二阶变系数齐次微分方程通解的求法
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一类二阶变系数齐次微分方程通解的求法
李永利!
摘要!!桑改莲!（河南质量工程职业学院基础部!河南平顶山!!
变系数!齐次方程!通解!常数变易法!中图分类号!&%#’
二阶线性齐次微分方程在微分方程理论中占有重要位置
［%］用观察法探讨了二阶变系数齐次线性微分方程论，但求解变系数微分方程却无一般方法
（#$）%&’（($）%)’（*$）%+$（%）
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情形的推广，本文将探讨方程（%）当（#$）,(’（($）,’（*$）+$（其中,为常数）的通解求法及通解公式，当,+%和,+-%可分别得到［%］的两种情形
为求二阶变系数齐次线性微分方程（%）的通解，我们先求二阶常系数齐次线性微分方程
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（其中.，/，0为常数，.
由二阶齐次线性微分方程通解结构定理可知，欲求（(）的通解，关键是求方程（(）的两个线性无关的特解
对%+),$求导可得：
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若,是方程（*）的一个解，则%+),$必是方程（(）的一个解
方程（%）与方程（(）结构类似，不同的是方程（%）是变系数，方程（(）是常系数，而常系数是变系数的特例
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解题时，我们既可按照上述方法进行常数变易，求其通解，亦可按公式（’）求出通解
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参考文献
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------------------------------------------（上接第!.页）+所以原方程组的通解为：
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评刊摘录+李鸿祥（同济大学）+!1“纪念英年早逝的数学家陆家羲”是一篇怀念自学成材的数学精英的好文章，介绍了陆家羲的数学成就，追述了他长期身处逆境、饱受磨难、忍辱负重、独立攻关终于攀登上数学中的一座高峰，把他的一生贡献给了数学事业，可歌可敬0感谢我刊主编张肇炽教授撰写了这样一篇充满热情、感人至深的文章，它对大学生、广大数学教师和数学爱好者将会起到鼓励、启迪作用，也对我国数学界特别是学术刊物的编委们及审稿人提出了预警：要重视无名小辈、业余爱好者对数学难题的挑战，要组织好审稿班子，完善审稿程序，不要再发生扼杀有创造性的研究成果的事了；对于不成熟的或存在某些问题的稿子，能给予鼓励、指导和帮助，使他们走上研究数学之路，从而扩大我国数学研究者的阶伍，为实现已故数学大师陈省身教授的
“在‘全国第一届数学史与数学教育会议’上的发言”（下转/.页）预言———中国将成为世界数学大国———作出努力0
一类二阶变系数齐次微分方程通解的求法
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年，卷(期)：
被引用次数：李永利， 桑改莲河南质量工程职业学院基础部,河南平顶山,467000高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2006，9(3)2次
参考文献(1条)
1.张清芳.库在强 用观察法求某些二阶系数齐次方程的通解[期刊论文]-高等数学研究 2005(03)
相似文献(10条)
1.期刊论文 邹明辉.刘会民 二阶变系数线性齐次方程的三个可积充分条件 -鞍山师范学院学报2004,6(4) 利用变量代换和凑项的方法,给出了二阶变系数线性齐次方程的三个可积充分条件,并得出求解方程的通解公式.
2.期刊论文 张清芳.库在强 用观察法求某些二阶变系数齐次方程的通解 -高等数学研究2005,8(3) 从观察入手,探讨了某些二阶变系数齐次方程的通解方法.
3.期刊论文 郑国萍.申玉发.赵立强 二阶变系数常微分方程的恰当因子解法 -河北职业技术师范学院学报2001,15(3)
针对二阶变系数常微分方程求解的两个基本方法,给出了求对应的齐次方程特解的方法和求恰当因子的方法.
4.期刊论文 林艺.LIN Yi 关于四阶变系数线性方程的不变量 -青岛化工学院学报2000,21(1)
讨论了一般形式的四阶变系数线性齐次方程,给出了在自变量变换下的不变量组.同时还给出了两个推论和一个作为应用的例子.丈中的主要结论是文献[1]的推广.
5.期刊论文 胡华 几类变系数二阶线性微分方程的解法 -上饶师专学报2000,20(3)
给出了二阶线性微分方程求通解的一般公式,并对几类变系数的二阶线性齐次微分方程化为常系数的微分方程作了详细的讨论.
6.期刊论文 刘继合 解变系数线性微分方程的特征方程法 -四川师范大学学报(自然科学版)2002,25(2) 给出了一种简便易行的未知函数变换,利用它可使变系数线性非齐次微分方程的求解问题转化为求其对应特征方程的常数解的(代数)问题.
