数学与应用数学毕业论文

目 录

第一章 七年级学生解题能力培养的意义 ................................................................. 1

第二章 培养数学解题能力的方法 ................................................................................. 2

2.1重视基本概念和基础知识的掌握 . .............................................................................. 2

2.2培养学生审题的能力 ..................................................................................................... 2

2.3通过变式训练提高学生解题能力 . .............................................................................. 4

2.4重视数学思想方法的教学 ............................................................................................ 7

2.5加强学生数学解题的规范性的教学 .......................................................................... 9

2.6不断归纳总结，增强解题功效 ................................................................................. 10 小 结 ............................................................................................................................................ 13 参考文献 ....................................................................................................................................... 14 致 谢 ............................................................................................................................................ 15

学号[1**********]339

密级

兰州城市学院本科毕业论文

七年级学生数学解题能力的培养

学院名称：数学学院

专业名称：数学与应用数学

学生姓名：谢飞

指导教师：詹紫浪

二〇一三年五月

BACHELOR'S DEGREE THESIS

OF LANZHOU CITY UNIVERSITY

The Development of Seventh Grade

Students ’ Mathematics Problem-solving

Ability

College : School of Mathematics

Subject : Mathematics and Applied Mathematics

Name : Xie Fei

Directed by : Zhan Zilang

May 2013

郑 重 声 明

本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠. 尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容. 对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明. 本学位论文的知识产权归属于培养单位.

本人签名： 日期：

摘 要

学生数学解题能力是数学知识在更高层次上的抽象与概括，单纯的数学知识只能是学生的知识积累，而数学解题能力的培养是一种授之以渔的过程. 七年级学生从小学单纯的数字计算到初中代数的引入，以及几何知识的扩展，他们掌握数学知识的广度和深度都有了不同程度的增加，因此培养学生的解题能力是必不可少的教学环节. 教师在课堂中应重视数学思想方法的教学，加强学生数学解题的规范性，不断归纳总结，增强解题效果. 学生在解题时会从不同角度考虑和分析问题，学会一题多解、一题多变、一题多得，从而巩固了所学知识. 解题能力的培养对发展学生创造性思维能力具有重要意义.

关键词：七年级；数学题；解题能力；创造性思维

ABSTRACT

Students ’ mathematics problem-solving ability is a higher level of abstraction and generalization of mathematics knowledge, pure mathematics knowledge is only the students' knowledge accumulation, and the training of mathematical problem solving ability is a kind of method. Seventh grade students had gone through from simple digital computing in elementary school to algebra introduction and extension of geometrical knowledge in junior high school, the breadth and depth of knowledge has increased in different levels, so it is needed to develop the students' ability of problem solving. The teacher should focus on teaching the method and the math thoughts, standard the solving process and always generalize to improve the effect of solving problems. By doing this we will make the students think in different ways when they facing the problem and analysis problem, learn to find more than one solution, and adapt the changes of the problem, that makes what they have learned been reviewed. So, developing the problem solving ability is important to improve the students ’ creativity.

Key words：Mathematical problem solving ability；Seventh grade； Creativity

第一章 七年级学生解题能力培养的意义 七年级数学是初中学习中关键的基础，它不仅是小学和初中数学知识衔接的重要阶段，更是学生获得知识，同时更是思维能力、情感态度与价值观方面得到进步和发展的时期，所以了解七年级数学的学习特点是很重要的.

七年级数学是在小学数学知识的基础上进行拓展和延伸的. 难度比较适中，宽度有所加大. 它与小学数学的最大的不同点是七年级数学的概念有显著的增加. 对于小学的概念读懂就可以了，而七年级的数学概念需要牢牢记住和掌握，在学习的过程中须有一种敢于挑战的精神，抓住知识的本质，细抠所学内容，在理解的基础上掌握概念、运用概念，这写方法贯穿中学数学学习的始终.

小学数学的计算与中学比较相对简单，中学数学的计算比较繁杂. 想要学好中学数学知识必须培养准确而迅速的计算习惯. 首先需要对所学的概念和定义深层的理解和熟练的掌握，其次还需要在做题的过程中专心的审题和细致检查，严格要求自己不能在基本的计算上粗心而出错误，并以此为考试成绩不高找借口，养成凡事认真仔细的习惯.

