两角分别相等的判定方法

第1课时 两角分别相等的判定方法

1．三角分别__、三边____的两个三角形叫做相似三角形． 2．两角分别相等的两个三角形相似．

知识点：两角分别相等的两个三角形相似

1．下列各组条件，不能判定△ABC 与△A ′B ′C ′相似的是( )

A ．∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′ B ．∠C ＝∠C ′＝90°，∠A ＝12°，∠B ′＝78° C ．∠A ＝∠B ，∠B ′＝∠A ′ D ．∠A ＋∠B ＝∠A ′＋∠B ′，∠A －∠B ＝∠A ′－∠B ′ 2．下列各组图形中有可能不相似的是( )

A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形 D ．两个等腰直角三角形

3．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，∠B ＝∠B ′＝90°，∠A ＝30°，则以下条件，不能说明△ABC 与△A ′B ′C ′相似的是( )

A ．∠A ′＝30° B ．∠C ′＝60° C ．∠C ＝60° D ．∠A ′＝2∠C ′

4．(2014·宜昌) 如图，A ，B 两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A ，B 间的距离：先在AB 外选一点C ，然后测出AC ，BC 的中点M ，N ，并测量出MN 的长为12 m ，由此他就知道了A ，B 间的距离，有关他这次探究活动的描述错误的是( )

A ．AB ＝24 m B ．MN ∥AB C ．△CMN ∽△CAB D ．CM ∶MA ＝1∶

2

第4题图 第5题图

5．如图，点E 是矩形ABCD 的AB 边上任意一点，点F 是AD 边上一点，∠EFC ＝90°， 图中一定相似的三角形是( )

A ．①与② B ．③与④ C ．②与③ D ．①与④

6．如图，锐角三角形ABC 的边AB 和AC 边上的高CE 和BF 相交于点D ，请写出图中所有相似三角形____________________________________________________．

第6题图 第7题图

7．(易错题) 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，点E 是DC 上一点，∠DAE ＝∠BAC ，则EC 的长为____.

8．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，EF ∥AC ，求证：△ABC ∽△FDE

.

9．如图，点D 是△ABC 的边AB 上一点，连接CD ，若AD ＝2，BD ＝4，∠ACD ＝∠B ，求AC 的长．

10．(2014·毕节) 如图，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于( )

15122017A B C . D . 4434

第10题图 第11题图

11．如图，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ，NF ⊥AB ，若NF ＝NM ＝2，ME ＝3，则AN ＝____． 12．如图，在▱ABCD 中，点G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有几对，分别写出来．

AD AC 13．(2014·铜仁) 如图，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，求证：＝BE BC

14．如图，已知A (2，0) ，B (0，4) 两点，且∠1＝∠2，求点C 的坐标．

15．(2014·金华) 等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取点E ，F ，连接AF ，BE 相交于点P ，且AE ＝CF .

(1)求证：AF ＝BE ，并求∠FPB 的度数； (3)若AE ＝2，求AP ·AF 的值．

16．(宜昌中考改编) 如图①，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AO ⊥BC 于点O ，点F 是线段AO 上的点(与A ，O 不重合) ，∠EAF ＝90°，AE ＝AF ，连接FE ，FC ，BE ，BF .

(1)求证：BE ＝BF ；

(2)如图②，若将△AEF 绕点A 旋转，使边AF 在∠BAC 的内部，延长CF 交AB 于点G ，交BE 于点K . 求证：△AGC ∽△KGB

.

第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法

AB BC

△ABC 与△A ′B ′C ′且__∠B ＝∠B ′__，则△ABC ∽△A ′B ′C ′，依据是__两边成比例且夹角相等的两

A ′B ′B ′C ′个三角形相似__．

知识点：两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 1．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )

AB AC AB AC AB A ′B ′AB AC A ＝ B ＝A ＝∠A ′ C . 且∠B ＝∠C ′ D . B ＝∠B ′ A ′B ′A ′C ′A ′B ′A ′C ′BC A ′C ′A ′B ′A ′C ′2．已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是(

)

3．已知线段AD ，BC 相交于点O ，OB ∶OD ＝3∶1，OA ＝12 cm ，OC ＝4 cm ，AB ＝30 cm ，则CD ＝____cm

.

