物理必修二7-5

第七章 第五节

[例1] 关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( )

A ．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大

B ．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小

C ．在拉伸长度相同时，k 越大的弹簧，它的弹性势能越大

D ．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能

变式训练1—1 两只不同的弹簧A 、B ，劲度系数分别为k 1、k 2，并且k 1>k 2，现在用相同的力从自然长度开始拉弹簧，当弹簧处于平衡状态时，下列说法中正确的是( )

A ．A 的弹性势能大

B ．B 的弹性势能大

C ．弹性势能相同

D ．无法判断

[例2] 在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0kg 的木块相连，若在木块上再作用一个竖直向下的力F ，使木块缓慢向下移动0.10m ，力F 做功2.5J. 此时木块再次处于平衡状态，力F 的大小为50N ，如右图所示．求：

(1)在木块下移0.10m 的过程中弹性势能的增加量．

(2)弹簧的劲度系数．(g 到10N/kg)

变式训练2—1 一根弹簧的弹力－位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过程中，弹力做功和弹性势能的变化量为( )

A ．3.6 J，－3.6 J

B ．－3.6 J,3.6 J

C ．1.8 J，－1.8 J

D ．－1.8 J,1.6 J

[例3] 如右图所示，竖直放置的轻弹簧下端固定在地面上，上端与轻质平板相连，平

板与地面间的距离为H 1. 现将一质量为m 的物块轻轻放在平板中心，让它从静止开始往下运动，直至物块速度为零．此时平板与地面间的距离为H 2，若取无形变时为弹簧弹性势能的零点，则此时弹簧的弹性势能E P ＝

__________.

变式训练3—1 下列现象中，物体的弹性势能转化为动能的是( )

A ．秋千在最高处荡向最低处

B ．张开的弓把箭水平射出去

C ．骑自行车匀速驶上斜坡

D ．跳水运动员从跳板上跳起

随堂练习

1．讨论弹性势能，要从下述问题的分析入手的是( )

A ．重力做功 B ．弹力做功

C ．弹簧的劲度系数 D ．弹簧的形变量

2．弹簧的一端固定，处于自然长度．现对弹簧的另一端施加一个拉力，关于拉力做功(或弹簧克服拉力做功) 与弹性势能变化的关系，以下说法中正确的是( )

A ．拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能增加

B ．拉力对弹簧做正功，弹簧的弹性势能减少

C ．弹簧克服拉力做功，弹簧的弹性势能增加

D ．弹簧克服拉力做功，弹簧的弹性势能减少

3．两弹簧的劲度系数之比为1：2，在弹性限度内的形变量之比为2：1，则它们的弹性势能之比为( )

A ．1:2

B ．2:1

C ．1:4

D ．4:1

A 级 基础巩固题

1．关于在“蹦极”运动中，人从高空落下到下落至最低点的过程，下列说法正确的是

( )

A ．重力对人做正功

B ．人的重力势能减少

C ．橡皮绳对人做负功

D ．橡皮绳的弹性势能增加

解析：人的高度在下降，故重力对人做正功，人的重力势能减小；橡皮绳的弹力向上，人向下运动，故弹力做负功，弹性势能增加．

答案：ABCD

k x 2．将劲度系数分别为k 1、k 2的两根弹簧分别从原长压缩x 1、x 2，已知＝22，则k 2x 2

两个过程所需做的功W 1、W 2的比值为________．

1212W k x 2解析：W 11x 1，W 2＝k 2x 2，联立解得：＝8. 22W 2k 2x 2

答案：8 1

3．如图所示，用一小钢球及下列器材测定弹簧被压缩时的弹性势能：光滑水平轨道与光滑圆弧轨道相切，轻弹簧的一端固定在轨道的左端，OP 是可绕O

点转动的轻杆，且摆到

某处就能停在该处，OP 作为指示钢球位置的标杆．

(1)还需要的器材是________、________.

(2)该实验是间接测量弹簧的弹性势能，实际上是把对弹性势能的测量转化为对________的测量，进而转化为对________和________的直接测量．

解析：该实验中弹簧的弹性势能转化为动能，又转化为重力势能，因而实际上是将对弹性势能的测量转化为对重力势能的测量，进而转化为对小球质量的上升高度的测量，需要的器材为天平(测质量) 和刻度尺(测上升高度) ．

答案：(1)天平 刻度尺 (2)重力势能 质量 高度

4．如下图所示，一物体以初速度v 0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁与物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，下列说法正确的是(

)

A ．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比

B ．物体向墙壁每运动相同的位移，弹力做的功不等

C ．弹力做正功，弹簧的弹性势能减小

D ．弹力做负功，弹簧的弹性势能增加

解析：物体对弹簧的功与弹簧的压缩量的平方成正比，选项A 错误；运动相同的位移，形变量相同，弹力不同，弹力做功不相同，选项B 正确；弹簧被压缩，弹力做负功，弹簧的弹性势能增加，选项C 错误，选项D 正确．

答案：BD

5．关于弹性势能和重力势能下列说法正确的是( )

A ．重力势能属于物体和地球这个系统，弹性势能属于发生弹性形变的物体

B ．重力势能是相对的，弹性势能是绝对的

C ．重力势能和弹性势能都是相对的

D ．重力势能和弹性势能都是状态量

解析：重力势能具有系统性，弹性势能只属于发生弹性形变的物体，故A 正确；重力势能和弹性势能都是相对的，且都是状态量．故B 错，C 、D 正确．

答案：ACD

6．弹簧原长l 0＝15cm ，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l 1＝20cm 时，作用在弹簧上的力为400N ，问：