在小学知识与学习习惯的基础上，培养自己独立完成习题并且敢于克服难题的能力. 中学的学习中也会遇到类似于小学奥数一样的难题，一定要发扬敢于接受挑战的精神，在习题的过程中养成一题多解、多题一解、一题多变的习惯，注重培养发散思维与做题技巧.

因此在小学升入七年的数学学习中，培养较好的解题能力是学好中学数学知识的关键，是为以后的数学学习打下牢靠基础的保证.

第二章 培养数学解题能力的方法

2.1重视基本概念和基础知识的掌握

数学中的定义、公式、定理、命题等，是解题的依据，对于这些基本概念和基础知识，教师教学时不应忽视，不仅要讲解来龙去脉，还要指导学生透过表面抓住本质，并能熟练地将其应用.

例1 已知a ，b ，c 的位置如图1，化简：a -b +b +c +c -a =_____. 解答时，先根据数轴上的大小关系确定绝对值符号内代数式的正负情况知：a -b 0，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数的运算就可以求解出来了. 此题考查了数轴、绝对值的基本概念及定义以及有理数加法.

a c 0

图1 b

例2 8x 是分式吗？ x

A ，A 、B B 很多学生由于对分式的概念不清而做错这道题，一看这个式子是可以约分的，约分之后是8，那这个式子就不是分式了. 先看分式的概念：形如

是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式. 其中A 叫做分式的分子，

（1）分式是一个式B 叫做分式的分母. 教师在讲解的过程中一定要让学生注意：

子，只要形如A 就是分式了，不能急着先化简再去判断，（2）分式的分母中必B

须含有未知数. （3）分母的值不能为零，如果分母的值为零，那么分式无意义. 通过上述题目以及分析看出，对书中基本概念、基本知识的熟练掌握是提高做题能力的必须. 对于刚步入初中的学生来说，中学概念的大量增加是一个较大的挑战，所以教师要注重培养学生对基本概念和基础知识的掌握，严格要求学生牢记定义，概念. 在上课，要反复回顾这节课的概念、定义；下课后，布置关于基本概念的习题，在做题的过程中，学生就会应用学过的概念去做题，通过不断的训练，来加强基本概念的记忆与理解.

2.2培养学生审题的能力

七年级学生解数学题时，普遍存在着见题就解的习惯. 当遇见条件明显的题时，这种现象尤为显著. 这是提高学生解题能力的一大障碍. 为改正这种不良习惯，教师需要通过详细分析题意，找出简捷易懂的解题方法，让学生体会到仔细审题的优越之处，逐步形成分析题目的习惯，从而提高学生的解题能力.

例如某校七年级学生的一次测评试卷中有这样一道计算题，

2-2012⨯2014的结果. 例3 求解2013

其中发现有个别同学在拿到题目后就开始老老实实的计算，即20132=4052169，2012⨯2014=4052168，然后得出计算结果为1，然而有更多的同学是通过仔细观察这个算式后，选用另一种方法解题的，即

原式=20132-(2013-1) ⨯(2013+1) =20132-(20132-1) =1.

通过比较，显然第二种方法比第一种方法在运算量上要小的多.

另外在解数学应用题时，要做到三点：“一读、二画、三复述”.

读题是审题教学的第一步. 指导学生用默读方式，一边读，一边思考. 在教学过程中要逐步提高学生的读题能力，先要求学生逐字逐句地读，以后要求学生连贯地读，关键词语要加重语气读.

然而会读题并不等于理解题意. 为了使学生更好地理解题意，可以指导学生画画点点，画上各种符号. 一般用双竖线“||”把应用题的条件与问题分开，用横线“—”把已知条件断开，用着重点“⋅”表示关键词语.

例4 一架敌机侵犯我领空，我机起飞迎击，在两机相距时，敌机扭转机头. 以15千米分的速度逃跑. 我机以20千米分的速度追击，当我机追至距敌机5千米时向敌机开火，经过半分钟，敌机栽下去，敌机从逃跑到被我机歼灭时一共用了几分钟？

解：（50-5）÷（20-15）+0. 5

=45÷5+0. 5

=9. （分钟）5

此题内容较多，审题时必须仔细，其中的很多内容呈现的是一个情景，那么通过对题目画、分、点，能够帮助学生更快地加深对题意的理解.

