导数的概念与运算
导数的概念及运算
导学目标: 1. 了解导数概念的实际背景,理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念.了解曲线的切线的概念.2. 能根据
12
导数定义,求函数y =C (C 为常数) ,y =x ,y =x ,y =x y =x 的导数.熟记基本初等函数的导数公式(c ,x m (m 为有理数) ,sin x ,cos x ,e x ,a x ,ln 数,记作____________.
4.基本初等函数的导数公式表
x ,log a x 的导数) ,能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax +b )) 的导数.
自主梳理
1.函数的平均变化率
一般地,已知函数y =f (x ) ,x 0,x 1是其定义域内不同的两点,记Δx=x 1-x 0,Δy=y 1-y 0=f (x 1) -f (x 0) =f (x 0+Δx ) -f (x 0) ,则当Δx ≠0时,商____________Δy
Δx y =f (x ) 在区间[x 0,x 0+Δx ](或[x 0+Δx ,x 0])的
平均变化率.
2.函数y =f (x ) 在x =x 0处的导数 (1)定义
函数y =f (x)在点x 0处的瞬时变化率______________通常称为f (x ) 在x =x 0处的导数,并记作f ′(x 0) ,即______________________________.
(2)几何意义
函数f (x ) 在点x 0处的导数f ′(x 0) 的几何意义是过曲线y =f (x ) 上点(x 0,f (x 0)) 的____________.导函数y =f ′(x ) 的值域即为__________________.
3.函数f (x ) 的导函数
如果函数y =f (x ) 在开区间(a ,b ) 内每一点都是可导的,就说f (x ) 在开区间(a ,b ) 内可导,其导数也是开区间(a ,b ) 内的函数,又称作f (x ) 的导函
(1)[f (x )±g (x )]′=__________; (2)[f (x ) g (x )]′=______________;
(3)⎡⎢
f (x )⎤
⎣g (x )⎥⎦
′=______________ [g (x )≠0]. 6.复合函数的求导法则:设函数u =φ(x ) 在点x 处有导数u x ′=φ′(x ) ,函数y =f (u ) 在点x 处的对应点u 处有导数y u ′=f ′(u ) ,则复合函数y =f (φ(x )) 在点x 处有导数,且y ′x =y ′u ·u ′x ,或写作f ′x (φ(x )) =f ′(u ) φ′(x ) .
自我检测
1 . f ′(x =3,则lim f (x 0+h )-f (x 0-h )
0) h →0 h
等于( ) A .3 B .6 C .9 D .12 2.设y =x 2·e x ,则y ′等于( ) A .x 2e x +2x B .2x e x C .(2x +x 2)e x D .(x +x 2)·e x
3.若曲线y =x -11
2(a ,a -2
处的切线与两个坐标轴围成的三角形
的面积为18,则a 等于 ( ) A .64 B .32 C .16 D .8
4.若函数f (x ) =e x +a e -x 的导函数是奇函数,并且曲线y =f (x ) 的一条
切线的斜率是3
2
,则切点的横坐标是 ( )
A .-ln 2ln 22 B .-ln 2 C. 2
D .ln 2
5.已知函数f (x ) =f ′ππ
4)cos x +sin x ,则f (4
=________.
题型一导数的运算 例1求函数的导数
(1)y =(1-x ) ⎛ 1⎝
1+⎫x ⎪⎭; (2)y =ln x x (3)y =x e x ; (4)y =tan x .
变式迁移1求下列函数的导数:
(1)y =x 2sin x ; (2)y =3x e x -2x
+e ; (3)y =ln x x +1
题型二求复合函数的导数 例2 (2011·莆田模拟) 求下列函数的导数:
(1)y =(1+sin x ) 2;(2)y =11+x ; (3)y =x +1; (4)y =x e 1-cos x
.
变式迁移2求下列函数的导数:
(1)y =12⎛(1-3x )
4 (2)y =sin ⎝2x +π⎫3⎭; (3)y =x 1+x .
