圆锥曲线与方程
圆锥曲线方程及性质
一.课标要求:
1.了解圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;
2.经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程,掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质;
3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道双曲线的有关性质。 二.命题走向
本讲内容是圆锥曲线的基础内容,也是高考重点考查的内容,在每年的高考试卷中一般有2~3道客观题,难度上易、中、难三档题都有,主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质,从近十年高考试题看主要考察圆锥曲线的概念和性质。圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例,且选择题、填空题和解答题都涉及到,客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法。
对于本讲内容来讲,预测07年:
(1)1至2道考察圆锥曲线概念和性质客观题,主要是求值问题;
(2)可能会考察圆锥曲线在实际问题里面的应用,结合三种形式的圆锥曲线的定义。
三.要点精讲
1.椭圆
(1)椭圆概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点,则有|MF。 1||MF2|2a
x2y2y2x2
椭圆的标准方程为:221(ab0)(焦点在x轴上)或221(ab0)(焦点
abab
在y轴上)。
注:①以上方程中a,b的大小ab0,其中cab;
2
2
2
x2y2y2x22
②在221和221两个方程中都有ab0的条件,要分清焦点的位置,只要看x和
abab
x2y22
1(m0,n0,mn)当mn时表示焦点在x轴上的椭圆;y的分母的大小。例如椭圆
mn
当mn时表示焦点在y轴上的椭圆。
(2)椭圆的性质
x2y2
①范围:由标准方程221知|x|a,|y|b,说明椭圆位于直线xa,yb所围成的
ab
矩形里;
②对称性:在曲线方程里,若以y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,点(x,y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,以x代替x方程不变,则曲线关于y轴对称。若同时以x代替x,y代替y方程也不变,则曲线关于原点对称。
所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点:确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程
),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y0得xa,即中,令x0,得yb,则B1(0,b
A1(a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时,线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为a;在RtOB2F2中,|OB2|b,|OF2|c,
|B2F2|a,且|OF2|2|B2F2|2|OB2|2,即c2a2c2;
c
④离心率:椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。∵ac0,∴0e1,且e越接近1,
a
c就越接近a,从而b就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时,c0,两焦点重合,图形变为圆,方程为x2y2a2。
2.双曲线
(1)双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(||PF1||PF2||2a)。 注意:①(*)式中是差的绝对值,在02a|F1F2|条件下;|PF1||PF2|2a时为双曲线的一支(含F2的一支);|PF2||PF;②当2a|F1|2a时为双曲线的另一支(含F1F2|时,1的一支)
||PF1||PF2||2a表示两条射线;③当2a|F1F2|时,||PF1||PF2||2a不表示任何图形;④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点,|F1F2|叫做焦距。
椭圆和双曲线比较: 椭 圆
|PF1||PF2|2a(2a|F1F2|) 定义 方程
x2y2
1 a2b2
F(c,0)
x2y2
1 b2a2
F(0,c)
双 曲 线
||PF1||PF2||2a(2a|F1F2|)
x2y2
1 a2b2
F(c,0)
y2x2
1 a2b2
F(0,c)
焦点
注意:如何有方程确定焦点的位置!