7.学位论文 龚东山 几类常差分方程精确解的研究 2009
差分方程研究的主要内容包括两个问题：差分方程的精确解和方程解的定性分析。其中对于解的定性分析研究，一般以差分模型为基础，具体讨论差分方程的稳定性、有界性、振动性、渐近性、周期性和概周期性等问题，相关的研究在过去几十年中取得了许多重要的成果。然而对于差分方程精确解的研究则相对滞后。尽管许多学者在寻找差分方程的精确解方面取得了一定的进展，但仍有许多结论还不太成熟：在线性若分方程中，有些论证还不是很完善，一般函数的和分不易得到；常系数齐次线性方程的多重特征根所对应特解的线性无关性并非显然；变系数线性方程的主要结论还停留在解的结构与形式上，缺乏一个普适性的方法；在非线性差分方程中，即使是一阶的离散黎卡提方程，也很难得到精确解。
本文重点讨论了定义在整数集Z或它的子集D上的几类常差分方程精确求解方法与解的显式表达。所得的主要结论如下： I)对于线性齐次差分方程
Eny(k)+a1(k)En-1y(k)+…+an-1(k)Ey(k)+an(k)y(k)=0(1)
可以得到方程(1)的解结构，指出其通解为y(k)=c1y1(k)+c2y2(k)+…+cnyn(k)的形式，其中c1，c2，…，cn是独立的任意常数
，y1(k)，y2(k)，…，yn(k)是方程(1)的一个基本解组。通过运用参数待定法(阮炯，2002)，论证了常系数线性齐次差分方程的多重特征根所对应的全部特解存在线性无关性，并推导出该差分方程的通解表达式。
II)对于线性非齐次差分方程
Eny(k)+a1(k)En-1y(k)+…+an-1(k)Ey(k)+an(k)y(k)=f(k)(2)
证明了方程(2)的通解等于它的一个特解与相应的齐次方程(1)的通解之和。如果已知齐次方程的一个基本解组，可运用常数变异法与函数和分计算，得到非齐次方程的一个特解的形式表达。
1.对于常系数线性非齐次差分方程，利用特征函数法(李自珍，龚东山，2009)得到非齐次项.厂(七)为多项式、指数函数、三角函数、多项式与指数函数的乘积、对数函数以及它们的线性组合时的公式化特解。该方法简便易行，克服了常数变异法(Paul Mason
Batchelder，1927)、比较系数法(Saber Elaydi，2005)及拉普拉斯变换法(张广，张高英，2001)等传统方法计算工作量过人的缺陷，且特解形式非常直观。
2.对于几类可精确求解的变系数线性差分方程，利用构造函数法，将某些变系数方程化为常系数差分方程；通过引入变上限定和分，给出了一阶变系数线性差分方程的通解：运用函数积分法，得到了系数为线性函数时方程的通解；利用观察法找到方程的一个特解，并以此特解为基础，得出二阶变系数线性齐次方程的通解；借助降阶法，当差分方程的系数函数满足一定条件时，将复合差分方程问题化成若干个一阶变系数线性差分方程的求解问题。
III)对于线性差分方程组得到了该方程组有解的一个充要条件，加强了王联(1991)关于一阶线性差分方程组与高阶线性差分方程同解的充分性结论，完善了线性差分方程精确解的理论体系，并利用线性代数与矩阵理论，推导出常系数线性差分方程组精确解的显式表达。 IV)对于两类非线性差分方程
通过引入独立通解(龚东山，2008)，得到了(4)与(5)相应齐次方程的通解表示。研究表明：这两类齐次差分方程的通解由若干个独立通解共同构成，且独立通解的个数与差分方程的阶数无关；当非齐次项为某些特殊函数时，给出了方程的若干个特解，且特解的个数与方程的
次数有关，并论证了这些特解的线性相关性。
8.期刊论文 张红兵.岳新年.ZHANG Hong-bing.YUE Xin-nian 二阶变系数齐次线性常微分方程(特、通)解与系数的关系 -孝感学院学报2006,26(3)
探讨了某些特殊类型二阶变系数齐次线性常微分方程的解与系数的广义关系,尝试了从理论上给出通解的一般形式和特解的系数决定式.
9.期刊论文 习军明.徐玉名 几种特殊类型二阶变系数线性齐次方程的多种解法 -井冈山师范学院学报2003,24(5)
就几种特殊类型的二阶变系数线性齐次方程讨论它的通解求法.
10.期刊论文 曹根牛 二阶变系数齐次线性微分方程与黎卡提方程 -西安科技学院学报2004,24(2)
工程上有许多问题归结为求二阶线性变系数齐次微分方程y″+p1(x)y′+p2(x)y=0的解,但解这个方程一般情况下是比较困难的.就已知该方程一个解和已知黎卡提方程z′=-[z2+p1(x)z+p2(x)]的一个解2种形式给出了该方程的通解的表达式,同时,又揭示了二阶线性变系数齐次微分方程与黎卡提方程的内在联系.
引证文献(2条)
1.邢春峰.袁安锋 二阶变系数线性非齐次微分方程的通解公式[期刊论文]-北京联合大学学报（自然科学版） 2007(4)
2.何基好.秦勇飞 一类二阶线性变系数微分方程通解的解法[期刊论文]-贵州大学学报（自然科学版）2009(6)
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下载时间：2010年8月8日