题型三导 数的几何意义 例3已知曲线y =133+4
3
.
(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程; (3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.
变式迁移3求曲线f (x ) =x 3-3x 2+2x 过原点的切线方程.
1332
s =-+2t ,那么速度为零的时刻是__________. 32
一、选择题(每小题5分,共25分) 7.若点P 是曲线f (x ) =x 2-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2
f (1-2Δx )-f (1)的最小距离为________. lim 1.已知函数f (x ) =2ln(3x ) +8x ,则的值为 导数概念课后练习
∆x →0Δx ( ) A .10 B .-10 C .-20 D .20 2.如图是函数f (x ) =x 2
+ax +b 的部分图象,则函数g (x ) =ln x +f ′(x ) 的零点所在的区间是 (
) A. ⎛ 11⎫⎛1⎫
⎝42⎪⎭ B .(1,2 ) C. ⎝21⎪⎭
D .(2,3) 3.若曲线y =x 4的一条切线l 与直线x +4y -8=0垂直,则l 的方程
为 ( )
A .4x -y -3=0 B .x +4y -5=0 C .4x -y +3=0 D .x +4y +3=0 4.已知点P 在曲线y =4e +1
α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的取值范围是( )
A. ⎡⎢⎣0,π⎫⎡ππ⎫⎛π3π⎤⎡3π⎫
4⎪⎭ B. ⎢⎣42⎪⎭ C. ⎝24⎥⎦ D. ⎣4π⎪⎭
5.在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1,2)上的任意x 1,x 2(x 1≠x 2) ,|f (x 2) -f (x 1)|
C .f (x ) =2x D .f (x ) =x 2
二、填空题(每小题4分,共12分) 6.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的位移为8.设点P 是曲线y =x 33
-x 2
-3x -3上的一个动点,则以P 为切点的切线中,斜率取得最小值时的切线方程是__________________. 9.有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板
以3 m/s的速度离开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m 时,梯子上端下滑的速度.
10.已知函数f (x ) =12
2
-a ln x (a ∈R) . (1)若函数f (x ) 的图象在x =2处的切线方程为y =x +b ,求a ,b 的值;
(2)若函数f (x ) 在(1,+∞) 上为增函数,求a 的取值范围.
f (x ) =e x 1-x e x
(1)1+x x 0=2;(2)f (x ) x -x 3+x 2ln x
x ,x 0=1.
围 求下列函数在x =x 0处的导数.
自主梳理 1.
f (x 0+△x ) -f (x 0)
△x
2. (1)△
lim △y x →0
△x
f '(x 0) =△lim △y
x →0△x (2)切线的斜率 切线斜率的取值范
3.y ′或f ′(x)
4.0 αxα-1 cos x -sin x a x ln a e x
1x ln a
1x 5.(1)f ′(x )±g ′(x ) (2)f ′(x ) g (x ) +f (x ) g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )-f (x )g ′(x )[g (x )]自我检测
1.C 2.C 3.A 4.D 5.1
解析 ∵f ′(x ) =-f ′(π
4 x+cos x ,
∴f ′(π
4=2-1.
∴f (π
4
=1.
课堂活动区
例1 解题导引 (1)用导数定义求函数导数必须把分式Δy
Δx Δx 这一因式约掉才可能求出极限,所以目标就是分子中出现Δx ,从而分子分母相约分.
(2)第(1)小题中用到的技巧是“分子有理化”.“有理化”是处理根式问题常用的方法,有时用“分母有理化”,有时用“分子有理化”.
(3)注意在某点处的导数与导数定义式的区别:
f '(x (f (x 0+△x ) -f (x 0)
0) =△lim x →0△x
; f '(x ) =lim
f (x +△x ) -f (x ) △x →0
△x
;
(4)用导数的定义求导的步骤为: ①求函数的增量Δy ;②求平均变化率Δy
Δx
③化简取极限. 解 (1)Δy f (1+Δx )-f (Δx =1)
Δx
△=
∴f '(1)=△y △lim
x →0△x =△lim
x → =-12
(2)Δy f (x +Δx )-f Δx =(x )Δx
11
=-
△x
=(x +2)-(x +2+Δx )Δx (x +2)(x +2+Δx )=-1
(x +2)(x +2+Δx )
, ∴f '(x ) =lim △y -1
△
x →0
△x =△lim x →0(x +2)(x +2+△x )
1
(x +2).
