高二数学必修5数列通项公式的求法归纳(精)
数列通项公式的四大题型
类型一: 观察分析法(已知前几项,写通项公式)
具体方法有:
(1)联想比较法。如由-1,2,-3,4,-5,······ 联想到数列-1,1,-1,1,······和1,2,3,4,5,······ ,可得a n =(-1) n ∙n ;
由3,6,11,18,27,······联想到数列1,4,9,16,25,······,可得a n =n 2+2; 由, , , 13572n -1, ······可知该数列中各项分式的分子为2n-1, 而分母比分子多4,故a n =. 579112n +3
(2)逐差法。如1,3,5,7,9,······,可发现:3-1=5-3=7-5=9-7=2,于是归纳得 a n =2n -1.
(3)逐商法. 如1,3,9,27,81,······可发现392781====3, 于是归纳可得 a n =3n -1. 13927
(4)待定系数法. 如:3,6,11,18,27,38,······,一次逐差得数列3,5,7,9,11,······,二次逐差得数列 2,2,2,2,······,一般地,逐差k 次后可得常数列,则通项公式可设为k 次多项式. 可以猜想通项公式为a n =an 2+bn +c . 令n=1,2,3,得
a+b+c=3 ○1 4a+2b+c=6 ○2 9a+3b+c=11 ○3 联立○1○2○3可得a=1,b=0,c=2.
经检验适合,故a n =n 2+2.
类型二:定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
2例1.等差数列{a n }是递增数列,前n 项和为S n ,且a 1, a 3, a 9成等比数列,S 5=a 5.求数列{a n }的通项公
式.
解:设数列{a n }公差为d (d >0)
2∵a 1, a 3, a 9成等比数列,∴a 3=a 1a 9,即(a 1+2d ) 2=a 1(a 1+8d ) ⇒d 2=a 1d
∵d ≠0, ∴a 1=d ………………………………①
2∵S 5=a 5 ∴5a 1+5⨯4⋅d =(a 1+4d ) 2…………② 2
由①②得:a 1=33333,d = ∴a n =+(n -1) ⨯=n 55555
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。 类型三:前n 项和法 (已知前n 项和,求通项公式)
若已知数列的前n 项和S n 与a n 的关系,求数列{a n }的通项a n 可用公式a n =⎨⎧S 1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n =1求解。 ⎩S n -S n -1⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ≥2例2.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n +(-1) n , n ≥1.求数列{a n }的通项公式。
解:由a 1=S 1=2a 1-1⇒a 1=1
n a =S -S =2(a -a ) +2⨯(-1) , n ≥2n n n -1n n -1当时,有
∴a n =2a n -1+2⨯(-1) n -1,
a n -1=2a n -2+2⨯(-1) n -2, ……,a 2=2a 1-2.
∴a n =2n -1a 1+2n -1⨯(-1) +2n -2⨯(-1) 2+ +2⨯(-1) n -1
=2n -1+(-1) n [(-2) n -1+(-2) n -2+ +(-2)]
=2n -12[1-(-2) n -1]-(-1) 3n
2=[2n -2+(-1) n -1].3
经验证a 1=1也满足上式,所以a n =2n -2[2+(-1) n -1] 3
点评:利用公式a n =⎨⎧S n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n =1求解时,要注意对n 分类讨论,但若能合写时一定要合并. S -S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ≥2n -1⎩n
类型四:由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
题型1: 递推公式为a n +1=a n +f (n )
解法:把原递推公式转化为a n +1-a n =f (n ) ,利用累加法(逐差相加法) 求解。 例3. 已知数列{a n }满足a 1=
解:由条件知:a n +1-a n =11,a n +1=a n +2,求a n 。 2n +n 1111==- 2n +n n (n +1) n n +1
分别令n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, (n -1) ,代入上式得(n -1) 个等式累加之,即
(a 2-a 1) +(a 3-a 2) +(a 4-a 3) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(a n -a n -1)
1111111=(1-) +(-) +(-) +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(-) 22334n -1n
所以a n -a 1=1-113111 a 1=, ∴a n =+1-=-(n ≥2) n 22n 2n
a 1=31311==-满足上式 故∴a n =- 2212n
题型2 :递推公式为a n +1=f (n ) a n 解法:把原递推公式转化为a n +1=f (n ) ,利用累乘法(逐商相乘法) 求解。 a n
2n a n ,求a n 。 ,a n +1=3n +1例4. 已知数列{a n }满足a 1=
解:由条件知a n +1n ,分别令n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, (n -1) ,代入上式得(n -1) 个等式累乘之,即 =a n n +1
a a a 2a 3a 4123n -11∙∙∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⇒n = n a 1a 2a 3a n -1234a 1n
又 a 1=22, ∴a n =(n ≥2) 33n
a 1=22满足上式 故∴a n = 33n
注:由a n +1=f (n ) a n 和a 1确定的递推数列{a n }的通项还可以如下求得: 所以a n =f (n -1) a n -1, a n -1=f (n -2) a n -2,∙∙∙,a 2=f (1) a 1依次向前代入,得 a n =f (n -1) f (n -2) ⋅⋅⋅f (1) a 1,
题型三、形如 a n +1=pa n
qa n +p 的递推式
解法:取倒法构造辅助数列
例5:
数列{a n }满足:a 1=1, a n +1
求{a n }通项公式
解: a n =
a n =, 2a n +1 a n -112a +11 =n -1=+22a n -1+1a n a n -1a n -1
⎧1⎫1 ⎨⎬是以 为首项,以2为公差的等差数列a 1⎩a n ⎭
题型4、 递推式:a n +1=pa n +f (n )
解法:只需构造数列{b n },消去f (n )带来的差异.其中f (n )有多种不同形式 ①f (n )为常数,即递推公式为a n +1=pa n +q (其中p ,q 均为常数,(pq (p -1) ≠0) )。
解法:转化为:a n +1-t =p (a n -t ) ,其中t =q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1-p
例6. 已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n +3,求a n .
