关于偶倍奇零原则的粗浅认识
关于偶倍奇零原则的粗浅认识
摘要：运用定积分的换元积分法——偶倍奇零，针对定积分的积分区间是关于原点对称且连续，对复杂的定积分按照偶倍奇零运算从而减少不必要的过程。
关键词：定积分 偶倍奇零 连续 对称
1．问题的实际背景
众所周知，定积分的换元积分法是学习定积分中的重点和难点。在计算定积分时，当然也可以用不定积分的换元法先求出原函数，然后利用牛顿—莱布尼茨公式求出定积分的值，但是在用换元法求原函数时，最后还要带回原来的变量，这一步有时较为复杂，这就要寻求另一种简单的办法。
2. 问题的提出
运用定积分的基本换元法求积分值，步骤较为繁琐。
例如：1. ⎰(x 2+2x -3) dx -1
1132 =x +x -3x ︱ 3-1
11 =（+1-3) -(-+1+3） 331
=3+1-3+3-1-3 11
=-
16 3
1 2.⎰arcsin x
-x 2-1
=⎰arcsin xd arcsin x -11
1 =(arcsinx ) 2︱2
1-1
1ππ=[() 2-(-) 2] 222
=0
所以当定积分的积分区间是关于原点对称且连续时，运用偶倍奇零原则是对这类题型解决的最佳办法。
3. 解决问题
3.1理论证明
设f(x)、g(x)在区间[-a,a](a>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)满足条件f(x)+f(-x)=A(A为常数)
证明⎰f (x ) g (x ) =A⎰g (x ）dx -a 0a a
证明：⎰f (x ）g (x ) dx =⎰f (x ) g (x ）dx +⎰f (x ) g （x ) dx -a a 0a -a 0
而⎰f (x ) g (x ) dx x =-t ⎰f (-t ) g (t ) dt =⎰f (-x ）g (x ) dx -a -a 000a
于是⎰f (x ) g (x ) dx =⎰f （-x ) g (x ) dx +⎰f (x ) g (x ) dx -a 00a a a
=⎰[f (-x ) +f (x )]g (x ) dx 0a
=A⎰g (x ) dx 0a
3.2理论的实践
例1.
解:⎰(x 2+2x -3) dx =2⎰(x 2-3) dx -1011
1 =2((x 3-3x ) 1
0 3
16 =- 3
例2.
解:⎰(x +4) 9-x dx =⎰49-x 2dx -3-33323
=8⎰3
09-x 2dx (几何意义)
=18π
例3.
解:⎰
=4⎰
=4⎰
=4-4⎰-x 2dx 01112x 2+x cos x 1+-x 2-1=⎰12x 21+-x x 21+-x 2-1 102 0x 2(1--x 2) 2x
=4-4×π 4
=4-π
总结：在计算定积分，若满足①积分区间是关于原点对称 ②在定义区间上连续 ③函数不为非奇非偶。则可灵活的运用偶倍奇零
参考文献
[1]赵树源。微积分[M].北京. 中国人民大学出版社 2009
[2]张天德、张锋。微积分辅导及习题精解[M] 吉林延边大学出版社.2012
[3]徐文雄. 高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2006.