变式迁移1 解 ∵Δy =(x 0+Δx )+1x 0+1
=(x 0+Δx )2+1-x 20-1(x 0+Δx )+1x 0+12x 0Δx +(Δx )2
=(x +Δx )+1+x 1, 00+∴Δy
2x 0
+Δx Δx (x 0+Δx )+1+x 0+1
∴
△y
△△x =
∴y
'=△y △△lim x →0△x =△lim
x → 2x 2x +1x +1
例2 解题导引 求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算,再利用运算法则求导数.在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣求导法则,联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形.
解 (1)∵y =(1-x )
⎛ ⎝
1+1⎫
x ⎭ 1x
-x =x -
11
2-x 2,
∴y ′=(x -
1
12)' -(x 2
)'
=1-3-x 21
-12-2
x 2.
(2)y ′=⎛ ln x ⎫
(ln x )′x -x ′ln x⎝x ⎪⎭
′=x
1
=x -ln x
1-ln x x 2=x
2
. (3)y ′=x ′e x +x (ex ) ′=e x +x e x =e x (x +1) . (4)y ′=⎛ sin x ⎫
(sin x )′cos x -sin x (cos x )′⎝cos x ⎭′=cos x
cos x cos x -sin x (-sin x )1
cos x cos x
变式迁移2 解 (1)y ′=(x 2
) ′sin x +x 2
(sin x ) ′=2x sin x +x 2
cos x .
(2)y ′=(3x e x ) ′-(2x ) ′+(e)′ =(3x ) ′e x +3x (ex ) ′-(2x ) ′ =3x ln 3·e x +3x e x -2x ln 2 =(ln 3+1)(3e)x -2x ln 2.
(3)y ′=(ln x )′(x 2+1)-ln x (x 2+1)′(x +1)1x x 2
+1)-ln x ·
2x =x 2+1-2x 2ln x (x 2+1)2=x (x 2+1)2
.
例3 解题导引 (1)求复合函数导数的思路流程为: 分解复合关系→分解复合关系→分层求导
(2)由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程.
解 (1)y ′=[(1+sin x) 2]′ =2(1+sin x)·(1+sin x ) ′ =2(1+sin x )·cos x =2cos x +sin 2x .
(2)y ′=⎡⎢2
-1
⎤⎣
(1+x ) 2⎥⎦
′
3
=(1+x 2
)
-
2
(1+x 2)'
=-x (1+x 2
)
-32
=
(3)y ′=(lnx +1) ′ 1x +1(x +1) ′
1x +1
12x 2+1) -12·(x 2
+1) ′ x
x +1
(4)y ' =(xe 1-cos x )' =e 1-cos x +x (e 1-cos x )' =e 1-cos x +x [e 1-cos x (1-cos x )']=e
1-cos x
+xe
1-cos x
sin x
=(1+x sin x ) e 1-cos x .
变式迁移3 解 (1)设u =1-3x ,y =u -4. 则y x ′=y u ′·u x ′=-4u -5·(-3) 12(1-3x ). (2)设y =u 2
,u =sin v ,v =2x +π
3
,
则y x ′=y u ′·u v ′·v x ′=2u ·cos v ·2 =4sin ⎛ ⎝2x +π⎫π⎫3⎛
⎭·cos ⎝2x +3⎪⎭
=2sin ⎛ ⎝4x +2π⎫3⎪⎭
. (3)y ′=(x 1+x ) ′ =x ′1+x +x (1+x ) ′
2
1+2
1+x +x 2x 1+x =1+x
例4 解题导引 (1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异;过点P 的切线中,点P 不一定是切点,点P 也不一定在已知曲线上,而在点P 处的切线,必以点P 为切点.
