圆柱与圆锥相贯线的理论分析
第23卷第1期 佳木斯大学学报(自然科学版)
2005 年01月 Journal of Jiamusi University (Natural Science Edition )
文章编号:1008-1402(2005) 01-0098-04①Vol. 23No. 1Jan. 2005
圆柱与圆锥相贯线的理论分析
谭玉华, 陆义南
(齐齐哈尔大学, 黑龙江齐齐哈尔161006)
摘 要: 在工程图学教学中, 对相贯体上的相贯线投影的求解通常运用辅助平面和辅助球面两种方法进行, 使求作相贯线投影的问题变得较为复杂. 本文研究了如何运用程序来实现形体相交和相贯线作图的过程, 并讨论了在几种情况下, 圆柱与圆锥相贯线方程的求解、相贯线的形状及特点分析. 从而实现了将画法几何、计算机图形学和工程制图融为一体的多媒体教学模式.
关键词: 工程图学; 相贯线; 程序; 轨迹
中图分类号: T B23 文献标识码: A
0 引 言
相贯线是两个基本体表面的交线, 在《工程制图》求作相贯线上的特殊位置点和一般位置点的投影, . , , 对其交线的空间形状也难以捕捉. 、运动轨迹及特点分析, 并运用Au 2thorwar , 来实现在多种情况下自动绘出相惯体及相贯线的空, 并达到能准确判断.
1 两回转体相交时相贯线的几何模型
当两回转体相交时, 按其两回转体轴线的相对位置不同, 一般分为以下几种情况:(1) 两相交回转体轴线垂直; (2) 两相交回转体轴线倾斜; (3) 两相交回转体轴线平行. 本文以圆柱与圆锥相交为例分析不同情况下相贯线的空间几何形状及其投影关系.
1. 1 圆柱与圆锥轴线垂直时的相贯线
圆柱与圆锥轴线垂直分两种状况, 一是两轴线垂直正交, (正交时yk =0) . 二是两轴线之间距离yk ≠0. 在图1以圆锥底圆圆心为空间坐标系的原点, 圆柱与圆锥轴线垂直, 且yk >0(yk 为两轴线之间距) , 见图1所示.
1. 1. 1 圆锥表面相贯线的求解
为分析相贯线上点的运动轨迹及其空间几何模型, 首先求出相贯线方程, 再运用程序计算出相贯线上一系列点的坐标即可自动绘出其投影图.
圆锥面方程为[1]:
x +y =[(h -z ) rd/h ]222(1)
(2) 圆柱面方程为[1]:(z -hc
) 2+(y -yk ) 2=rw 2
①收稿日期:2004-10-07作者简介:谭玉华(1959-) , 女, 黑龙江牡丹江人, 齐齐哈尔大学职业技术学院高级讲师.
第1期
谭玉华等:圆柱与圆锥相贯线的理论分析99
式中:h —圆锥高; rd —圆锥底半径; hc —圆柱中心高; rw —圆柱半径; yk —两回转体轴线间偏距
.
(a ) 相贯圆锥轴测图 (b ) 相贯线三面投影图
图1 圆柱与圆锥相贯(yk >0) 的轴测图图2
由(1) , (2) 两式联立可求得相贯线方程.
由参数t (0-1) 计算圆锥底上一点D (xd , yd , zd ) 坐标值, 圆锥顶点S (0, 0, h ) . 则圆锥表面上素线SD 与圆柱面上的两个交点N (xn , yn , zn ) , M (xm , ym , zm ) 也是相贯线上的两个点. 则SD 的空间直线方程为:
(x -xs ) /(xd -xs ) =(y -ys ) /(yd -ys ) =(z -zs ) /(zd -) (3)
由(2) (3) 式即可求出N , M 两点的坐标值.
编写绘图程序绘制N , M 图2(a ) , 锥表面上的SN , MD 两线的轨迹, , 三面投影. 见图2(b ) .
———计算程序[2]
tb :=Pi 3xd :=rd 3yd :=rd 3sin (tb )
k1:=hc 3hc -rw 3rw +yk 3yk
k2:=yd
k3:=-yd/h
ka :=1+k33k3
kb :=23k23k3-23yk 3k3-23hc
kc :=k23k2+k1-23yk 3k2
tt =kb 3kb -43ka 3kc
sq :=sqrt (tt )
zn :=(-kb +sq ) /(23ka )
zm :=(-kb -sq ) /(23ka )
yn :=k2+k33zn
ym :=k2+k33zm
xn :=xd 3(h -zn ) /h
xm :=xd 3(h -zm ) /h
……
式中tt =kb 3kb -43ka 3kc 是判别式当tt
1. 1. 2 圆柱表面相贯线求解
由参数t (0-1) 计算圆柱左边圆周上一点L (xl , yl , zl ) 坐标值, 圆柱右边圆周上点R (xr , yr , zr ) . 则圆
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版) 2005年锥表面上素线SD 与圆柱表面上的两个交点Nl (xnl , ynl , znl ) , MR (xmr , ymr , zmr ) 也是相贯线上的两个点. 由于ynl =yl , znl =zl 通过式(3) 可求解出NL , MR 两点的坐标值. 点NL 与MR 的轨迹也是相贯线. 由编写的绘图程序可得出NL , MR , R , L 点坐标并自动绘出相贯线三面投影与上面求出的相贯线相吻合(yk 值相等) , 由此说明相贯线是相交体表面的共有线这一性质[3].
