求值域(2)

1．观察法

用于简单的解析式。

y＝1－√x≤1,值域(－∞, 1]

y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(－∞,-1)∪(-1,＋∞).

2.配方法

多用于二次(型)函数。

y＝x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1, ＋∞）

y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,＋∞）

3. 换元法

多用于复合型函数。

通过换元，使高次函数低次化，分式函数整式化，无理函数有理化，超越函数代数以方便求值域。

特别注意中间变量（新量）的变化范围。

4. 不等式法

用不等式的基本性质，也是求值域的常用方法。

y=（e^x+1）/(e^x-1), (0

0

1

1/(e^x-1)>1/(e-1),

y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1).值域(1+2/(e-1),＋∞).

5. 最值法

如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].

因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.

6. 反函数法

有的又叫反解法.

函数和它的反函数的定义域与值域互换.

如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.

7. 单调性法

若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为

[f(b),f(a)]

关于函数的值域

四川攀枝花市三中 黎永生

关于函数的值域（最值）的解决方法，有很多文章介绍了，如判别式法，实根分布法等，判别式法历来不能完全解决这个函数的值域（最值）问题，实根分布法比较复杂。我们应

用函数的性质，可以完整解决分式函数的值域问题。 下面对和

先讨论函数的性质。

性质1 若间，函数是单调减函数。 在区间和区间是单调增函数；在区间 和区性质1的证明从略。

性质2 若，函数在区间和区间上都是增函数。

性质2的证明从略。

例1 分别求函数在指定区间上的值域

（1） （2） （3）

解：（1）利用均值不等式，

， 当时，， 所以，函数的值域是。

（2）由（1）的解答过程，因为

决这个问题。 ，所以均值不等式就失去了作用。我们可以用函数的单调性解

因为函数的值域是在区间。 上是增函数，当时，，所以，函数 （3）把区间分割成两部分：和，由性质1知，函数在区间

和上分别是减函数、增函数， 那么这个函数在两个区间上的值域分别是和， 所以函数在区间上的值域是。

例2 求下列函数的值域

（1） （2）

解：（1）用部分分式法，，就化归为例1（1）的情形。

（2）用换元法把分母上的式子转换为一个单项式。 设，则，代入函数得

,其中

，当即时，函数取最小值。所以，原函数的值域为

例3 求函数的值域。

解：因为① 设其中，且，

那么，把 且代入①式，得

如果 如果 当时， 从而 当时，且 从而或 所以，原函数的值域是

例4 求函数的值域。

解： 设代入原函数得

由于 所以

例5 求函数的值域。 解： 因为，函数是增函数， 原函数的值域是

一、配方法：对于求二次函数 或可转化为形如 的函数的值域（最值）一类问题，我们常常可以通过配方法来进行求解.

二、换元法：通过引入一个或多个新变量或代数式代替原来的变量或代数式或超越式，通过换元，我们常常可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等，这样我们就能将比较复杂的函数转化成易于求值域的函数进行求解.

三、不等式法：

四、单调性法：对于形如 （ 、 、 、 为常数， ）或者形如 而使用不等式法求值域却未能凑效的函数，我们往往可以考虑使用单调性法.

五、判别式法：一般地，形如 、 、 的函数，我们可以将其转化为 （ ）的形式，再通过 求

得 的范围.但当函数为指定区间上的函数时，用判别式法求出 的范围后，应将端点值代回到原函数进行检验，避免发生错误.