复述题意是为了检验学生是否真正弄懂题目的意思. 对学生复述题意的训练，可以逐步使学生养成认真审题的良好习惯，同时也可以培养学生的数学语言表达能力以及理解和记忆能力. 然而审题能力的培养在应用题教学中表现得尤为

重要. 教学实践证明，学生解答不出应用题，主要的困难在于对题意不理解. “理解了题意，等于题目做出了一半”. 但是学生往往对审题拘于形式，拿到题目就把题中数字进行简单组合，导致错误. 应用题的难度是在找出问题中所蕴涵的数学关系. 所以首先要加强学生“说”的培养，理解题意. 对于有些叙述较为抽象、冗长的应用题，可引导学生将题目的叙述进行简化，即说出应用题的已知条件和问题. 其次要加强关键词句的观察，理解题意. 有时候仅一字之差，题目的数量关系就发生变化了，进而解法也有很大的差异.

2.3通过变式训练提高学生解题能力

学生的做题技巧是基本计算之上才会有的，所以要把基本计算练好. 但是大量的基本计算训练容易僵化学生的思维，不利于创新能力的培养，因此要科学地运用变式来提高解题能力，通过变式来改变题目的条件或结论，找出已知条件与问题之间的联系，能够使学生把握题中不变的东西，熟悉做题的技巧，同时也培养了学生联想、转化、归纳、推理、探索的思维能力. 其中变式训练包括一题多解，多题一解，一题多变.

（1）一题多解，触类旁通

一题多解是教师在教学过程中积极引导学生对于同一个问题用多种方法与途径去思考和分析问题. 通过用多种方法求解题目，既可深化学生所学知识，培养学生的发散性和创造性思维解题思维.

例5 已知a -2b =-2，则4-2a +4b 的值是多少？

要求4-2a +4b 的值，只需求出-2a +4b 的值. 而已知条件是一个一元二次方程，它含有两个未知数，无法求出未知数的值，这就需要我们从别的途径来思考这个问题.

分析一：注意到已知条件中a 的系数是1，因此可用含b 的式子表示a ，然后代入待求式，这样待求式就变成了只含有a 的式子，其中含有字母的部分必然能够互相抵消.

解法一：由已知，得a =2b -2，代入4-2a +4b ，得:

4-2a +4b =4-2(2b -2) +4b =4-4b +4+4b =8

分析二：注意到已知条件中b 的系数是-2，而待求式中b 是4，因此可用a 含的式子表示2b ，然后代入待求式，这样待求式就变成只含有字母a 的式子，

其中含有字母的部分必然能够互相抵消.

解法二：由已知，得2b =a +2，代入得:4-2a +4b .

4-2a +4b =4-2a +2⨯2b =4-2a +2(a +2) =4-2a +2a +4=8.

分析三：注意到待求式中a 的系数是已知式中a 的系数的-2倍，求式中b 的系数是已知式中b 的系数的-2倍，因此-2a +4b 必然是a -2b 的-2倍，因此可用含a -2b 的式子表示-2a +4b ，然后代入求值.

解法三：4-2a +4b =4-2(a -2b ) =4-2⨯(-2) =4+4=8.

分析四：由于已知等式对a 或b 的值没有限制，因此可对a 或b 取具体的数值，用特殊值法求解.

解法四：在等式中a -2b =-2，设b =0，则a =-2. 将a =-2，b =0代入

4-2a +4b ，得:

4-2a +4b =4-2⨯(-2) =4+4=8.

(2)多题一解，适当变式

对于很多数学题，它们看似不同，但其解题思路和方法是一样的，这就需要教师在教学过程中重视对这类题目的收集、比较，积极引导学生寻找通用的解题方法，快速解题.

例6 解下列各题：

(1)如图3，A 是CD 上一点，∆ABC 、∆ADE 都是正三角形，说明：CE =BD . (2)如图4，∆ABD 、∆ACE 都是正三角形，说明：CD =BE .

(3)如图5，分别以∆ABC 的边AB 、AC 为一边画正方形AEDB 和正方形

ACFG ，说明：CE =BG .

(4)如图6，有公共顶点的两个正方形ABCD 、BEFG ，连接AG 、CE ，说明：AG =EC .

(5)如图7，P 是正方形ABCD 内一点，若PB =P ' B ，∠PBP ' =90 ，说明

∆APB ≅∆CP ' B .

