2)物块与水平轨道BC 间的动摩擦因数μ。 解析:(1)设物块的质量为m ,其开始下落处的位置距BC 的竖直高度为h ,到达B 点时的速1
度为v ,小车圆弧轨道半径为R 。由机械能守恒定律,有:mgh=mv 2
2v 2
根据牛顿第二定律,有:9mg -mg=m 解得h=4R
R
则物块开始下落的位置距水平轨道BC 的竖直高度是圆弧半径的4倍。
(2)设物块与BC 间的滑动摩擦力的大小为F ,物块滑到C 点时与小车的共同速度为v' ,物块在小车上由B 运动到C 的过程中小车对地面的位移大小为s 。依题意,小车的质量为3m ,BC 长度为10R 。由滑动摩擦定律有: F=μmg
由动量守恒定律,有mv=(m+3m)v' 对物块、小车分别应用动能定理,有 111
-F(10R+s)= mv' 2 - mv 2 Fs=(3m)v'2-0 μ=0.3
222
3、弹簧类问题
如图甲所示,一轻弹簧的两端与质量分别为m 1和m 2的两物块A 、B 相连接,并静止在光滑的水
平面上.现使A 瞬时获得水平向右的速度3m/s
,以此刻为计时起点,两物块的速度随时
间变化的规律如图乙所示,从图象信息可得
A .在t 1、t 3时刻两物块达到共同速度1m/s,且弹簧都是处于压缩状态 B .从t 3到t 4时刻弹簧由压缩状态恢复到原长 C .两物体的质量之比为m 1∶m 2 = 1∶2
D .在t 2时刻A 与B 的动能之比为E k1∶E k2=1∶8
v
B
甲
-
答案: CD
例5、15.(2006年武汉市调研试题)如图4所示,光滑轨道
的DP 段为水平轨道,PQ 段为半径是R 的竖直半圆轨道,半圆轨道的下端与水平的轨道的右端相切于P 点.一轻质弹簧两端分别固定质量为2m 的小球A 和质量为m 的小球B ,质量为m 小球C 靠在B 球的
右侧.现用外力作用在A 和C 上,弹簧被压缩(弹簧仍在弹性限度内).这时三个小球均静止于距离P 端足够远的水平轨道上.若撤去图4 外力,C 球恰好可运动到轨道的最高点Q .已知重力加速度为g .求撤去外力前的瞬间,弹簧的弹性势能E 是多少?
解析:对A 、B 、C 及弹簧组成的系统,当弹簧第一次恢复原长时,设B 、C 共同速度大小为v 0,A 的速度大小为v A ,由动量守恒定律有:2mv A =(m +m )v 0 ① 即v A= v0
11
由系统能量守恒有 E = ·2mv A 2+ (m +m ) v 02
22
此后B 、C 分离,设C 恰好运动至最高点Q 的速度为v ,此过程C 球机械能守恒:
11
mg ·2R = mv 02— mv 2 ③
22
m v 2
在最高点Q ,由牛顿第二定律有:m g ④
R
联立方程①~④求得:E =10mgR
4、综合类问题
例6、07年广东 如图所示,在同一竖直上,质量
为2m 的小球A 静止在光滑斜面的底部,斜面高度为H=2L。小球受到弹簧的弹性力作用后,沿斜面向上运动。离开斜面有,达到最高点时与静止悬挂在此处的小球B 发生弹性碰撞,碰撞后球B 刚好能摆到与悬点O 同一高度,球A 沿水平方向抛射落在水平面C 上的P 点,O 点的投影O '与P 的距离为L/2。已知球B 质量为m ,悬绳长L ,视两球为质点,重力加速度为g ,不计空气阻力,求:
(1)球B 在两球碰撞后一瞬间的速度大小; (1)球A 在两球碰撞后一瞬间的速度大小; (1)弹簧的弹性力对球A 所做的功。
解:(1)设碰撞后的一瞬间, 球B 的速度为v B /, 由于球B 恰好与悬点O 同一高度, 根据动能定理:
1' 2'
-mgL =0-mv B ① v B =2gL ②
2
(2)球A 达到最高点时, 只有水平方向速度, 与球B 发生弹性碰撞. 设碰撞前的一瞬间, 球A 水平方向速度为v x . 碰撞后的一瞬间, 球A 速度为v x /. 球A 、B 系统碰撞过程中动量守恒和机械能守
' ' 恒: 2mv x =2mv x ③ +mv B
1112' 2' 2
⨯2mv x =⨯2mv x +⨯2mv B ④ 222
由②③④解得:v x =
'
1
gL ⑤ 4
3
2gL ⑥ 4
l ' =v x t ⑦ 2
及球A 在碰撞前的一瞬间的速度大小v x =
(3)碰后球A 作平抛运动. 设从抛出到落地时间为t , 平抛高度为y , 则:
y =
12
gt ⑧ 2
由⑤⑦⑧得:y=L
以球A 为研究对象, 弹簧的弹性力所做的功为W , 从静止位置运动到最高点:
W -2mg (y +2L ) =
由⑤⑥⑦得:W=
12⨯2mv x ⑨ 2
57
mgL ⑩ 8
07年四川目前,滑板运动受到青少年的追捧。如图是某滑板运动员在一次表演时的一部分赛道在竖直平面内的示意图.赛道光滑,FGI 为圆弧赛道,半径R=6.5m,C
为最低点并与水平赛
道BC 位于同一水平面,KA 、DE 平台的高度都为h=1.8m。B 、C 、F 处平滑连接。滑板a 和b 的质量均为m ,m=5kg,运动员质量为M ,M=45kg。
表演开始,运动员站在滑板b 上.先让滑板a 从A 点静止下滑,t 1=0.1s后再与b 板一起从A 点静止下滑。滑上BC 赛道后,运动员从b 板跳到同方向运动的a 板上,在空中运动的时间t 2=0.6s(水平方向是匀速运动) 。运动员与a 板一起沿CD 赛道上滑后冲出赛道,落在EF 赛道的P 点,沿赛道滑行,经过G 点时,运动员受到的支持力N=742.5N。(滑板和运动员的所有
2
运动都在同一竖直平面内,计算时滑板和运动员都看作质点,取g=10m/s) (1)滑到G 点时,运动员的速度是多大?
(2)运动员跳上滑板a 后,在BC 赛道上与滑板a 共同运动的速度是多大? (3)从表演开始到运动员滑至I 的过程中,系统的机械能改变了多少?
解:(1)在G 点,运动员和滑板一起做圆周运动,设向心加速度为a 向,速度为v G ,运动员受到重力Mg 、滑板对运动员的支持力N 的作用,则 N-Mg=Ma向 ①
v
a 向=G ②
R
2v G
N-Mg=M ③
R
2
v G =
R (N -Mg )
④
M
v G =6.5m/s ⑤
{2)设滑板a 由A 点静止下滑到BC 赛道后速度为v 1,由机械能守恒定律有
mgh =
12mv 1 ⑥ v 1=2gh ⑦ 2
运动员与滑板b 一起由A 点静止下滑到BC 赛道后.速度也为v 1。
运动员由滑板b 跳到滑板a ,设蹬离滑板b 时的水平速度为v 2,在空中飞行的水平位移为s ,
则s=v2t 2 ⑧
设起跳时滑板a 与滑板b 的水平距离为s 0,则s 0=v1t 1 ⑨ 设滑板a 在t 2时间内的位移为s 1,则 s 1=v1t 2 ⑩ s=s0+s1
即v 2t 2=v1(t1+t2)
运动员落到滑板a 后,与滑板a 共同运动的速度为v ,由动量守恒定律有 mv 1+Mv2=(m+M)v
由以上方程可解出v =
mt 2+M (t 1+t 2)
2gh
(M +m ) t 2
代人数据,解得v=6.9m/s