(2)求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率,只要求函数在该点处的导数即可.
(3)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标解决. 解 (1)∵y ′=x 2,
∴在点P (2,4)处的切线的斜率k =y ′|x =2=4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为 y -4=4(x -2) , 即4x -y -4=0.
(2)设曲线y =133+4
⎛133P (2,4)的切线相切于点A ⎝
x 0,3x 0
+4⎫3⎪⎭,则切线的斜率k =y ′|x =x 0=x 20.
∴切线方程为y -⎛ 134⎫⎝30+3⎭
=x 2
0(x -x 0) ,
即y =x 20
x -2334
0+3
. ∵点P (2,4)在切线上,∴4=2x 2
240-330+3
,
即x 30-3x 20+4=0,∴x 30+x 20-4x 2
0+4=0,
∴x 20(x 0+1) -4(x 0+1)(x 0-1) =0, ∴(x 0+1)(x 0-2) 2=0, 解得x 0=-1或x 0=2,
故所求切线方程为4x -y -4=0或x -y +2=0. (3)设切点为(x 0,y 0) ,则
切线的斜率为k =x 20=1,解得x 0=±
1, 故切点为⎛ ⎝
1,5⎫
3⎪⎭,(-1,1) . 故所求切线方程为y -5
3x -1和y -1=x +1,
即3x -3y +2=0和x -y +2=0.
变式迁移4 解 f ′(x ) =3x 2-6x +2. 设切线的斜率为k .
(1)当切点是原点时k =f ′(0)=2,所以所求曲线的切线方程为y =2x .
(2)当切点不是原点时,设切点是(x 0,y 0) ,则有y 0=x 30-3x 2
0+2x 0,k f ′(x 0) =3x 2
0-6x 0+2,①
又k =y 2
x 0=x 0-3x 0+2,②
由①②得x 31
0=2k =-4
∴所求曲线的切线方程为y =-1
4
x .
综上,曲线f (x ) =x 3-3x 2+2x 过原点的切线方程为 y =2x 或y =-1
4x .
课后练习区
1.C 2.C 3.A 4.D 5.A 6.1秒或2秒末 7. 2
8.12x +3y +8=0
x
9.解 (1)∵f ′(x ) =⎛2e ⎫(2e x )′(1-x )-2e x (1-x )′
⎝1-x ⎪⎭
′=(1-x )=
2(2-x )e x
(1-x ),∴f ′(2)=
0. ………………………………………………………………(6分)
(2)∵f ′(x ) =(x -3
2′-x ′+(ln x ) ′
=
-
32
x
-
52
-
1
+
1x
,
∴f ′(1)
=
-
3
2
……………………………………………………(12分) 10.解 设经时间t 秒梯子上端下滑s 米, 则s =5-25-9t , 当下端移开1.4 m 时,……………………………………………………………………(3分)
t 1.4
0=3
=
7
15,……………………………………………………………………………(5分)
又s ′=-11
2(25-9t 2) -2
·(-9·2t )
=9t 125-9t ,……………………………………………………………………
……(10分)
所以s ′(t 71
0) =91525-9×⎛ 7⎫
2
⎝15⎪
⎭
=
=0.875 (m /s ) .
故所求的梯子上端下滑的速度为0.875
与对数函数
m /s . ……………………………………………(12分)
11
.
解
(1)
因
为
f ′(x )
=
x
-
a x (x >0),……………………………………………………(2分)
又f(x ) 在x =2处的切线方程为y =x +b , 所
以
⎧2-a ln 2=2+b ,
⎨
…………………………………………………………
⎩2-a
2=1,
…(5分)
解
得
a =2,b =-2ln
2. ……………………………………………………………………(7分)
(2)若函数f (x)在(1,+∞) 上为增函数, 则
f ′(x ) =x -a
x ≥0
在(1,+∞) 上恒成
立,……………………………………………(10分)
即a ≤x 2在(1,+∞) 上恒成立. 所
以
有
a ≤1.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(14分)
导学目标: 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用.2. 理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点,知道指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数(a>0,a ≠1) 。
自主梳理 1.对数的定义
如果________________,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作__________,其中____叫做对数的底数,______叫做真数.
