双曲线专题教案
双曲线专题
教学目标:
1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。 2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。 重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。
【教学内容】
1、引入：
太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？ （阿基米德分牛问题）
2、双曲线的基本概念
1. 双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点F 1, F 2的距离之差的绝对值等于常
P 的轨迹叫作双曲线. 这两个定点F 1, F 2叫双曲线的焦数2a (a >0, 且2a
点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 双曲线的定义中，常数2a 应当满足的约束条件：PF 1-PF 2=2a
2. 若去掉定义中的“绝对值”，则仅能表示双曲线的一支；
3. 若常数a 满足约束条件：PF 1-PF 2=2a =F 1F 2，则动点轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；
4．若常数a 满足约束条件：PF 1-PF 2=2a >F 1F 2，则动点轨迹不存在； 5．若常数a =0，则动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线。 2. 双曲线的标准方程：
x 2y 2222
1．当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程：2-2=1(a >0, b >0) ，其中c =a +b ；
a b y 2x 2222
2．当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程：2-2=1(a >0, b >0) ，其中c =a +b .
a b
注意： 1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到
双曲线的标准方程；
2．在双曲线的两种标准方程中，都有c =a +b ；
3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.
2
2
2
3. 双曲线的简单几何性质:
2
2
（1）对称性：双曲线
x y -=1(a >0, b >0) 是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且a 2b 2
是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x =-a 和x =a 的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x ≤-a or x ≥a 。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
x 2y 2
②双曲2-2=1(a >0, b >0) 与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分
a b
别为A 1(-a , 0), A 2(a , 0) ，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1(-a , 0), B 2(a , 0) 为y 轴上的两个
点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为A 1A 2=2a , B 1B 2=2b 。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
注意：①实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
（4）离心率： ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作
e =
2c c =。 2a a
c
>1。 由c 2=a 2+b 2，可得a
②因为c >a >0，所以双曲线的离心率e =
b b b c 2-a 22
，所以决定双曲线的开口大小，越大，e 也越大，双曲线开==e -1
a a a a 2
口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线a =b ，所以离心率e =2。
（5）渐近线：经过点A 1、A 2作y 轴的平行线x =±a ，经过点B 1、B 2作x 轴的平行线
b
y =±b ，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是y =±x 。
a
b
我们把直线y =±x 叫做双曲线的渐近线。（双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交）
a
特别注意：双曲线的焦点三角形，弦长公式，中点弦问题与椭类似。
【例题讲解】
x 2y 2
例1 已知双曲线-+=1，求双曲线的实（虚）轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程，
169
渐近线方程.
练习：求双曲线nx 2-my 2=mn (m >0, n >0) 的实（虚）半轴长，焦点坐标，准线方程，渐近线方程.
例2 已知⊙O ：(x +5) 2+y 2=4，⊙O ：(x -5) 2+y 2=9
1
2
（1）若动圆P 与⊙1，⊙2均内切，求动圆圆心P 点的轨迹；（2）若动圆Q 与⊙1，⊙2均外切，求动圆圆心Q 点的轨迹。
22
练习：在方程mx -my =n 中，若mn
A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线
y 2
例3 设双曲线C 经过点(2, 2) ，且与双曲线-x 2=1具有相同渐近线，求双曲线C 标
4
准方程.
x 2y 2x 2y 2
-=1与-=λ一定有相同的（ ） 练习：1. 双曲线
916916
A. 焦点 B.准线 C.渐近线 D.离心率
x 2y 2-=1有共同的渐近线，并且过点A (6, 2) 的双曲线的标准方程 2. 与双曲线
916x 2y 2
例4 设F 1, F 2分别为双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点，双曲线上存在一点
a b
P 使得PF 1+PF 2=3b , PF 1⋅PF 2=
9
ab ，求双曲线的离心率. 4
练习：（1）双曲线9y 2-16x 2=144的离心率
x 2y 2
（2）已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线与曲线y =2x -1相切，则该双
a b
曲线的离心率为
例5 已知双曲线C 的离心率为
cos ∠AF 2F 1的值.
2，焦点为F 1, F 2, 点A 在C 上，若F 1A =2F 2A , 求
3x 2y 2
例6 双曲线E 与椭圆+=1有公共焦点，且离心率为. （1）求双曲线E 的方程；
22516
（2）若斜率为1的直线l 交双曲线E 于A , B 两点，且AB =4，求l 的方程.
例7已知双曲线x 2-4y 2=4以及点M (8, 1) ，过点M
M 为线段AB 的中点，求直线的方程.
的直线与双曲线相交于A , B 两点，
【过手练习】
x 2y 2
1. 已知方程+=1的图象是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）
2-k k -1
A . k 2 C . k 2 D . 1
x 2y 2
2. 双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是双曲线上一点，满足
a b
|PF 2=F 1F 2|，直线PF 1与圆x 2+y 2=a 2相切，则双曲线的离心率e 为（ ）
55 B.
D.
34
y 22
3. 过双曲线x -=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若AB =4，则这样的直线
2
l 有（ ）
A.
A .1条 B .2条 C .3条 D .4条
y 2x 2
-=1相交，4. 过原点的直线l ，如果它与双曲线则直线l 的斜率k 的取值范围是34
x 2
-y 2=1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨5. 设P 为双曲线4
迹方程是 ．
【拓展训练】
例8已知双曲线错误！未找到引用源。的一条渐近线方程为错误！未找到引用源。，两条
准线的距离为l .
（1）求双曲线的方程；
（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的
一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.
【链接高考】
x 2y 2
已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的一条渐近线平行于直线l ：y =2x +10，双曲线的
a b
一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 （ ）
x 2y 2x 2y 23x 23y 23x 23y 2A . -=1 B . -=1 C . -=1 D . -=1 [**************]5
【课后作业】
1. 等轴双曲线C :x 2-y 2=a 2与抛物线y 2=16x 的准线交于A,B
两点，AB ＝线C 的实轴长等于（ ）
x
2y 2，-=1的一条渐近线的方程为y =2. 已知双曲线则双曲线的焦点到直线的距离9m
为( )
A ．2 B . C . D . 2
3. 若直线过点(3, 0) 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点，则这样的直线有（ ） A .1条 B .2条 C .3条 D .4条
x 2y 2
4. 方程-＝1(k ∈R ) 表示双曲线的充要条件是（ ）
k -2k +3
A. k >2或k 2 D.-3
x 2y 2
5. 过双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以
a b
为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于 .
x 2y 2
6. 已知双曲线2-2=1(a >0,b >0) 的渐近线与圆x 2+y 2-4x +2=0有交点，则该双曲线
a b
的离心率的取值范围是 ．
x 2y 2
7. 已知双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F (c, 0) ．
a b
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y =x 且c =2，求双曲线的方程；
（2）以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的
切线，斜率为