数学期望的计算方法与技巧

第２２卷　第３期２００８年５月湖南工业大学学报Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｎａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　ＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＶｏｌ．２２　Ｎｏ．３Ｍａｙ２００８

数学期望的计算方法与技巧

肖文华

（娄底职业技术学院电子信息工程系，湖南娄底４１７０００）

摘要：利用数学期望的定义、性质、公式、随机变量分布的对称性，以及母函数、特征函数等，探讨了

数学期望的几种计算方法。

关键词：数学期望；定义；性质；公式；微分法

中图分类号：Ｏ２１１；Ｇ６４２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　文献标识码：Ａ　　　　　　文章编号：１６７３－９８３３（２００８）０３－００９８－０３

Ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ　ｆｏｒ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ

Ｘｉａｏ　Ｗｅｎｈｕａ

（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｌｏｕｄｉ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｏｕｄｉ　Ｈｕｎａｎ　４１７０００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｓｏｍｅ　ｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｂｙ　ｍａｋｉｎｇ　ｕｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ，　ｎａｔｕｒｅａｎｄ　ｆｏｒｍｕｌａ　ｏｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ，　ｔｈｅ　ｓｙｍｍｅｔｒｙ　ｏｆ　ｒａｎｄｏｍ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，ｇｅｎｅｒａｔｉｎｇ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ．

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎ；ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ；ｎａｔｕｒｅ；ｆｏｒｍｕｌａ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｍｅｔｈｏｄ

数学期望是概率论的重要内容之一，由于随机变量的分布形式不同，数学期望的求法也就不同，即使是同种分布，其解法也多种多样，技巧性较强，因此，探讨数学期望的计算方法和计算技巧有着重要意义。

因此从而

，

，

１直接利用定义求解

［１］

。

用定义直接求数学期望是求期望最基本的方法，在求数学期望时，常会用到一些特殊的无穷级数的求

和公式，如

等，利用这

２利用数学期望的性质求解

［２］

直接求一个随机变量的数学期望比较因难时，将该随机变量分成若干个比较容易求出数学期望的随机变量之和，然后利用数学期望的性质来解决原来那个随机变量的数学期望的求解问题，常用的公式

为

。特别是常把复杂的随机变量分

解成若干个服从贝努利分布的随机变量之和，即设

。

些公式及它们的各种变形，往往会使计算变得简单。

例１解为了求级数

，可作如下考虑：

，

设ｘ服从参数为ｐ的几何分布，求Ｅ（ｘ）。

。

由于

利用和函数的可微性对此级数逐项求导，可得

收稿日期：２００８－０３－２７

易得，若

，且ｘ，ｘ，…，ｘ相互独立，

１２ｎ

作者简介：肖文华（１９６８－），女，湖南娄底人，娄底职业技术学院讲师，主要从事高等数学，概率论与数学统计的教学和研究．

第３期肖文华　数学期望的计算方法与技巧９９

则

例２

。

有一类有奖销售，每１袋封闭包装的食品中

［４］

放１张赠券，ｎ张不同赠券为１套，收集齐１套可获重奖。试求为集齐Ｎ张赠券所需购买的食品袋数Ｘ的数学期望。

解

以Ｙｊ记从收集到第ｊ－１张之后到收集到第ｊ张

赠券所需购买的食品袋数，显然，对一切ｊ＝１，２，…，Ｎ，Ｙｊ

服从

的几何分布，即

，ｋ＝１，２，…，Ｎ。

从而因此

　