(3)设运动员离开滑板b 后.滑扳b 的速度为v 3,有Mv 2+mv3=(M+m)v1
可算出v3=-3m/s,有|v3|=3m/s
1122
(M +m ) v G +mv 3-(m +m +M ) gh
22
ΔE=88.75J
《 动量能量综合》专题复习练习题
一、选择题
1.如图6-3-8所示,一轻质弹簧固定在墙上,一个质量为
m 的木块以速度v 0从右侧沿光滑水平面向左运动,并与弹簧发
生相互作用.设相互作用的过程中弹簧始终在弹性限度范围内,
那么,在整个相互作用的过程中,弹簧对木块冲量I 的大小和弹簧对木块做的功W 分别是( )
A
A .I =0、W =mv 02 B .I =mv 0、W =mv 02 C
h 2
C .I =2mv 0、W =0 D .I =2mv 0、W =mv 0
答案:C
2、11.如图6-3-12所示,一轻质弹簧与质量为m 的物体组成弹
簧振子,在竖直方向的A 、B 两点间作简谐运动,O 为平衡位置,振子的振动周期为T .某一时刻物体正经过C 点向上运动(C 点在平衡位置上方h 高处),则从此时刻开始的半个周期内( )
A .重力对物体做功为2mgh B .重力对物体的冲量大小为mgT /2
C .加速度方向始终不变 D .回复力做功为2mgh 答案:AB 3、.如6-3-11斜面小车的质量为M ,高为h ,一个质量为m 的物体从小车的顶点滑下,物块滑离斜面小车底端时的速度设为v ,不计一切摩擦,下列说法:①物块滑离小车时的速度v =gh ;②物块滑离小车时的速度v
mv
;④
物M
块滑离小车时小车的速度V
mv
.其中正确的是( ) M
A .只有①③正确 B .只有①④正确 C .只有②③正确 D .只有②④正确 答案:D
4、如图2所示,质量为M 的平板小车静止在光滑的水平地面上,小车左端放一质量为m 的木块,车的右端固定一个轻质弹簧,现给木块一个水平向右的瞬时冲量I ,使木块m 沿车上表面向右滑行,在木块与弹簧相碰后又沿原路返回,并且恰好能到达小车的左端而相对小车静止,关于木块m 、平板小车M 的运动状态,下列说法中正确的是( ) A .木块m 的运动速度最小时,系统的弹性势能最大 B .木块m 所受的弹力和摩擦力始终对m 作负功
C .平板小车M 的运动速度先增大后减少,最后与木块m 的运动速
度相同;木块m 的运动速度先减少后增大,最后与平板小车M 的运动速
度相同
D .由于弹簧的弹力对木块m 和平板小车M 组成的系统是内力,故系统的动量和机械能均守恒
答案:C
5、在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A 、B ,质量都为m .现B 球静止,A 球向B 球运动,发生正碰.已知碰撞过程中总机械能守恒,两球压缩最紧时的弹性势能为E p ,则碰前A 球的速度等于( )
A .
E p m
B .
2E p m
C .2
E p m
D .2
2E p m
答案:C
v
A
6.如图6-3-9所示,一质量M =0.3kg的长方形木板B 放在光滑水平地面上,在其右端放一个质量m =0.1kg的小木块A .现以地面为参照系,给A 和B 以大小均为4.0m/s,方向相反的初速度,使A 开始向左运动,B 开始向右运动,但最后A 并没有滑离B 板.站在地面的观察者看到在一
段时间内小木块A 正在做加速运动,则在这段时间内的某时刻木板对地面的速度大小可能是( )
A .1.8m/s B .
