第一章 预备知识:场论与正交曲线坐标
高等流体力学
第一章第章预备知识●场论与
正交曲线坐标
•场:具有物理量的空间
•物理量=ff (空间位置R , tt )
§1.1
向量及张量的基
本运算
一、向量运算符号规定向量运算符号规定
1、爱因斯坦(Einstein )求和符号
定义:数学式子中任一项出现一对符号相同的指标(哑指标)
如:a i e i =a 1e 1+a2e 2+a3e 3
k 1a i b i +k 2e j e j =k 1(a 1b 1+a+2b 2+a+3b 3)+3k2
2、克罗内尔(克罗内尔
Kronecker )δ符号
定义:任意两个正交单位向量点积用δij 表示
⎧1i=j e i i e j =δij =⎨0i ≠j ⎩i ,j =11,2,3
3
、置换符号
任意两个正交单位向量叉积可表示为
式中e ijk j 称为置换符号,又称利西(Ricci )符号e i ×e j =e ijk e k
⎧0i ,j ,k 中有2个或3个自由指标值相同⎪e ijk =⎨1i ,j ,k 中按12312顺序任取3个排列 ⎪−1 i ,j ,k 中按13213顺序任取3个排列 ⎩
三、向量分量的坐标变换
a =a i e i =a i ′e i ′
a i ,a i ′和e i ,e i ′分别为a 在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位向量,各单位向量间的夹角余弦(即方
2,3) 向余弦)为l j ,m j ,n j (j =1,各坐标轴方向余弦
a i ′=a i e i i e i ′=(e i i e i ′)a i (i ′=1 , 2 , 3)
a i =a i ′e i ′i e i =(e i ′i e i )a i ′ (i=1 , 2 , 3)123e m m m 2′123e 233′n 11′ l 123
例如:
a 1′=(e 1i e 1′)a 1+(e 2i e 1′)a 2+(e 3i e 1′)a 3=l 1a 1+l 2a 2+l 3a 3
四、二阶张量的基本运算阶的基本算
二阶张量是两个向量的并积
表示为:
B =ac =a i e i c j e j =a i c j e i e j =b ij e i e j (i ,j =,1 2, 3)!e i e j ≠e j e i
1、二阶张量的基本运算规则二阶张量的基本运算规则 ab ±cd =(a i b j ±c i d j )e i e j
c i ab b i d =(c i a )(b i d )=(b i d )(c i a )=(d i b )(a i c ) abi cd =a (b i c )d =(b i c )ad =ad (c i b )a i b c =(a i b )c =(b i a )c =c(b i a )
ab ×c =a (b ×c )
2、二阶张量分量的坐标变换
B=b ij e i e j =b i ′j ′e i ′e j ′
b i ′j ′=e i ′i (b ij e i e j )i e j ′=b ij (e i ′i e i )(e j ′i e j )b ij j =e i i (b i ′j ′e i ′e j ′)i e j =b i ′j ′(e i i e i ′)(e j i e j ′)例如:
b 1′2′=b 11(e 1′i e 1)(e 2′i e 1)+b 12(e 1′i e 1)(e 2′i e 2)+b 13(e 1′i e 1)(e 2′i e 3)
+b 21(e 1′i e 2)(e 2′i e 1)+b 22(e 1′i e 2)(e 2′i e 2)+b 23(e 1′i e 2)(e 2′i e 3)
+b 31(e 1′i e 3)(e 2′i e 1)+b 32(e 1′i e 3)(e 2′i e 2)+b 33(e 1′i e 3)(e 2′i e 3) =l 1m 1b 11+l 1m 2b 12+l 1m 3b 13+l 2m 1b 21+l 2m 2b 22+l 2m 3b 23 +l 3m 1b 31+l 3m 2b 32+l 3m 3b 33
§1.4 广义高斯(Gauss )定理与斯托
克斯(Stokes )定理
一、广义高斯定理广义高斯定理
τ∫∇i a d τ= ∫n i a dA A
二、斯托克斯定理
A τ∫∇×a d τ= ∫n ×a dA A τ∫∇ϕd τ= ∫n ϕdA A ∫n i (∇×a )dA = ∫a i dl l
三、标量势及向量势、调和场标量势向量势和场
可以证明∇×a =0 a =∇ϕ∇i a =0 a =∇∇×b 式中ϕ称为向量a 的标量势,b 称为向量a 的向量势
●流体力学中,速度势流体力学中
速度势ϕ为V =∇ϕ,单位质量力单位质量力f 的势U 定义为f =− ∇U ●如向量处处是无旋的,即∇×a =0,a =∇ϕ,同时又是无散的即∇i a =0则其势ϕ必满足∇i ∇ϕ=∇2ϕ=0是无散的,即
此时,向量场此时向量场a 称为调和场,称为调和场ϕ为调和函数