相似三角形存在性问题
相似三角形
1、如图①,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3) 如图②,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△
2.已知:如图,抛物线的顶点为点D,与y轴相交于点A,直线y=ax+3与y轴也交于点A,矩形ABCO的顶点B在此抛物线上,矩形面积为12. (1)求该抛物线的对称轴;
(3)若线段DO与AB交于点E,以点 D、A、E为顶点
的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似,
如果有可能,请求出点D坐标及抛物线解析式;如果不可能, 请说明理由.
3、如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°. (1)直接写出直线AB的解析式; (2)求点D的坐标;
(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF与△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求m、n;
3.如图,已知点A (-2,4) 和点B (1,0)都在抛物线ymx22mxn上.
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形 A A′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式; (3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的 交点为点C,试在x轴上找点D,使得以点 B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
1、解:(1) ∵ 抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3,0)、B(4,4).
9a+3b=0a=1∴
,解得:.∴ 抛物线的解析式是y=x2-3x. 16a+4b=4b=-3
(2) 设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),得:4=4k1,解得k1=1.∴ 直线OB的解析式为y=x.
∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x-m.
∵ 点D在抛物线y=x2-3x上.∴ 可设D(x,x2-3x).又点D在直线y=x-m上,
∴ x2-3x =x-m,即x2-4x+m=0.
∵ 抛物线与直线只有一个公共点,∴ △=16-4m=0,解得:m=4. 此时x1=x2=2,y=x2-3x=-2,∴ D点坐标为(2,-2).
(3) ∵ 直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0,3).
1
设直线A'B的解析式为y=k2x+3,过点B(4,4),∴ 4k2+3=4,解得:k2=.
4
1
∴ 直线A'B的解析式是y=+3.
4
1
∵ ∠NBO=∠ABO,∴ 点N在直线A'B上,∴ 设点N(nn+3),又点N在
4
抛物线y=x2-3x上, 1
∴ +3=n2-3n, 4
3345
解得:n1=-,n2=4(不合题意,会去),∴ 点N的坐标为(,.
4416
345
方法一:如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,则N1(-,-),B1(4,
416-4),
∴ O、D、B1都在直线y=-x上.
∵ △P1OD∽△NOB,∴ △P1OD∽△N1OB1,∴ 345
标为().
832
453
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2().
328
OPOD1
,∴ 点P1的坐ON1OB12
345453
综上所述,点P的坐标是(-,-或).
832328
45
方法二:如图2,将△NOB绕原点顺时针旋转90°,得到△N2OB2,则N2(16
3
),B2(4,-4), 4
∴ O、D、B2都在直线y=-x上.
∵ △P1OD∽△NOB,∴ △P1OD∽△N2OB2,∴ 453标为(,.
328
345
将△OP1D沿直线y=-x翻折,可得另一个满足条件的点P2(-).
832
345453
综上所述,点P的坐标是(-,-或).
832328
OP1OD1
,∴ 点P1的坐ON2OB22
如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
y
如图1,已知抛物线的方程C1:
1
(x2)(xm)m (m>0)与x轴交于点B、C,
与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值; (2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.