(2)双曲线的性质
x2y2
①范围:从标准方程221,看出曲线在坐标系中的范围:双曲线在两条直线xa的外侧。
ab
22
即xa,xa即双曲线在两条直线xa的外侧。
x2y2
②对称性:双曲线221关于每个坐标轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是双曲线的对称轴,
ab
x2y2
原点是双曲线221的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
ab
x2y2
③顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线221的方程里,对称轴是x,y轴,
ab
x2y2
所以令y0得xa,因此双曲线和x轴有两个交点A(a,0)A2(a,0),他们是双曲线221的
ab
顶点。
令x0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点。
1)注意:双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2)实轴:线段AA2叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴:线段BB2叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线:注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近
x2y2
线。从图上看,双曲线221的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近。
ab
⑤等轴双曲线:
1)定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:ab; 2)等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:yx ;(2)渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立。
22
3)注意到等轴双曲线的特征ab,则等轴双曲线可以设为:xy(0) ,当0时交
点在x轴,当0时焦点在y轴上。
x2y2y2x2
1与1的区别:三个量a,b,c中a,b不同(互换)c相同,还有焦点所在⑥注意
169916
的坐标轴也变了。
3.抛物线
(1)抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。
方程y22px
p0叫做抛物线的标准方程。
pp
,0),它的准线方程是x ;
22
注意:它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F((2)抛物线的性质
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式:y22px,x22py,x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:
标准方程
y22px(p0)
y22px(p0)
x22py(p0)
x22py(p0)
图形
焦点坐标 准线方程
范围 对称性 x轴 x轴
(0,0) (0,0) 顶点
e1 e1 离心率
说明:(1)通径:过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;(2)抛物线的几何性质的特点:有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;(3)注意强调p的几何意义:是焦点到准线的距离。 四.典例解析
题型1:椭圆的概念及标准方程
例1.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10;
(2)两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2),并且椭圆经过点((3)焦点在x轴上,a:b2:1,c
(4)焦点在y轴上,ab5,且过点(; (5)焦距为b,ab1;
2
2
p
(,0) 2
px
2x0
(
p
,0) 2px
2x0
p(0,)
2py
2y0 y轴 (0,0) e1 p(0,)
2py
2y0 y轴 (0,0) e1
35,); 22
(6)椭圆经过两点(
35
,),。 22
x2y2
解析:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为221(ab0),
ab
222
∵2a10,c4,∴bac9,
x2y2
1。 所以,椭圆的标准方程为
259
y2x2
(2)∵椭圆焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为221(ab0),
ab
由椭圆的定义知,
2a
222
∴a10,又∵c2,∴bac1046,
y2x2
1。 所以,椭圆的标准方程为
106
(3
)∵c
a2b2c26,①
2
2
又由a:b2:1代入①得4bb6, ∴b2,∴a8,又∵焦点在x轴上,
2
2
x2y2
1。 所以,椭圆的标准方程为82y2x2
(4)设椭圆方程为221,
ab
22
∴21,∴b2,
b222
又∵ab5,∴a3,
y2x2
1. 所以,椭圆的标准方程为32
(5)∵焦距为6,∴c3, 222
∴abc9,又∵ab1,∴a5,b4,
x2y2y2x2
1或1. 所以,椭圆的标准方程为
25162516x2y2
1(m,n0)(6)设椭圆方程为, mn
5232
()()1 由m得m6,n10, n351mn
y2x2
1. 所以,椭圆方程为
106
点评:求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义,还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系。 例2.(1)(06山东)已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,
则该椭圆的标准方程是 。
(2)(06天津理,8)椭圆的中心为点E(1,0),它的一个焦点为F(3,0),相应于焦点F的准线方程为x
7
,则这个椭圆的方程是( ) 2
2(x1)22y2
1 A.
213(x1)2
y21 C.
5
2(x1)22y2
1 B.
213(x1)2
y21 D.
5
b2422y2a2b,ca161为所求; 解析:(1
)已知
222164abc
F((2)椭圆的中心为点E(1,0),它的一个焦点为F(3,0),
7
∴ 半焦距c2,相应于焦点F的准线方程为x.
2
a25(x1)2222
y1,选D。 ∴ ,a5,b1,则这个椭圆的方程是
c25
点评:求椭圆方程的题目属于中低档题目,掌握好基础知识就可以。 题型2:椭圆的性质
例3.(1)(06山东理,7)在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为( )
(A)2 (B)
122
(C) (D)
224
x2y2
(2)(1999全国,15)设椭圆22=1(a>b>0)的右焦点为F1,右准线为l1,若过F1且垂直于
ab
x轴的弦的长等于点F1到l1的距离,则椭圆的离心率是 。
x2y22b2a22
c1,据此求出e=解析:(1)不妨设椭圆方程为221(ab0),
则有,acab2
选B。
12b2
(2);解析:由题意知过F1且垂直于x轴的弦长为,
2a
21c112b2a2
∴,∴,即e=。 c,∴
2aca2ac
点评:本题重点考查了椭圆的基本性质。
例4.(1)(2000京皖春,9)椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆中心到其准线距离是( )
A.
