二次根式的概念及有意义的条件教案

教学过程

一、复习预习

1.二次根式的概念 2.二次根式有意义的条件 3.二次根式的双重非负性

二、知识讲解

考点1 二次根式的概念

（a≥0）•的式子叫做二次根式，要点诠释：（1）必需含有二次根号 （2）被开方数a≥0.

（3）a可以是数,也可以是含有字母的式子.

.

考点2 二次根式有意义的条件

要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数. 考点3 二次根式的双重非负性

二次根式的双重非负性是指二次根式本身是非负的0 ，被开方数也是非负的

a³0.

三、例题精析

【例题1】

下列式子，哪些是二次根式，

、x>0）

、

1

x

、

1

（x≥0，y•≥0）． x

y

【答案】

（x>0）

、

（x≥0，y≥0）；不是二次

11、．

xyx

；第二，被开方数是正数或0．

【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号

（x>0）

、

（x≥0，y≥0）；不是二次根式的

11、．

xyx

【例题2】

当x

【答案】由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥

1

3

1

3

【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0

能有意义．

【例题3】

已知

，求

x

的值． y

x2=y5

【答案】2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：

【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0. 2-x≥0，x-2≥0，故x=2，当x=2时，y=0+0+5=5，即：

x2=y5

【例题4】

，求a2014+b2014的值．

∴a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1，

故a2014+b2014=（-1）2014+（1）2014=2

【解析】由二次根式的定义可知,

和2014+b2014=（-1）2014+12014=2.

故只能是a+1=0，b-1=0 即a=-1，b=1，故a

四、课堂运用

【基础】

1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）

A．

B

C

D．x 【答案】A

【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号

；第二，被开方数是正数或0．

B选项所含根号不是二次的，C选项中被开方数可为负，D选项不含二次根号. 2.

下列式子中,是二次根式的有 (填序号)

(1)(2) 6 (3) （m≤0） (5)（x，y异号）

(6)(7)【答案】由二次根式的定义可知，（1）（4）（6）为二次根式. 【解析】

故（1）（4）（6）为二次根式. 3.

；第二，被开方数是正数或0

当x是怎样的实数时,下列式子在实数范围内有意义

?

【答案】由二次根式的定义可知，（1）x≤2 （2） x＜（5）x为任意实数.

3

（3）x＞-3 （4）1≤x＜3 2

【解析】二次根式中字母的取值范围的基本依据：①被开方数不小于零；①被开方数不小于零；

（1）2-x≥0，即x≤2

有意义. （2）3-2x＞0，即x＜

3.

2

（3）x+3＞0，即x＞-3

有意义. 有意义. （4）x-1≥0，3-x＞0，即1≤x＜3

2

（5）∵x+1≥1，即当x

.

【巩固】

1. 已知a.b

为实数且满足a1，你能求出a+b 的值吗？

1113，当b=时，a=0+0+1=1，即：a+b=1+=2222

1

【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0. 2b-1≥0，1-2b≥0，故b=，

2

113当b=时，a=0+0+1=1，即：a+b=1+=

2 22

【答案】2b-1≥0，1-2b≥0，故b=2.

已知(a-2)=0,.

【答案】a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8

2

【解析】由平方定义及二次根式的定义可知, (a-

2)2

的和为零，故只能是a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8

变式1

已知a-4a+4=0,. 【答案】a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8

22

【解析】由平方定义及二次根式的定义可知, a-4a+4=(a-

2)2

且两个非负数的和为零，故只能是a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8

变式2

已知a-2=0,.

【答案】a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8

【解析】由绝对值及二次根式的定义可知, a-

2且两个非负数的和为零，故只能是a-2=0，b-8=0 即a=2，b=8

【拔高】

1. 当x

【答案】依题意，得 由①得：x≥-

1

在实数范围内有意义？ x1

2x30

x10

3 2

由②得：x≠-1 当x≥-

31且x≠-1

在实数范围内有意义． 2x1

【解析】

和

2.

1

2x+3≥0x

1

1

中的x+1≠0． x1

=(x+y)2，求xy的值

【答案】x-1≥0，1-x≥0 即x=1

0，所以(x+y)2=0，即y=-1，则

xy=1

【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0. x-1≥0，1-x≥0 即x=1，

，所以(x+y)2=0，即y=-1，则 xy=1

课程小结

本节内容主要讲解了如何运用概念判断二次根式，熟练运用二次根式有意义的条件

及二次根式的双重非负性解决实际问题，重点突出二次根式有意义的条件及双重非负性的运用。

课后作业

【基础】

1. 下列式子中，不是二次根式的是（ ） A

B

C

D．【答案】D

【解析】

由二次根式的定义可知，二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“第二，被开方数是正数或0．故只有D不符合.

2.已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）

；

1

x

A．5 B

C．【答案】B

1

D．以上皆不对 5

【解析】由于正方形的面积是边长的平方，故可知边长的平方为5

案为B. 【巩固】

1. 当x

【答案】x≥-

2

+x在实数范围内有意义？ 3

且x≠0 2

3

且x≠0 2

【解析】由二次根式有意义的条件可知：2x+3≥0且x≠0，解得x≥- 2.

【答案】

．

1

3

有意义，则应满足3-x≥0，x-3≥0，即x=3

【拔高】

1.

x有（ ）个．

1 3

A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】B

2

≥0，即x=5满足，则答案为B. （-x-5）

2. 已知a、b

=b+4，求a、b的值． 【答案】a=5，b= -4

【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0. a-5≥0，10-2a≥0 即a=5，故b+4= 0，所以b= -4.