[函数的单调性]主要环节的教学设计
作者:江河
中学数学 2008年03期
数学理论的建立过程,一般来源于生活,经过提炼后又高于生活,进而指导人们利用理论来解决实际问题。作为数学教师,在重现数学理论建立过程的教学中应遵循上述原则,在潜移默化中,让学生体会研究问题的一般方法和应遵循的一般规律,不断积累研究问题的经验。同时,注重倡导学生观察生活、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等。充分发挥学生学习的主动性、能动性,使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。在《函数的单调性》的教学设计上,笔者作了初步尝试,共同仁商榷。
课题:人教版全日制普通高级中学教科书(必修)数学第一册(上)第二章第2.3节《函数的单调性》第一课时。
一、教材分析
函数的单调性的地位与作用主要表现在三个方面:
(1)函数是研究现实世界中数量关系的一种数学模型,着重研究数量之间的依赖关系,而函数的单调性又是这种依赖关系中最基本,最重要的;
(2)函数的单调性可为今后求某些函数的值域、最值、极限等提供理论依据;
(3)在函数的所有性质中,教材将函数的单调性排在第一的位置进行研究,学生可以从中获得研究函数性质的一般方法,积累研究函数性质的经验。
所以本节课的重点是:在实例和图象中发现函数的单调性并形成概念;难点是将函数单调性的图形语言或直观语言转化为数学语言。
二、目标分析
高一的学生在初中学习过一些简单的函数,如:一次函数、二次函数、反比例函数等;而这些函数都可以成为我们即将研究的函数单调性的代表函数。另一方面,学生也初步具备由图象直观地得出函数部分性质的能力,通过研究函数的单调性可以使学生的这种能力得到进一步升华。由此得出本节课的教学目标为:
(1)了解增函数、减函数的概念,掌握判断一些简单函数单调性的方法;
(2)培养学生从图象中发现函数的单调性,并用数学语言加以刻画的能力;
(3)在直观语言转化为数学语言的过程中体验数学的理性精神。
三、教法分析
根据上述分析,本节课我采用“引导发现”与“讨论探究”等方法组织教学。
主要通过四个方面的师生双边活动:
粗——引导学生从实际问题和图象中发现函数的单调性;
细——引导学生把发现的函数的单调性描述出来;
精——引导学生把描述出来的函数的单调性用数学语言刻画;
准——引导学生从不同角度,正反两方面深刻理解函数的单调性的定义。
四、过程分析
为实现上述教学目标,突出重点,突破难点,体现新课程标准的要求,我按以下的主要教学环节进行展开:
1.创设情境,激发兴趣
众所周知股票的走势图有助于研究股票的涨跌情况;引导学生观察股票的走势图,截取其中一部分“光滑”图象,描述图象上升或下降的特征后,设问:在我们熟悉的函数中,有哪些函数的图象有相似的特征?(让学生回顾,举例)
【设计意图】(1)通过创设情境,让学生感受函数的单调性在现实生活中的存在性与重要性;(2)创设情境产生的图象作为教学的起点;(3)股票走势图中具有函数的单调性的图象特征,创设这样的问题情境,既能激发学生的兴趣,又符合“数学教学应从学生生活经验出发”和“关注概念的实际背景”这一新课程标准的要求。
2.根据图象,推出课题
根据学生的回答,选择他们熟悉的函数,也从图象着手,让学生观察整个图象,体会从左往右看图象的变化趋势。
再让他们看y轴一侧的图象,体会在y轴右侧(或左侧)图象的变化趋势?
引导学生粗略地得出函数的单调性的图象特征,推出课题。
3.师生互动,形成概念
(1)“细”:让学生观看图像,引导学生从函数值与自变量的依赖关系入手,描述增、减函数的直观定义;
学生讨论后不难得出增、减函数的直观定义(当自变量增大时,函数值增大的函数称为增函数;当自变量增大时,函数值减小的函数称为减函数)(由学生回答)
(2)“精”:引导学生把描述出来的函数的单调性用数学语言刻画;
设问:假如不画函数的图象或函数的图象不易画出,怎样刻画函数的单调性?提示学生仍以函数的图象作为研究对象,从函数值与自变量的数量关系入手,根据情况甚至可以引导学生在单调区间内取两个特殊值,观察函数值的大小与相应自变量的大小之间的关系。在此基础上,由学生讨论并归纳出的函数单调性的精确定义。
(3)“准”:引导学生从不同角度,正反两方面深刻理解函数单调性的精确定义;通过反例甄别,强化定义中“任意”的重要性及“区间”的必要性,深化对概念的理解。在此基础上组织学生阅读教材的相关内容,了解函数的单调性的精确定义。
【设计意图】
(1)在形与数的转换过程中,让学生体会数形结合、特殊到一般的数学思想方法,体会直观到抽象,感性到理性的认知过程;
(2)组织学生讨论,阅读教材,有利于培养学生的合作意识及团队精神;同时驱动学生关注教材,回归教材,提高阅读能力;
(3)“细、精、准”三步曲,有利于培养学生数学语言的刻画能力,有利于学生体验数学的理性精神;可以使学生进一步体会数学来源于现实生活,高于生活,并且是一个不断发展和完善的过程。
4.课堂演练,巩固概念
例1 下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数y=f(x)是增函数还是减函数。
分析这道例题前,可以先让学生回顾判断函数单调性的方法。然后和学生一起分析如何处理单调区间的端点问题及几个单调性相同的单调区间在写法上要注意的问题。
【设计意图】巩固函数的单调性、单调区间的概念,进一步培养学生数形结合的能力:从图象上观察函数在某一区间是否具有单调性,是一种常用而又粗略的方法,往往要证明,从而引出例2。
例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数。可以让学生先画出图象,得到函数的单调性后再引导学生证明;在证明的过程中,老师要有规范的板书,最后可以和学生一起归纳证明函数单调性的一般步骤。
【设计意图】进一步培养学生深刻理解概念及利用数学概念进行判断推理的能力;通过教师的示范,有助于学生良好的学习习惯和严谨的治学态度的养成。
五、教学反思
(1)关于函数单调性的研究,以前主要关心函数本身的问题,如求最值等,是纯数学的问题,即从数学到数学;而现在用函数研究现实世界中数量之间的依赖关系时,必然要关注函数的单调性在实际生活中的应用,如水位的涨落、气温的升降、股票的走势等。
(2)让学生通过研究函数的单调性,从中获得研究函数性质的一般方法,积累研究函数性质的经验,因此,要重视函数单调性的过程教学,这也是我们在教学中容易忽视的。
作者介绍:江河,华中师范大学第一附属中学。(430223)