2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1)
①a log a
N =____; ②log a 1=____;
③log a a N =____; ④log a a =____. (2)对数的重要公式
①换底公式:log b N =________________(a,b 均大于零且不等于1) ; ②log a b =
1
log ,推广log a b ∙log b c ∙log c d =________. b a
(3)对数的运算法则
如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么
①log a (MN)=___________________________;
②log M
a N ______________________;
③log a M n =__________(n∈R) ;
④log n
n
a m
M =m
a M .
3.对数函数的图象与性质
4. 反函数
指数函数y =a x 与对数函数____________互为反函数,它们的图象关于直线______对称.
自我检测
1. 2log510+log 50.25的值为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .4
2.设2a
=5b
=m ,且11
a b
=2,则m 的值为 ( )
A. 10 B .10 C .20 D .100
3.(2009·辽宁) 已知函数f (x ) 满足:当x ≥4时,f (x ) =⎛ 1⎫x
⎝2⎪⎭
;当x
时,f (x ) =f (x +1) .则f (2+log 23) 的值为 ( )
A. 124 B. 112 C. 18 D. 38
4.定义在R 上的偶函数f (x ) 在[0,+∞) 上递增,f (1
3=0,则满足
f (log1x ) >0的x 的取值范围是
8
( )
A .(0,+∞) B .(0,1
2∪(2,+∞)
C .(0,18∪122) D .(0,1
2
)
5.已知0
题型一 对数式的化简与求值 例1 计算:(1)log 2-3(2-) ; (2)1232494
38+lg 245;
(3)已知x -y
y ,求log x
2
=lg x +lg (3-2
2)
y
.
变式迁移1 计算: (1)log72
48+log 12-1
22
log 242-1; (2)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25.
题型二 含对数式的大小比较 例2 (1)比较下列各组数的大小. ①log 2633log 55
②log 1.10.7与log 1.20.7.
(2)已知log 1
,比较2b, 2222a, 2c 的大小关系.
变式迁移2 (1)(2009·全国Ⅱ) 设a =log 3π,b =log 23,c =log 32,则 ( )
A .a >b >c B .a >c >b C .b >a >c D .b >c >a
(2)设a ,b ,c 均为正数,且2a
=log ,(1) b =log 1c
1a 1b ,() =log 2c 222
2,
则 ( )
A .a 例3 已知f (x ) =log a >0且a ≠1) ,如果对于任意的x ∈[1
a x (3,2]都
有|f (x )|≤1成立,试求a 的取值范围.
变式迁移3 已知函数f (x ) =|lg x |,若0
a +2b 的取值范围是
( )
f (x ) =ln x ,则有
A .(22,+∞) B .[22,+∞) C .(3,+∞) D .[3,+∞)
课后练习
1.设M ={y |y =(12) x
,x ∈[0,+∞)},N ={y |y =log 2x ,x ∈(0,1]
则集合M ∪N 等于 ( )
A .(-∞,0) ∪[1,+∞) B .[0,+∞) C .(-∞,1] D .(-∞,0) ∪(0,1) 2.设a =log 51
32,b =ln 2,c =2 ( )
A .a x ,x >0,3.若函数f (x ) =⎪
⎨⎪⎩log 1
2
-x ) ,x
若f (a )>f (-a ) ,则实数a 的取值范围是( )
A .(-1,0) ∪(0,1) B .(-∞,-1) ∪(1,+∞)
A .f (13f (2)
2f (2)
)
5.已知函数f (x ) =a x +log a x (a >0,a ≠1) 在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为
A. 12 B. 1
4 C .2 D .4 二、填空题
6.2lg 52
3
+lg 5·lg 20+lg 22=________.