2.4m/s
C .2.6m/s D .3.0m/s 答案:BC
6.一个质量为0.3kg 的弹性小球,在光滑水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上,碰撞后小球沿相反方向运动,反弹后的速度大小与碰撞前相同.则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv 和碰撞过程中墙对小球做功的大小W 为( )
A. Δv =0 B. Δv =3.6m/s C. W =0 D. W =10.8J 答案:BC
7.如图6-3-10所示,固定在水平面上的竖直轻弹簧上端与质量为M 的物块A 相连,静止时物块A 位于P 处.另有一质量为m 的物块B ,从A 的正上方Q 处自由下落,与A 发生碰撞立即具有相同的速度,然后A 、B 一起向下运动,将弹簧继续压缩后,物块A 、B 被反弹.下面是有关的几个结论,其中正确的是( )
A .A 、B 反弹过程中,在P 处物块B 与A 相分离
B .A 、B 反弹过程中,在P 处物块B 与A 仍未分离 C .B 可能回到Q 处 D .B 不可能回到Q 处 答案:BD 8.(2002年春招)在高速公路上发生一起交通事故,一辆质量为1500kg 向南行驶的长途客车迎面撞上了一质量为3000kg 向北行驶的卡车,碰后两车接在一起,并向南滑行了一小段距离后停止,根据测速仪的测定,长途客车碰前以20m/s的速率行驶,由此可判断卡车碰前的行驶速率( )
A .小于10m/s B .大于10m/s小于20m/s C .大于20m/s小于30m/s D .大于30m/s小于40m/s 答案:A
9.一带电粒子射入一固定在O 点的点电荷的电场中,粒子运动的轨迹如图6-1-9所示中的虚线abc 所示,图中实线是以O 点为圆心的同心圆,不计重力,下面说法中正确的是( )
A .此粒子一直受到静电排斥力作用
B .此粒子从a →b 过程中,动量的变化率越来越小. C .粒子从a →b →c 过程,动量的变化率先变大后变小. D .粒子从a →b →c 过程,冲量为零. 答案:AC
10.半圆形光滑轨道固定在水平地面上,如图所示,并使其轨道平面与地面垂直,物体m 1、
m 2同时由轨道左、右最高点释放,二者碰后粘在一起向左运动,最高能上升到轨道M 点,如图所示,已知OM 与竖直方向夹角为60°,则两物体的质量之比为m 1︰m 2为
图
6-1-9
A
.1) ∶1) C
.1) ∶1)
B
1 D
.1
提示:由对称性可知,m 1、m 2同时到达圆轨道最低点,根据机械能守恒定律可知,它们到
达最低点的速率应相等v =(m 2-m 1) v =(m 1+m 2) v ',以后1
一起向左运动,由机械能守恒定律可得,(m 1+m 2) gR (1-cos60︒) =(m 1+m 2) v '2,
2
联立以上各式解得
m 1∶m 2=1) ∶1)
二、计算题
1.(2004全国理综,)如图1,长木板a b 的b 端固定一档板,木板连同档板的质量为M =4.0kg,a 、b 间距离s=2.0m.木板位于光滑水平面上.在木板a 端有一小物块,其质量m =1.0kg,小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.10,它们都处于静止状态.现令小物块以初速v 0=4.0m/s沿木板向前滑动,直到和挡板相撞.碰撞后,小物块恰好回到a 端而不脱离木板.求碰撞过程中损失的机械能.
解答:设木块和物块最后共同的速度为v ,由动量守恒定律
mv 0=(m +M )v ①
设全过程损失的机械能为ΔE ,
E =
121
mv 0-(m +M ) v 2 ② 22
在全过程中由于摩擦生热损失的机械能为
ΔE 1=μmg ·2s ③
用ΔE 2表示在碰撞过程中损失的机械能,则 ΔE 2=E —ΔE 1 ④ 由①②④④式解得
∆E 2=
1mM 2
v 0-2μmgs
2m +M
代入数据得ΔE 2=2.4J
2、质量M 的小车左端放有质量m 的铁块,以共同速度v 沿光
滑水平面向竖直墙运动,车与墙碰撞的时间极短,不计动能损失,如图6-3-3.小车与铁块的动摩擦因数为μ,小车足够长,使铁块不会到
达车的右端.求到小车与铁块相对静止为止,由于摩擦产生的热量是
多少?