4．如图，点D 是△ABC 边AB 上的一点，AD ＝2BD ＝2，当AC ＝____时，△ACD ∽△ABC .

5．如图，线段AC 与BD 相交于点O ，且OA ＝12，OC ＝54，OD ＝36，OB ＝18，则△ABO 与△DCO ____相似．(填“一定”或“不”)

第5题图 第6题图

6．如图，BD 平分∠ABC ，AB ＝2，BC ＝3，当BD ＝____时，△ABD ∽△DBC .

7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且AD ·AB ＝AE ·AC ，

求证：DE ⊥AB

.

AD 1

8．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在AC ，AB 边上，且＝AE ＝BE ，连接DE ，BD .

AC 3

求证：∠AED ＝∠CBD

.

9．如图，点D 是△ABC 一边BC 上一点，连接AD ，使△ABC ∽△DBA 的条件是( )

A ．AC ∶BC ＝AD ∶BD B ．AC ∶BC ＝AB ∶AD C ．AB 2＝CD ·BC D ．AB 2＝BD ·BC

,

第9题 第10题

,

10．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且将这个四边形分成①，②，③，④四个三角形，若OA ·OC ＝OB ·OD ，则下列结论中一定正确的是( )

A ．①和②相似 B ．②和③相似 C ．①和④相似 D ．②和④相似

11．如图，直线EF 分别交△ABC 的边AC ，AB 于点E ，F ，交边BC 的延长线于点D ，且AB ·BF ＝BC ·BD . 求证：AE ·EC ＝EF ·ED

.

12．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，点D ，E 在BC 上，且AB ＝BD ＝DE ＝EC .

求证：(1)△ADE ∽△CDA ； (2)∠1＋∠2＋∠3＝90°

.

1

13．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，CD 上的点，AE ＝ED ，DF ，连接EF 并延长交BC

4的延长线于点G .

(1)求证：△ABE ∽△DEF ；

(2)若正方形的边长为8，求BG 的长．

14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10 cm ，BC ＝20 cm ，两只小虫P 和Q 同时分别从A ，B 出发沿AB ，BC 向终点B ，C 方向前进，小虫P 每秒走1 cm ，小虫Q 每秒走2 cm .

请问：它们同时出发多少秒时，以P ，B ，Q 为顶点的三角形与以A ，B ，C 为顶点的三角形相似？

第3课时 三边成比例的判定方法

△ABC 与△A ′B ′C ′，如果似__．

AB BC AC ＝__△A ′B ′C ′∽△ABC __，依据是__三边成比例的两个三角形相A ′B ′B ′C ′A ′C ′

知识点：三边成比例判定两个三角形相似

1．甲三角形的三边分别是1，乙三角形的三边分别是5，则甲，乙两个三角形是( ) A ．一定相似 B ．一定不相似 C ．不一定相似 D ．无法判断 2．△ABC 与△DEF 满足下列条件，其中能使△ABC ∽△DEF 的是( ) A ．AB ＝1，BC ＝1.5，AC ＝2，DE ＝8，EF ＝12，DF ＝16 B ．AB ＝2，BC ＝3，AC ＝5，DE 6，EF ＝3，DF ＝3 C ．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝6，DE ＝6，EF ＝8，OF ＝16 D ．AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，DE 3，EF ＝2，DF ＝

5

3．如图，点O 是△ABC 内任一点，点D ，E ，F 分别为OA ，OB ，OC 的中点，则图中相似三角形有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对

4．(易错题) 如图，4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是(

)

5．一个三角形的边长分别为5 cm ，8 cm ，12 cm ，另一个三角形的最长边为7.2 cm ，则当另一个三角形的另外两边长是___________cm 时，这两个三角形相似．

6．△ABC 26，2，△A 1B 1C 1的两边长为13，要使△ABC ∽△A 1B 1C 1，那么△A 1B 1C 1

的第三边长为____．

7．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是CA ，AB ，BC 的中点，求证：△ABC ∽△FDE .