7.已知函数f (x ) =lg ax +a -2
x
[1,2]上是增函数,则实数a 的
取值范围是____________.
8.已知f (3x ) =4x log 23+233,则f (2)+f (4)+f (8)+„+f (28) =
________.
三、解答题
9.已知f (x ) =2+log 3x ,x ∈[1,9],求y =[f (x )]2+f (x 2) 的最大值
及y 取最大值时x 的值.
.已知函数f (x ) =log a (x +1) -log a (1-x ) ,(1)求f (x ) 的定义域;
(2)判断f (x ) 的奇偶性并予以证明; (3)若a >1时,求使f (x )>0的x 的解集.
a >0且a ≠1.
11.(14分)(2011·郑州模拟) 已知函数f (x ) =lg(a x -b x )(a >1>b >0). (1)求y =f (x ) 的定义域;
(2)在函数y =f (x ) 的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于x 轴;
(3)当a ,b 满足什么条件时,f (x ) 在(1,+∞) 上恒取正值.
1.a x =N(a>0,且a ≠1) x =log a N a N 2.(1)①N ②0 ③N ④1 (2)①log a N log ②loga d (3)①loga M +log a N ②loga M -log a N ③nlog a M
a b
10
3.(1)(0,+∞) (2)R (3)(1,0) 1 0 (4)y >0 y 0 (6)增 (7)减 4. y =log a x y =x 自我检测 1.C 2.A
3.A [因为3
+log .又3+log ⎛1⎫3+log23⎛1⎫311
23) 23>4,故f (3+log 23) = ⎝2⎪⎭= ⎝2⎪⎭·3=24
.]
4.B [由题意可得:f (x ) =f (-x ) =f (|x |),f (|log11
8|)>f (3,f (x )
在[0,+∞)上递增,于是|log118|>3x 的取值范围是(0,1
2∪(2,
+∞).]
5.m >n
解析 ∵m
log a c ·log c b =log a b n . 课堂活动区
例1 解题导引 在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指数与对数互化.
解 (1)方法一 利用对数定义求值: 设log (2+3) (2-3) =x ,
则(2+3) x
=2-3=1
3
=(2+3) -12+,
∴x =-1.
方法二 利用对数的运算性质求解:
log 1
(2+
)
(2-3) =log (2+
3)
(2+)
=log (2+3) (2+) -1=-1.
(2)原式=12-lg 49)-41
32
12=1431
2(5lg 2-2lg 7)-32+2+lg 5) =52-lg 7-2lg 2+lg 7+1
2=12+1
2
=12112=2
(3)由已知得lg(x -y
22
=lg xy ,
∴(
x -y
22
) =xy ,即x 2-6xy +y 2=0.
∴(x y 2-6(x y ) +1=0. ∴x
y =3±22.
⎧x -y >0,∵⎪⎨x >0,⎪⎩y >0,
∴x y >1,∴x
y
=3+22, ∴log x
(3-2
2) y
=log (3-22)
(3+22)
=log
1
-22
3-2
=-1.
变式迁移1 解 (1)原式=log 7
2
48
+log 212-log 242-log 22 =log 7×122
48×42×2=log 133
222
=log 22-2=-2(2)原式=lg 2·(lg 2+lg 50)+lg 25 =21g 2+lg 25=lg 100=2.
例2 解题导引 比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型,解决此类问题的方法很多,①当底数相同时,可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同,真数相同,可转化为同底(利用换底公式) 或利用对数函数图象,数形结合解得;③若不同底,不同真数,则可利用中间量进行比较.
解 (1)①∵log 2
3331=0,
而log 626
55>log51=0,∴log 3355.
②方法一 ∵0log0.71.1>log0.71.2. ∴
1
1
log 1.2
0.71.1log
0.7由换底公式可得log 1.10.7
方法二 作出y =log 1.1x 与y =log 1.2x 的图象,
如图所示,两图象与x =0.7相交可知log 1.10.7
2x 为减函数,
且log 12
2c ,∴b >a >c .
