高二下数学导函数与积分知识点
高二数学 导函数与积分
一、导数
1、导数定义：f （x ）在点x 0处的导数记作y 'x =x 0=f '(x 0) =lim ∆x →0f (x 0+∆x ) -f (x 0) ； ∆x
2、几何意义：切线斜率；物理意义：瞬时速度；
3、常见函数的导数公式:
' ①C =0；②(x n ) ' =nx n -1；③(sinx ) ' =cos x ；④(cosx ) ' =-sin x ；
⑤(a x ) ' =a x ln a ；⑥(e x ) ' =e x ；⑦(loga x ) =' 11' ；⑧(lnx ) = 。 x ln a x
'1⎛1⎫⑨ ⎪=-2；⑩x ⎝x ⎭x )'=21x
u u 'v -u v '4、导数的四则运算法则：(u ±v ) '=u '±v '; (uv ) '=u 'v +u v '; () '=; 2v v
'' 5、复合函数的导数：y 'x =y u ⋅u x ;
6、导数的应用：
（1）利用导数求切线：根据导数的几何意义，求得该点的切线斜率为该处的导数（k =f '(x 0) ）；利用点斜式（y -y 0=k (x -x 0) ）求得切线方程。
注意ⅰ）所给点是切点吗？ⅱ）所求的是“在”还是“过”该点的切线？
（2）利用导数判断函数单调性：①f '(x ) >0⇒f (x ) 是增函数；
②f '(x )
反之，f (x ) 是增函数⇒f '(x ) ≥0，f (x ) 是减函数⇒f '(x ) ≤0
（3）利用导数求极值：ⅰ）求导数f '(x ) ；ⅱ）求方程f '(x ) =0的根；ⅲ）列表得极值。
（4）利用导数最大值与最小值：
ⅰ）求得极值；ⅱ）求区间端点值（如果有）；ⅲ得最值。
（5）求解实际优化问题：
①根据所求假设未知数x 和y ，并由题意找出两者的函数关系式，同时给出x 的范围；②求导，令其为0，解得x 值，舍去不符合要求的值；
③根据该值两侧的单调性，判断出最值情况（最大还是最小？）；
④求最值（题目需要时）；回归题意，给出结论；
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二、定积分
（1）定积分的定义：⎰b
a f (x ) dx =lim ∑n →∞i =1n b -a f (ξi ) （注意整体思想） n
（2）定积分的性质：①
②
③⎰b a ； kf (x ) dx =k ⎰f (x ) dx （k 常数）a b ⎰⎰b a b [f 1(x ) ±f 2(x )]dx =⎰f 1(x ) dx ±⎰f 2(x ) dx ； a a b b
a （分步累加） f (x ) dx =⎰f (x ) dx +⎰f (x ) dx （其中a
（3）微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：⎰b
a f (x ) dx =F (x ) |b a =F (b ) -F (a ) 'n +1'x ⎛⎫⎛⎫1x a '''n x ⎪()()sin x =-cos x cos x =sin x n ≠-1()=ln x （熟记x = （），，，，a = n +1⎪ ln a ⎪⎪，x ⎝⎭⎝⎭
'e x =(e x )）
（4）定积分的应用：
①求曲边梯形的面积：S =； ⎰(f (x ) -g (x ) ) dx （两曲线所围面积）a b
注意：若是单曲线y =f (x ) 与x 轴所围面积，位于x 轴下方的需在定积分式子前加“—” ②求变速直线运动的路程：S =
③求变力做功：W =
⎰v (t ) dt ； a b ⎰b a F (s ) ds 。
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