解析:车与墙碰后瞬间,小车的速度向左,大小是v ,而铁块的速度未变,仍是v
,方向
向左.根据动量守恒定律,车与铁块相对静止时的速度方向决定于M 与m 的大小关系:
当M >m 时,相对静止时的共同速度必向左,不会再次与墙相碰, 由动量守恒定律得:Mv —mv =(M +m )v /
由能量守恒得:
11
(M +m )v 2=(M +m )v /2+Q 22
2Mmv 2
所以摩擦生热:Q =
M +m
当M =m 时,显然最终共同速度为零;当M
1
(M +m )v 2. 2
3、(2004北京理综,24)对于两物体碰撞前后速度在同一直线上,且无机械能损失的碰撞过程,可以简化为如下图2模型:A 、B 两物体位于光滑水平面上,仅限于沿同一直线运动.当它们之间的距
离大于等于某一定值d 时,相互作用力为零.当它
们之间的距离小于d 时,存在大小恒为F 的斥力.设A 物体质量m 1=1.0kg,开始时静止在直线上某点;B 物体质量m 2=3.0kg,以速度v 0从远处沿该直线向A 运动,如图2所示.若d =0.1m,F =0.60N,v 0=0.2m/s,求:
(1)相互作用过程中A 、B 加速度的大小;
(2)从开始相互作用到A 、B 间的距离最小时,系统(物体组)动能的减少量; (3)A 、B 间的最小距离.
解析:(1)a 1=
F F
=0. 60m /s 2,a 2==0. 20m /s 2 m 1m 2
(2)两者速度相同时距离最近,由动量守恒定律得
m 2v 0=(m 1+m 2) v
v =
|∆E k |=
m 2v 0
=0. 15m /s
(m 1+m 2)
112m 2v 0-(m 1+m 2) v 2=0. 01J 522
(3)根据匀变速直线运动规律 v 1=a 1t v 2=v 0—a 2t
当v 1=v 2时,解得A 、B 两者距离最近时所用时间 t =0.25s 由s 1=
121
a 1t 和s 2=v 0t —a 2t 2得:Δs=s1+d-s2 22
将t =0.25s代入,解得A 、B 间的最小距离Δs min =0.075m
4.美国航空航天局和欧洲航空航天局合作研究的“卡西尼”号土星探测器,在美国东部时间
2004年6月30日(北京时间7月1日)抵达预定轨道,开始“拜访”土星及其卫星家族.“卡西尼”号探测器进入绕土星飞行的轨道,先在半径为R 的圆形轨道Ⅰ上绕土星飞行,运行速度大小为v 1
.为了进一
步探测土星表面的情况,当探测器运行到A 点时发动机向前喷出质量为△m 的气体,探测器速度大小减为v 2,进入一个椭圆轨道Ⅱ,运动到B 点时再一次改变速度,然后进入离土星更近的半径为r 的圆轨道Ⅲ,如图所示.设探测器仅受到土星的万有引力,不考虑土星的卫星对探测器的影响,探测器在A 点喷出的气体速度大小为u .求: (1)探测器在轨道Ⅲ上的运行速率v 3和加速度的大小; (2)探测器在A 点喷出的气体质量△m . 【答案】(1
R 2v -v v 1,2v 1;(2) m
u -v 2r
解析:(1)在轨道I 上,探测器m 所受万有引力提供向心力,设土星质量为M ,则有
G
Mm R 2
2
v =m
R
同理,在轨道Ⅲ上有G
M (m -∆m )
r 2
2v =(m -∆m )
r
由上两式可得v 3=
v 1 2v 3
探测器在轨道Ⅲ上运行时加速度设为a ,则a =
r
解得a =
R
r 2
(2)探测器在A 点喷出气体前后,由动量守恒定律,得mv 1=(m -△m ) v 2+△mv
解得∆m =
2v 1
v 1-v 2
m u -v 2
5.(2005天津理综,24)如图4所示,质量m A 为4.0kg 的木板A 放在水平面C 上,木板与水平面间的动摩擦因数μ为0.24,木板右端放着质量m B 为1.0kg 的小物块B (视为质点),它们均处于静止状态.木板突然受到水平向右的12N s 的瞬时冲
量I 作用开始运动,当小物块滑离木板时,木板的动能E k A 为8.0J ,
2小物块的动能为0.50J ,重力加速度取10m/s,求:
(1)瞬时冲量作用结束时木板的速度v 0;
(2)木板的长度L .