而y =2x 是增函数,∴2b >2a >2c .
变式迁移2 (1)A [a =log 11113π>1,b =223,则2b b >c .]
(2)A [∵a ,b ,c 均为正,
∴log 1112=2a
>1,log 2=(b 2∈(0,1),
log (1
2c =2) c ∈(0,1).
∴0
2,2b
故a
例3 解题导引 本题属于函数恒成立问题,即对于x ∈[1
32]时,
|f (x )|恒小于等于1,恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为
最值问题;二是利用单调性转化为最值问题.由于本题底数a 为参数,需对a 分类讨论.
解 ∵f (x ) =log a x ,
[画出函数f (x ) =|lg x |的图象如图所示.∵0
则y =|f (x )|的图象如右图.
由图示,可使x ∈[1
32]时恒有|f (x )|≤1,
只需|f (11
3a 3≤1,
即log 1
a a -1≤loga 3
a a ,
亦当a >1时,得a -1
≤1
3
≤a ,即a ≥3;
当0
≥11
3≥a ,得0
综上所述,a 的取值范围是(0,1
3∪[3,+∞).
变式迁移3
C
∴01,∴lg a 0.由f (a ) =f (b ) ,
∴-lg a =lg b ,ab =1.
∴b =1a a +2b =a +2a
又0
a
(0,1)上是减函数, ∴a +22
a +13,即a +2b >3.]
课后练习区
1.C [∵x ≥0,∴y =(1
2
x ∈(0,1],∴M =(0,1].
当0
2.C [∵11
a log 23>1,b
=log 2e>1,log 23>log2e.
∴1a 1
b
>1,∴0
∵a =log 32>log3=113
2a >2
M ∪N =∴
b =ln 2>ln e =12b >1
2c =5-111
2=52
,∴c
3.C [①当a >0时,f (a ) =log 2a ,f (-a ) =log 1a ,
2
f (a )>f (-a ) ,即log 1
2a >log 1a =log 22
a
∴a >1
a
,解得a >1.
②当a
2
f (a )>f (-a ) ,即log 1(-a ) >log2(-a ) =log 1
1
2
2
-a
, ∴-a
-a ,解得-1
由①②得-11.]
4.C [由f (2-x ) =f (x ) 知f (x ) 的图象关于直线x =2-x +x
2=1对
称,又当x ≥1时,f (x ) =ln x ,所以离对称轴x =1距离大的x 的函数值大,
∵|2-1|>|13-1|>|1
2-1|,
∴f (11
2)
f (2).]
5.C [当x >0时,函数a x ,log a x 的单调性相同,因此函数f (x ) =a x
+log a x 是(0,+∞)上的单调函数,f (x ) 在[1,2]上的最大值与最小值之和为f (1)+f (2)=a 2+a +log a 2,由题意得a 2+a +log a 2=6+log a 2. 即a 2+a -6=0,解得a =2或a =-3(舍去) .]
6.3 7.(1,2)
解析 因为f (x ) =lg ⎛ a -2⎫
⎝a x ⎪⎭
在区间[1,2]上是增函数,所以g (x ) =a +a -2
x
在区间[1,2]上是增函数,且g (1)>0,于是a -20,
即1
8.2 008
解析 令3x =t ,f (t ) =4log 2t +233,
∴f (2)+f (4)+f (8)+„+f (28) =4×(1+2+„+8) +8×233=4×36+1 864=2 008.
9.解 ∵f (x ) =2+log 3x ,
∴y =[f (x )]2+f (x 2) =(2+log 3x ) 2+2+log 3x 2=log 23x +6log 3x +6=(log3x +3) 2-3. „„(4分)
∵函数f (x ) 的定义域为[1,9],
∴要使函数y =[f (x )]2+f (x 2
) 有意义,必须⎧⎪⎨
1≤x 2
≤9,⎪⎩1≤x ≤9,
∴
1≤x ≤3,∴0≤log3x ≤1,(8分)
∴6≤(log3x +3) 2-3≤13. 当log 3x =1,即x =3时,y max =13.