3
4
B.
4
5
C.
8
5
D.
43 3
x2y2
(2)(1998全国理,2)椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y
123
轴上,那么|PF1|是|PF2|的( )
A.7倍
B.5倍
C.4倍
D.3倍
a2
解析:(1)D;由题意知a=2,b=1,c=,准线方程为x=±,
c
∴椭圆中心到准线距离为
43
. 3
3),即|PF2|=,|PF1|=,222
(2)A;不妨设F1(-3,0),F2(3,0)由条件得P(3,±因此|PF1|=7|PF2|,故选A。
点评:本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想,具有较强的思辨性,是高考命题的方向。 题型3:双曲线的方程
P到F1,F2的距离差的绝对值等于6,求双例5.(1)已知焦点F1(5,0),F2(5,0),双曲线上的一点
曲线的标准方程;
x2y2
1共焦点且过点的双曲线的方程; (2)求与椭圆
255
(3)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点P1,P
2坐标分别为(3,,5),求双曲线的标准方程。
9
4
x2y2
解析:(1)因为双曲线的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为221(a0,b0),
ab
222
∵2a6,2c10,∴a3,c5,∴b5316。
x2y2
1; 所以所求双曲线的方程为
916
x2y2x2y2
1的焦点为0),(2)椭圆,可以设双曲线的方程为221,则(5,0)255ab
a2b220。
182
又∵过点,∴221。
ab
2222
综上得,a20b
1。
点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量a,b,c之间的关系。
y2x2
(3)因为双曲线的焦点在y轴上,所以设所求双曲线的标准方程为221(a0,b0)①;
ab
∵点P1,P2在双曲线上,∴点P1,P2的坐标适合方程①。
32
21b9将(3,
,5)分别代入方程①中,得方程组: 92
425()
221
ba
1111a216
将2和2看着整体,解得,
11abb29
2y2x2a16
1。 ∴2即双曲线的标准方程为169b9
点评:本题只要解得a2,b2即可得到双曲线的方程,没有必要求出a,b的值;在求解的过程中也可以
用换元思想,可能会看的更清楚。
例6.(06上海卷)已知双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4,则双曲线的标准方程是____________________.
解析:双曲线中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为
x2y2
5:4,即c:b5:4,解得c5,b4,则双曲线的标准方程是1;
916
点评:本题主要考查双曲线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力。充分挖掘双曲线几何性质,数形结合,更为直观简捷。 题型4:双曲线的性质
x2y2
例7.(1)(06福建卷)已知双曲线221(a>0,b
ab
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
y2
(2)(06湖南卷)过双曲线M:x21的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐
b
2
近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )
2
2
D. 3
2
xyπ
(3)(06陕西卷)已知双曲线2- 2)的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为( )
a2363
A.2 B.3 C.33
x2y2o
解析:(1)双曲线221(a0,b0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线
ab
b
的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,
a
2
a2b2b2c≥4,∴ e≥2,选C。 ∴ ≥3,离心率e=2
aaa2
y22
(2)过双曲线M:x21的左顶点A(1,0)作斜率为1的直线l:y=x-1, 若l与双曲线M的
b
y22
两条渐近线x20分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2), 联立方程组代入消元得
b
(b21)x22x10,
2
xx121b2
∴ ,x1+x2=2x1x2,
xx1121b2
1
x14
又|AB||BC|,则B为AC中点,2x1=1+x2,代入解得,
1x22
c
∴ b2=9,双曲线M的离心率
e=A。
a
x2y2π22
1(a>2)的两条渐近线的夹角为
,则tan(3)双曲线2,∴ a=6,双曲线
3a2a63
23
的离心率为 ,选D。
3
点评:高考题以离心率为考察点的题目较多,主要实现a,b,c三元素之间的关系。
x2y2
1的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x例8.(1)(06江西卷)P是双曲线-=
916
-5)+y=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( )
A. 6 B.7 C.8 D.9
(2)(06全国卷I)双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2倍,则m A.