解析:(1)设水平向右为正方向,有:I =m A v 0 ①
代入数据得 v 0=3.0m/s ②
(2)A 、C 之间摩擦力的大小F μ2=μ(m A +m B )g ,设A 、B 之间摩擦力的大小为F μ1,B 在
A 上滑行的时间为t ,B 离开A 时,A 、B 的速度分别为v 1和v 2,对木板A 和物块B 分别使用动量定理有:m A v 1—m A v0=-( Fμ1+ Fμ2) t
m B v 2= Fμ1t
设A 、B 相对于水平地面的位移分别为s A 和s B ,则
11
m A v 12—m A v 02=—(F μ1+ Fμ2) s A 221
m B v 22= Fμ1 sB 2
代入
11
m A v 12=8.0J和m B v 22=0.5J 22
可求得木板长度L =sA —s B =0.50m
6.(2005全国卷Ш,25)如图5所示,一对杂技演员(都视为质点)乘秋千(秋千绳处于水平位置)从A 点由静止出发绕O 点下摆,当摆到最低点B 时,女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出,然后自己刚好能回到高处A .求男演员落地点C 与O 点的水平距离s .已知男演员质量m 1和女演员质量m 2m 1
=2,秋千的质量不计,m 2
秋千的摆长为R ,C 点比O 点低5R .
解析:设分离前男女演员在秋千最低点B 的速度为v ,由机械1
能守恒定律:(m 1+m 2) gR =(m 1+m 2)v 2 ①
2
设刚分离时男演员速度的大小为v 1,方向与v 相同;女演员速度的大小为v 2,方向与v 相反,由动量守恒,
(m 1+m 2)v =m l v l -m 2v 2 ②
分离后,男演员做平抛运动,设男演员从被推出到落在C 点所需的时间为t ,根据题给条件,由运动学规律,4R = s =v 1t ④
根据题给条件,女演员刚好回到A 点.由机械能守恒定律,m 2gR =
已知m 1=2m 2,由以上各式可得:s =8R
12
gt ③ 2
图5
12m 2v 2 ⑤ 2
7.(2004年广东物理,17)如图6中,轻弹簧的一端固定,另一端与滑块B 相连,B 静止在水平导轨上,弹簧处在原长状态.另一质量与B 相同滑块A ,从导轨上的P 点以某一初速度向B 滑行,当A 滑过距离l 1时,与B 相碰,碰撞时间极短,碰后A 、B 紧贴在一起运动,但互不粘连.已知最后A 恰好返回出发点P 并停止.滑块A 和B 与导轨的滑动摩擦因数都为μ,运动过程中弹簧最大形图变量为l 2,求A 从P 出发时的初速度v 0.
解析:令A 、B 质量皆为m ,A 刚接触B 时速度为v 1(碰前),由功能关系,有
11
mv 02 —mv 12=μmgl 1 ① 22
A 、B 碰撞过程中动量守恒,令碰后A 、B 共同运动的速度为v 2,有 mv 1=2mv 2 ②
碰后A 、B 先一起向左运动,接着A 、B 一起被弹回,在弹簧恢复到原长时,设A 、B 的共同速度为v 3,在这过程中,弹簧势能始末两态都为零,利用功能关系,有
1122(2m ) v 2-(2m ) v 3=μ(2m ) g (2l 2) ③ 22
此后A 、B 开始分离,A 单独向右滑到P 点停下,由功能关系有
12
mv 3=μmgl 1 ④ 2
由以上各式,解得 v 0=g (10l 1+16l 2) ⑤
8.如图6-2-13所示甲、乙两人做抛球游戏,甲站在一辆平板车上,车与水平地面间摩擦不计. 甲与车的总质量M =100kg,另有一质量m =2kg的球.乙站在车的对面的地上,身旁有若干质量不等的球.开始车静止,甲将球以速度v (相对地面)水平抛给乙,乙接到抛来的球后,马上将另一质量为m /=2m 的球以相同速率v 水平抛回给甲,甲接住后,再以相同速率v 将此球水
平抛给乙,这样往复进行.乙每次抛回给甲的球的质量都等于
他接到的球的质量为2倍,求:
(1)甲第二次抛出球后,车的速度大小.