(1)弹簧的劲度系数k 为多少？

(2)在该过程中弹力做了多少功？

(3)弹簧的弹性势能变化了多少？

F 400解析：(1)由胡克定律：F ＝kΔl，Δl＝l 1－l 0＝0.05m ，所以k ＝＝N/m＝8000N/m. Δl0.05

(2)由于F ＝kl . 作出F －l 图象如图所示，求出图中阴影面积，即为弹力做功的绝对值，

11由于在伸长过程中弹力F 方向与位移l 方向相反，故弹力F 在此过程中做负功．W ＝Fl ＝22

×400×0.05J ＝10J ，即弹力F 在此过程中做－10J 的功．

(3)根据弹力做功与弹性势能变化之间的关系，弹性势能增加了10J.

7．弹簧原长为l 0，劲度系数为k . 用力把它拉到伸长量为l 处，拉力所做的功为W 1；继续拉弹簧，使弹簧在弹性限度内再伸长l ，拉力在继续拉伸的过程中所做的功为W 2. 试求W 1

与W 2的比值．

解析：拉力F 与弹簧的伸长量x 成正比，故在F －x 图象中是一条倾斜直线，如图所示，直线下的相关面积表示功的大小．其中，线段OA 下的三角形面积表示第一个过程中拉力所做的功W 1，线段AB 下的梯形面积表示第二个过程中拉力所做的功W 2. 显然，两块面积之比为1：3，即W 1：W 2＝1：

3.

上述解法采用了教材中探究弹性势能表达式的研究方法，即应用F －x 图象直观地进行

分析．也可由弹性势能的表达式进行计算．由于拉力克服弹簧弹力做功，弹簧的弹性势能增加，故有

1113W 1＝2，W 2＝k (2l ) 2－2kl 2 2222

13W 1：W 2＝2：kl 2＝1：3. 22

答案：1：3

B 级 能力提升题

8．在一次演示实验中，一压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一小球，测得弹簧压缩的距离d 和小球在粗糙水平面滚动的距离，如下表所示．由此表可以归纳出小球滚动的距离跟弹簧压缩的距离d 之间的关系，并猜测弹簧的弹性势能E 跟弹簧压缩的距离d 之间的关系分别是(选项中k 1、k 2

A. s ＝k 1d ，E P 2B ．s ＝k 1d ，E P ＝k 2d 2

C ．s ＝k 1d 2，E P ＝k 2d

D ．s ＝k 1d 2，E P ＝k 2d 2

1解析：由本节课探究的弹簧的弹性势能的表达式E P ＝kx 2，知E P ＝k 2d 2；从题中所示的2表格中可以看出，d 增加到原来的2倍时，s 增到原来的4倍，s 与d 是平方的关系，所以有s ＝k 1d 2，正确选项为D.

答案：D

9．劲度系数分别是k A ＝2000 N/m和k B ＝3000 N/m的弹簧A 和B 连接在一起，拉长后将两端固定，如图所示．弹性势能E p A 、E p B 的关系为( )

A ．E p A ＝E p B

1B ．E p A ＝p B 2

3C ．E p A ＝p B 2

2D ．E p A ＝E p B 3

121解析：由作用力与反作用力知：k A x A ＝k B x B ，E p A ﹕E p B ＝k A x A ︰B x 2＝x ﹕x B ＝k B 22B A

﹕k A ＝3 ﹕2，故选C.

答案：C

10．如图所示，质量相等的两木块中间连有一轻质弹簧，今用力F 缓慢向上提A ，直到B 恰好离开地面．开始时物体A 静止在弹簧上面．设开始时弹簧的弹性势能为E P 1，B 刚要

离开地面时，弹簧的弹性势能为E P 2，则E P 1______________E P 2.

解析：A 、B 两物体质量相同，对A 物体，不加向上力F 时，m A g ＝kx 1，加上力F 后，

在拉力F 作用下，B 刚离开地面时，对B ：m B g ＝kx 2，由于m A ＝m B ，故x 1＝x 2. 根据弹性势能与弹簧的形变量的平方成正比，则E P 1＝E P 2.

答案：＝

11．如图，质量为m 的物体从光滑斜面上的A 点由静止开始下滑，与固定在地面上且沿斜面方向的轻质弹簧接触并将弹簧压缩至最低点B ，试求当物体处在最低点时弹簧的弹性势能．(已知AB ＝s ，斜面倾角为θ，物体在A 点时弹簧处于原长状态

)

解析：以物体为研究对象，物体初末态动能都为零，重力做正功，重力势能减少，弹力

做负功，弹性势能增大，重力做的功等于克服弹力做的功，而克服弹力做的功等于弹性势能增加量．故在B 点时E P 弹＝mg sin θ·s .

C 级 高考模拟题

12．如图所示，将劲度系数分别为k 1和k 2的a 、b 两根轻质弹簧连接起来成为一根新弹簧，取原长时弹性势能为零，试推导该新弹簧弹性势能的表达式．

F F 解析：假设在弹簧下端施加拉力F ，则两弹簧的伸长量分别为l 1＝，l 2＝k 1k 2

F F 长量l ＝l 1＋l 2＝ k 1k 2

F k k 得到新弹簧的劲度系数为k ＝＝. l k 1＋k 2

1k k 2则新弹簧的弹性势能表达式为：E p 2＝. 22(k 1＋k 2)