1. 1. 3 圆柱与圆锥轴线垂直时相贯线形状特点分析
yk 值决定了相贯线的形状, 由此可通过调整yk 值
来获取不同相交状态下的相贯线, 以达到准确判断相
贯线的空间几何形状和准确画出其三面投影.
1. 当yk ≠0, 正投影、水平投影图对称, 侧投影图
不对称, 见图2.
2. 当yk =0相贯线三面投影图均为对称图形, 见
图3.
3. (1) 当圆柱直径较小时, rw
yk/tan (uu ) ]3sin (uu ) , 式中uu =arctan (rd/h ) , 相贯线分成左右两部分如图3(b ) ;
(2) 当圆柱只有一侧超出圆锥轮廓时, 相贯线是一封闭的空间曲线. 如图1、图2所示;
(3) 当圆柱有两侧超出圆锥轮廓时, 相贯线被分成上下两部分;
(4) 当圆柱与圆锥的最前(或最后) 素线相切时, 即rw [h 6yk/]) , 相贯线分成左右两部分并以切点相接.
1. 2, , 其求解过程和判断相贯线上(转向点) 问题变得较为复杂. 如采用绘图程序可输入两轴线倾斜时的不同角度, . 使得我们更加直观地观察到相贯线的空间几何形状并能准确地找出特殊点与分界点的位置, 使得轴线倾斜时相贯线的求解问题变得简单. 下面以圆柱与圆锥轴线倾斜相交为例阐述相贯线的求解及相贯线的特点分析.
1. 2. 1 圆锥表面相贯线
在图4(a ) 中, 当以圆锥底圆圆心作为空间坐标系原点, 圆柱与圆锥轴线夹角用(π/2-uk ) 表示, 并且0
圆锥素线方程为[1]:
圆柱面方程为[1]:
又有x/xd =y/yd =(z -h ) /(-h ) xg +yg =rw 222(4) (5) (6)
(7)
(8) x =xg. cos (uk ) +zg. cos (uk ) z =hc +zg. cos (uk ) -xg. sin (uk ) y =yk +yg
点(xg , yg , zg ) 为圆柱表面上点, 它以圆柱轴线中心为原点, 如图4所示变换坐标系中点的坐标. (4) , (5) , (6) , (7) , (8) 式联立即为相贯线方程. 下面是通过参数t (0-1) 计算圆锥底圆周上一点D (xd , yd , zd ) 坐标值. 求解圆锥素线SD 与斜圆柱面上下两点N 1(xn 1, yn 1, zn 1) , N 2(xn 2, yn 2, zn 2) . 这两点轨迹即为圆柱与圆锥轴线倾斜时圆锥体表面相贯线. 运行程序后便可自动绘出相贯体轴测图及相贯线三面投影, 如图4所示.
计算程序略
1. 2. 2 圆柱表面相贯线
根据公式(4) , (5) , (6) , (7) , (8) , 由参数t (0-1) 计算在变换坐标系中圆柱表面上点的坐标值yg , zg , 求解左右两个交点LN (xln , yln , zln ) , RN (xrn , yrn , zrn ) 及圆柱左右两端点坐标值L (xl , yl , zl ) , R (xr ,
第1
期谭玉华等:圆柱与圆锥相贯线的理论分析101yr , zr ) . 由计算程序可绘出圆柱表面相贯线的三面投影图, 此图与图4(b ) 完全吻合.
1. 2. 3 相贯线的形状特点
轴线倾斜时其相贯线三面投影图均不对称, 见图4(b ) , 当圆柱轴线与x 轴夹角uk =π/12时, 最高点在左侧, 最低点在右侧.
1. 3 圆柱与圆锥轴线平行时的相贯线
上面圆柱与圆锥轴线夹角用(π/2-uk ) 表示,
当uk =π/2时即为两轴线平行, 该相贯线方程的建立
可与圆锥轴线倾斜时相贯线相同, 公式中uk =π/2.
这时相贯线形状特点是:
1) 当偏距yk =0时相贯线是一圆.
2) 当yk ≠0时, 相贯线在正投影面, 和水平投影
面上的投影都是对称图形. (a ) 相贯体轴测图 (b ) 相贯线三面投影图图4 圆住与圆锥轴线倾斜相贯
3) 当yk >0时, 贯线的最高点在圆锥体的最后素线上, 最低点在圆锥体的最前素上.
2 结束语
相贯线上点的坐标, 线三面投影图. 空间相贯线的几何模型, .
参考文献:
[1] 数学手册[M]. 北京:科学出版社,64-67.
[2] 宋一兵等. Authorware 5. 0实用教程[M]. 北京:人民邮电出版社,170-179.
[3] 尚元江等. 工程制图基础[M]. 哈尔滨:黑龙江人民出版社,70-77.
THEORETICAL ANALYSIS ON THE INTERSECTING
LINE OF CYLIN DER AN D CONE
T AN Yu -hua , LU Yi -nan
(Q iqih aer U niversity , Q iqih aer 161006, China)
ABSTRACT : There are tw o methods usually used in drawing process of the body and their intersecting line :the auxiliary -plane and the auxiliary -sphere. But projection method of intersecting line on the body is difficulty in the teaching of engineering drawing. H ow to apply s ome program to realize engineering drawing , including the drawing method and process , is studied in this paper. S ome s olution method of the line of cylinder and cone intersection , shape and their characteristics analysis are discussed , s o that a kind of the multimedia teaching m odel and it included as the descriptive geometry , com puter drawing and engineering drawing may be obtained.
KE Y WOR DS : engineering graphics ; line of intersection ; program ; locus