同分布，故

特别地，为集齐水浒１０８将的画卡，平均需购１０８×１ｎ１０８＝５０５．６７袋食品。

点评

利用变量分解技巧，可大大降低题目的难

度，很容易得到结论。

。

４利用分布的对称性求解

当分布律或分布密度函数具有对称性时，随机变量取值的集中位置就是对称中心。尤其当随机变量服从均匀分布时，其取值的对称中心非常容易得到，由此得到数学期望。

例４

若Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ为正的独立随机变量，服

。

从相同分布，试证明

，

证明由对称性

知

３利用“佚名统计学家公式”求解

［３］

设（Ｘ，Ｙ）是连续型随机变量，其概率密度为ｐ（ｘ，ｙ），ｚ＝ｇ（ｘ，ｙ）

为分段连续函数，若积分

绝对收敛，则随机变量

Ｚ＝ｇ（Ｘ，Ｙ）的数学期望为：

　　　　　　特殊地：

。

而，

故

，ｉ＝１，２，…，ｎ。

因此，由数学期望的可加性知

。

点评明简洁。

利用对称性与数学期望的可加性使本题证

　

这些公式姑且称为“佚名统计学家公式”。

例３

设随机变量（Ｘ，Ｙ）服从二元正态分布，其

，－。

∞＜ｘ，ｙ＜＋∞

，Ｚ的分布被称为瑞利分布，求Ｚ

利用佚名统计学家公式，可得

５利用条件期望公式求解

利用条件期望公式

［５］

密度函数为

令的数学期望。

解

或

例５

，可得数学期望。

求ｎ次贝努里试验中，事件Ａ发生的次数Ｓｎ

的数学期望。其中事件Ａ在每次贝努里试验中发生的概率为ｐ。

解

令

。

　　　　　　　　　　　　　　

则

１００湖南工业大学　学　报２００８年

以第一次试验的结果为条件，由条件期望公式得：

　　　

则

。

点评

利用条件期望公式简化数学期望计算的关

键，是要找到合适的作为条件的随机变量。

６利用特征函数求解

计算随机变量的特征函数

比直接计

算Ｅ（Ｘ）要简单，此时可以考虑先算出特征函数，再利用它与数学期望的关系，求出数学期望本身。

随机变量Ｘ

的特征函数定义为：

则

。特别地，Ｅ（Ｘ）

＝

。

例６设Ｘ￣Ｎ（μ，σ２），求Ｅ（Ｘ）。

解

由Ｘ￣Ｎ（μ，σ２），可求得Ｘ的特征函数ｆ（ｔ）为：

。

所以

　

。７利用母函数法求解

当随机变量为离散型时，则用母函数求数学期望更

为方便，由于随机变量ξ母函数的定义为φ

且有性质Ｅ（ξ）＝φ′（１），若ξ的数学期望存在，只须对它的母函数求一阶导数即可。

例７求普哇松分布的数学期望。

解

因为普哇松分布的母函数φ（ｓ）＝ｅλ（ｓ－１），所以

Ｅ（）＝φ′（１）＝　ｅλ

（ｓ－１）

ξ・λ

例８设随机变量ξ服从几何分布ｇ（ｋ，ｐ），求

Ｅ（ξ）。

解因为ｐ（ξ＝ｋ）＝ｐ（１－ｐ）ｋ－１　　（０＜ｐ＜１，ｋ＝１，２，…）　，

根据分布律的性质得。

两边对ｐ

求导数，得

即　

，因此Ｅ（ξ）＝

ｘｆ（ｘ）ｄｘ的值，若该积分不是绝对收敛，则其数学期望也不存在。

总之，只要对数学期望的基本定义和随机变量分布形式的特点有了透彻的理解，那么，对各种简化计算方法和技巧的应用就会游韧有余了。参考文献：

［１］杨向群．　线性代数与概率统计［Ｍ］．　长沙：湖南大学出版社，２００５．

［２］陈魁．　应用概率统计［Ｍ］．　北京：清华大学出版社，１９９９．［３］

李贤平，沈崇圣，陈子毅．　概率论与数学统计［Ｍ］．　上海：

复旦大学出版社，２００３．

［４］覃光莲．　数学期望的计算方法探讨［Ｊ］．　高等理科教育，２００６（５）：２７－２８．［５］赵强．　离散随机变量数学期望的几种求法［Ｊ］．　玉林师范学院学报，２００６（３）：５５－５６．

（责任编辑：廖友媛）