∴当x =3时,函数y =[f (x )]2+f (x 2
) 取最大值
13. „„„„„„„„„„„„„„„(12分)
10.解 (1)f (x ) =log ⎧⎪x +1>0,
a (x +1) -log a (1-x ) ,则⎨
⎪⎩
1-x >0,
解得-
1
故
所
求
函
数
f (x ) 的定义域为{x |-1
(2)由(1)知f (x ) 的定义域为{x |-1
-
f (x ) ,故f (x ) 为奇函数.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(8分)
(3)因为当a >1时,f (x ) 在定义域{x |-10
x +1
1-x
解得
0
f (x )>0的x 的解集是
{x |0
11.解 (1)由a x
-b x
>0,得(a x a
b ) >1,且a >1>b >0,得b
>1,所以x >0,
即f (x ) 的定义域为(0,+
∞).„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(4分)
(2)任取x 1>x 2>0,a >1>b >0,则a x 1
>a x 2
>0,b x 1
,所以
a x 1-b x 1>a x 2-b x 2>0,
即lg(a x 1
-b x 1
) >lg(a x 2
-b x 2
) .故f (x 1)>f (x 2) .
所
以f (x ) 在(0,+∞)上为增函
数.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(8分)
假设函数y =f (x ) 的图象上存在不同的两点A (x 1,y 1) 、B (x 2,y 2) ,使
直线平行于x 轴,则x 1≠x 2,y 1=y 2,这与f (x ) 是增函数矛盾.
故函数y =f (x ) 的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x 轴.„„„„(10分)
(3)因为f (x ) 是增函数,所以当x ∈(1,+∞)时,f (x )>f (1).这样只需f (1)=lg(a -b )≥0,即当a ≥b +1时,f (x ) 在(1,+∞)上恒取正
值.„„„„„„„„„„„„„„„„„(14分)
⎧x -y +1≥区域⎪
0⎨x +ay -2≤0⎪内任一点,
A (1,-2) ,
⎩
x +4y +1≥0若z =OA ⋅OM 的最大值为5,则a =
8 。 ①f (x ) 在(-∞, +∞) 上不是单调函数
②∃m ∈(0,1),使得方程f (x ) =m 有两个不等的实数解; ③∃k ∈(1, +∞), 使得函数g (x ) =f (x ) -kx 在R 上有三个零点;
④∀x 1, x 2∈R , 若x 1≠x 2, 则f (x 1) ≠f (x 2).
高三数学课间训练7(理优 ) 一、选择题:
1.
是“对任意的正数x
, 的
A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件
2.已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O ,并且经过点M (2, y 0) . 若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=
A
B
C .4 D
3.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2+a 4+a 15的值是一个确定的常数,则数列{S n }中一定为常数的是
A .S 7
B .S 8
C .S 13
D .S 14
4.已知点P 为∆ABC 所在平面上的一点,且AP =x ⋅AB +y ⋅AC ,其中x 、y 为实数,若点P 落在∆ABC 的内部或边界上,则x 2+y 2的最大值是 A .1
B 2
C .1 D.2 5.若函数f (x ) =sin ωx (ω>0) 在区间[
π3, π
2
]上单调递减,则ω取值范围是
A .0≤ω≤230≤ B .ω≤323
2 C.3≤ω≤3 D.2
≤ω≤3
双曲线x 225-y 2
8. 24
=1上的点P 到一个焦点的距离为11, 则它到另一个焦点的距离为
A . 1或21 B . 14或36 C . 1 D . 21
7.已知对任意m ∈R ,直线x +y +m =0都不是f (x ) =x 3-
3ax (a ∈R ) 的切线,则
a 的取值范围是
A
8
F 1, F 2
则该椭圆离心率的取值范围是
A
B
C
D
9.已知x 、y ∈R
A
B
C
D
a ,最小值为b ,则a +b 的值是
10