解:设递推公式a n +1=2a n +3可以转化为a n +1-t =2(a n -t ) 即a n +1=2a n -t ⇒t =-3. 故递推公式为a n +1+3=2(a n +3) , 令b n =a n +3,则b 1=a 1+3=4, 且b n +1a n +1+3==2. 所以{b n }是以b 1=4为首项,2为b n a n +3
公比的等比数列,则b n =4⨯2n -1=2n +1, 所以a n =2n +1-3.
②f (n )为一次多项式,即递推公式为a n +1=pa n +rn +s
解法:转化为:a n +1-[A (n +1) +B ]=p [a n -(An +B )],其中A =,再利用换元法转化为等比数列求解。 例7.设数列{a n }:a 1=4, a n =3a n -1+2n -1, (n ≥2) ,求a n .
解:设b n =a n +An +B ,则a n =b n -An -B ,将a n , a n -1代入递推式,得 b n -An -B =3[b n -1-A (n -1) -B ]+2n -1=3b n -1-(3A -2) n -(3B -3A +1)
⎧⎪A =3A -2∴⎨⇒⎪⎩B =3B -3A +1⎧A =1 ⎨B =1⎩
∴取b n =a n +n +1…(1)则b n =3b n -1, 又b 1=6,故b n =6⨯3n -1=2⨯3n 代入(1)得a n =2⨯3n -n -1
备注:本题也可由a n =3a n -1+2n -1 ,a n -1=3a n -2+2(n -1) -1(n ≥3)两式相减得a n -a n -1=3(a n -1-a n -2) +2转化为b n =pb n -1+q 求之.
③ f (n ) 为n 的二次式,则可设b n =a n +An 2+Bn +C ;
题型5 :递推公式为a n +1=pa n +q n (其中p ,q 均为常数,(pq (p -1)(q -1) ≠0) )。 (或a n +1=pa n +rq n , 其中p ,q, r均为常数)
解法:该类型较题型3要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以q n +1,得:引入辅助数列{b n }(其中b n =例8. 已知数列{a n }中,a 1=
解:在a n +1=a n +1p a n 1=∙+ q n +1q q n q a n p 1b =b +),得:再应用类型3的方法解决。 n +1n n q q q 511n +1, a n +1=a n +() ,求a n 。 632112a n +() n +1两边乘以2n +1得:2n +1∙a n +1=(2n ∙a n ) +1 323
22b n +1, 应用例7解法得:b n =3-2() n 33令b n =2n ∙a n ,则b n +1=
所以a n =b n 1n 1n =3() -2() n 232
题型5: 递推公式为a n +2=pa n +1+qa n (其中p ,q 均为常数)。
解法:先把原递推公式转化为a n +2-sa n +1=t (a n +1-sa n ) 其中s ,t 满足⎨法求解。
例9. 已知数列{a n }中,a 1=1, a 2=2, a n +2=
解:由a n +2=⎧s +t =p ,再应用前面类型3的方⎩st =-q 21a n +1+a n ,求a n 。 3321a n +1+a n 可转化为a n +2-sa n +1=t (a n +1-sa n ) 33
即a n +22⎧1s +t =⎧s =1⎧⎪s =-⎪⎪⎪3=(s +t ) a n +1-sta n ⇒⎨⇒⎨3 1或⎨t =-⎪st =-1⎪⎪3⎩⎩t =1⎪3⎩
1⎧s =1⎧⎪⎪s =-这里不妨选用⎨3,大家可以试一试),则1(当然也可选用⎨t =-⎪⎪3⎩t =1⎩
11a n +2-a n +1=-(a n +1-a n ) ⇒{a n +1-a n }是以首项为a 2-a 1=1,公比为-的等比数列, 所以33
1a n +1-a n =(-) n -1, 应用类型1的方法,分别令n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅⋅⋅⋅, (n -1) ,代入上式得(n -1) 个等式累加之,即3
11-(-) n -1
111a n -a 1=(-) 0+(-) 1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(-) n -2= 13331+3
又 a 1=1,所以a n =731n -1-(-) 。 443