(2)从第一次算起,甲抛出多少个球后,再不能接到乙抛回来的球. 解析:(1)甲第一次将m 抛给乙时,甲车和m 球组成的系统动量守恒,取球运动的方向为正方向,则
Mv 1+mv =0
甲第一次接住m /到第二次抛出球后,甲车和m /系统动量守恒: Mv 1+m /v =Mv 2+m /v /
解得 v 2=
1
v ,方向向左 10
(2)第一次抛出球后,甲与车的动量为Mv 1, 从甲第一次接到球到甲第二次抛球,由动量守恒定律得
Mv 1+mv /=Mv 2+m /v
甲与车运动增量为:Δp =Mv 2—Mv 1=m /v —m /v /=2m /v
由题意:甲将重复上述过程,且甲以后每次接到的球的质量均为抛出的球的质量的2倍,所以以后甲与车增加的质量均为上次的2倍.
当甲与车的速度v t ≥v ,甲不再接到球,设此时甲抛出n 次,
则Mv 1+Δp (1+2+22+„„+2n-1)=Mv t 解得:4
n =4时,v t v ,表示已接不到,所以n =5 答案:(1)v 2=(2)M=m
1v ;(2)5. 10
9、如图所示,在工厂的流水线上安装有水平传送带,用水平传送带传送工件,可大大提高工
作效率. 水平传送带以恒定的速率v =2m/s运送质量为m =0.5kg的工件,工件都是以v 0=1m/s的初速度从A 位置滑上传送带,工件与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2,每当前一个工件在传送带上停止相对滑动时,后一个工件立即滑
2
上传送带,取g =10m/s,求:
(1)工件滑上传送带后经多长时间停止相对滑动; (2)在正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离; (3)在传送带上摩擦力对每个工件做的功; (4)每个工件与传送带之间的摩擦产生的内能. 【答案】(1)0.5s ;(2)1m ;(3)0.75J ;(4)0.25J
2
解析:(1)工件的加速度a =μg =2m/s
工件相对传送带静止所需的时间t =
v -v 0
=0.5s a
(2)在t =0.5s内传送带相对地的位移即是正常运行状态下传送带上相邻工件间的距离 s =vt =2×0.5m=1m
2
(3)由动能定理得W f =mv 2-mv 0=0.75J
2
v 2-v 0
=0.75m (4)工件对地位移s '=
2a
1212
则工件相对传送带的位移大小△s =s -s ′=0.25m
产生的摩擦热Q =μmg △s =0.2×0.5×10×0.25J=0.25J 10、如图所示,光滑水平面上有一质量M =4.0kg 的平板车,车的上表面右侧是一段长L =1.0m
的水平轨道,水平轨道左侧连一半径R =0.25m的1/4光滑圆弧轨道,圆弧轨道与水平轨道
/
在O 点相切.车右端固定一个尺寸可以忽略、处于锁定状态的压缩弹簧,一质量m =1.0kg
的小物块紧靠弹簧,小物块与水平轨道间的
动摩擦因数μ=0.5.整个装置处于静止状态,现将弹簧解除锁定,小物块被弹出,恰能
2
到达圆弧轨道的最高点A ,g 取10m/s.求: (1)解除锁定前弹簧的弹性势能;
/
(2)小物块第二次经过O 点时的速度大小;
/
(3)最终小物块与车相对静止时距O 点的距离. 【答案】(1)E P =7.5J ;(2)2.0m/s;(3)0.5m
解析:(1)平板车和小物块组成的系统水平方向动量守恒,故小物块恰能到达圆弧最高点A 时,二者的共同速度v 共
=0
①
设弹簧解除锁定前的弹性势能为E P ,上述过程中系统能量守恒,则有
E P =mgR +μmgL
② ③
代入数据解得E P =7.5J
(2)设小物块第二次经过O '时的速度大小为v m ,此时平板车的速度大小为v M ,研究小物块在圆弧面上下滑过程,由系统动量守恒和机械能守恒有
0=mv m -Mv M
mgR =
12
2
mv m +
2
Mv M
④ ⑤ ⑥
12
由④⑤式代入数据解得v m =2.0m/s
(3)最终平板车和小物块相对静止时,二者的共同速度为0.设小物块相对平板车滑动
的总路程为s ,对系统由能量守恒有
E P =μmgs
⑦ ⑧
代入数据解得s =1.5m
则距O '点的距离x =s -L =0.5m
⑨ ④