2
2
2
2
11
B.4 C.4 D. 44
(3)(06天津卷)如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y那么它的两条准线间的距离是( )
2x,
A.63 B.4 C.2 D.1 解析:(1)设双曲线的两个焦点分别是F1(-5,0)与F2(5,0),则这两点正好是两圆的圆心,当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大,此时|PM|-|PN|=(|PF1|-2)-(|PF2|-1)=10-1=9故选B。
(2)双曲线mxy1的虚轴长是实轴长的2m=
2
2
1
,选A。 4
x2
倍,∴ m
4
2x,
(3)如果双曲线的两个焦点分别为F1(3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y
a2b29
a23a2
2,选C。 ∴
b,解得2,所以它的两条准线间的距离是2cb6
a
点评:关于双曲线渐近线、准线及许多距离问题也是考察的重点。 题型5:抛物线方程
例9.(1))焦点到准线的距离是2;
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,2),求它的标准方程。
解析:(1)y=4x,y=4x,x=4y,x=4y;
方程是x=8y。
点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解。 题型6:抛物线的性质
2
2
2
2
2
x2y2
1的右焦点重合,例10.(1)(06安徽卷)若抛物线y2px的焦点与椭圆则p的值为( ) 62
2
A.2 B.2 C.4 D.4 (2)(浙江卷)抛物线y28x的准线方程是( )
(A) x2 (B) x4 (C) y2 (D) y4 (3)(06上海春)抛物线y24x的焦点坐标为( )
(A)(0,1). (B)(1,0). (C)(0,2). (D)(2,0)
x2y2
1的右焦点为(2,0),所以抛物线y22px的焦点为(2,0),则p4,故解析:(1)椭圆62
选D;
(2)2p=8,p=4,故准线方程为x=-2,选A;
(3)(直接计算法)因为p=2 ,所以抛物线y=4x的焦点坐标为
。应选B。 点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例11.(1)(全国卷I)抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是( ) A.
2
478
B. C. D.3 355
(2)(2002全国文,16)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在y轴上; ②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6; ④抛物线的通径的长为5;
⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)。
(3)(2001广东、河南,10)对于抛物线y=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( ) A.(-∞,0)
2
2
B.(-∞,2] C.[0,2]
2
2
D.(0,2)
能使这抛物线方程为y=10x的条件是 .(要求填写合适条件的序号)
解析:(1)设抛物线yx上一点为(m,-m),该点到直线4x3y80的距离为
|4m3m28|24
,当m=时,取得最小值为,选A;
335
(2)答案:②,⑤
解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B
y
解析:设点Q的坐标为(0,y0),
4y222
由 |PQ|≥|a|,得y0+(0-a)≥a.
4
整理,得:y0(y0+16-8a)≥0, ∵y0≥0,∴y0+16-8a≥0.
2
22
2
2
2
yy
即a≤2+0恒成立.而2+0的最小值为2.
88
∴a≤2.选B。
点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题。 五.思维总结
在复习过程中抓住以下几点:
(1)坚持源于课本、高于课本,以考纲为纲的原则。高考命题的依据是《高考说明》.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定,其实质是精通课本,而本章考题大多数是课本的变式题,即源于课本,因此掌握双基、精通课本是关键;
(2)在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧,椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题,若能用定义法,可避免繁琐的推理与运算;
(3)焦半径公式:抛物线上一点P(x1,y1),F为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分别为(p>0):
22
p
;y22px:PFx12p
x22py:PFy1;x22py:PFy1
2y22px:PFx1
p2 p2