8．如图，在1×5的正方形的网格上面有四边形ABCD ，求∠BDC 的度数．

9．(易错题) 如图，已知在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，点P 是AC 的中点，过点P 的直线交AB 于点Q ，若想得到以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AQ 的长为(

)

434

A ．3 B ．3 C ．3或 D .

343

10．如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC ；②△BCD ；③△BDE ；④△BFG ；⑤△FGH ；⑥△EFK . 其中②～⑥中与①相似的是( ) A．②③④ B ．③④⑤ C ．④⑤⑥ D ．②③⑥

11．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，在△A ′B ′C ′中，A ′B ′＝8，A ′C ′＝6，则当BC ∶B ′C ′＝____时，△A ′B ′C ′∽___． 12．一个铝质的三角形框架的三边长分别为24 cm ，30 cm ，36 cm ，要做一个与它相似的铝质三角形的框架，现有长27 cm ，45 cm 的两根铝材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段(允许有余材) ，则截法有___种．

AB BC CA

13．(教材例3改编) 如图，已知，求证：∠ABD ＝∠CBE

.

BD BE ED

14．如图，在4×4的正方形的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的正方形的顶点上．

(1)填空：∠ABC ＝____度，BC ＝____； (2)求证：∠C ＝∠E

.

第4课时 黄金分割

AC BC

点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC >BC ) ，如果＝AB 被点C __黄金分割__．点C

AB AC 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．

知识点一：黄金分割的有关概念

1．已知点E 是线段MN 的黄金分割点(ME >EN ) ，则下列式子正确的是( ) MN ME EM EN MN EN EN MN A B C . D . ME EN EN MN EM MN EM EM

2．已知线段AB ＝10 cm ，点C 是线段AB 的黄金分割点(AC >BC ) ，则AC 的长为( )

A ．(55－10) cm B ．(15－55) cm C ．(55－5) cm D ．(10－5) cm 3．一条线段的黄金分割点有( )

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 4．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM >BM ) ，则下列各式中不正确的是( ) A ．AM ∶BM ＝AB ∶AM B ．AM ＝

5－15－1

AB C ．BM ＝AB D ．AM ≈0.618AB 22

5．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为( ) A ．(3－5) 米 B ．(5－1) 米 C ．(15) 米 D ．(3＋5) 米

6．已知点C 是线段AB 上的一个点，且满足AC 2＝BC ·AB ，则下列式子成立的是( ) 5－15－15－15＋1AC AC BC BC

A ＝ B . C . ＝ D ＝BC 2AB 2AB 2AC 2

7．如图，点P 是线段AB 的黄金分割点，P A >PB ，若S 1表示以AP 为边的正方形的面积，S 2表示以AB 为长，PB 为宽的矩形的面积，则S 1，S 2

大小关系为( )

A ．S 1>S 2 B ．S 1＝S 2 C ．S 1

8．当气温与人体正常体温(37 ℃) 之比等于黄金分割比0.618时，人体感觉最舒适，这个气温约为____℃.(取整数) 9．东方明珠塔高468米，上球体点A 是塔身的黄金分割点(如图所示) ．则点A 到塔顶部的距离约是______米．(

精确到0.1米)

第9题图 第10题图

10．如图所示，扇形圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金分割设计，若取黄金比为0.6，则α＝____．

11．要设计一座2 m 高的维纳斯女神雕像(如图) ，使雕像的上部AC (肚脐以上) 与下部BC (肚脐以下) 的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C (肚脐) 就叫做线段AB 的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高度？(结果精确到0.001)