D

D

E

图3 图4

图5 图6 图7

上述五道题均是利用正三角形、正方形的性质来证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质来证明或计算.

（3）一题多变，举一反三

一题多变是指改变题目的条件或结论，以及变换图形的位置结构，对题目进行引伸、推广等.

例7 解下列各题：

（1）如图8，已知AB //CD ，说明∠B +∠D =∠BED . （2）如图9，已知AB //CD ，说明∠BED =360 -(∠B +∠D ) . （3）如图10，已知AB //CD ，说明∠BED =∠D -∠B .

A E

12

C

D F

A

F C

12E

图8 图9 图10

说明：（1）由已知可知AB //CD ，作EF //AB ，则EF//AB //CD ，由平行线定理可知∠B =∠1, ∠D =∠2（两直线平行内错角相等），又因为

∠1+∠2=∠BED ，那么∠B +∠D =∠BED .

（2）由已知可知AB //CD ，作EF //AB ，则EF//AB //CD ，由平行线定理

可知∠B +∠1=180∠, D +∠=2

，又因为1 8（0两直线平行同旁内角互补）

∠1+∠2=∠BED ，那么∠BED =360 -∠B +∠D .

（3）由已知可知AB //CD ，作EF //AB ，则EF//AB //CD ，由平行线定理可知∠B =∠两直线平行内错角相等），又因为F E , B ∠D =∠F （E D

∠BED =∠FED -∠FEB ，那么∠BED =∠D -∠B .

2.4重视数学思想方法的教学

在教学过程中，教师对数学思想方法的传授对学生解题能力的提高起至关重要的作用. 对数学问题发现、思考、规律的揭示，及结论的推广等过程都体现着某种数学思想，并受某种数学思维的指导. 在教学中忽视这个过程就意味着失去了向学生传授数学思想方法的机会. 因此，我们遵循“教师主导，学生主体”的教学原则，在教学过程中运用启发式教学，培养学生的自主创新能力，使其能够熟练运用各种数学思想方法，而非填鸭式教学，这就要求教师处理数学问题中循序善导.

在中学数学教材中都蕴含了那些数学思想方法呢？第一，具体的数学方法有：消元法，换元法，配方法，待定系数法等；第二，科学的逻辑方法有：类比，归纳，演绎，以及分析法，综合法，反证法等；第三，常用的数学思想有：数形结合思想，方程的思想，分类讨论的思想等.

例如在掌握一元一次方程（组）的解法后，可让学生尝试求解二元、三元一次方程（组）的方法，其实就是用消元法将三元转化为二元，再将二元转化为一元方程（组）进行求解，初步体会化归思想.

现在我们就以某中学七年级学生的一道月考试题为例.

例8 甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数.

分析：由题意列出相应的数学关系式，即一个含有三个未知数的三元一次方程组.

解：由题意得：

⎧x +y +z =36⎪

⎨x -y =1

⎪2x +z -y =18⎩

(1) (2) (3)

由(2) 式得：x =y +1 （4）

将(4) 分别代入(1) 和(3) 得只含y , z 的二元一次方程组

⎧2y +z =25

⎨

y +z =16⎩⎧y =9 解得：⎨

⎩z =7

将y =9代入(4) 得：x =10.

⎧x =10⎪

所以得：⎨y =9

⎪z =7⎩

求解此三元一次方程式组时，也可以通过观察发现(2) 式中不含z ，那么可以考虑将(1) 和(2) 结合消去z ，所得到的只含有x 和y 的二元一次方程与(3) 组成二元一次方程组，然后求解此二元一次方程组.

又例如我们常常利用数形结合思想来解题，下面我们就来看看如何通过数轴解有关有理数的题目.

例9 小明在一个东西走向的跑道上，先向东走了7米，再向西走了13米，问小明现在的位置与起始位置相距几米？

图11

由图可以清晰的看出小明现在的位置与起始位置相距13-7=6米.

2.5加强学生数学解题的规范性的教学

俗话说“无规矩不能成方圆”，数学赋予我们的“严谨、简洁、灵活”的优秀品质都建立在规范的基础上，强化学生解题的规范性，同时也培养了学生思维的严密性. 七年级是初中的起始阶段，解题的规范性尤为重要，对以后各阶段的学习影响较大，规范解题应及早抓起.

讲解例题作为教学过程的一个重要部分，它不仅能激发学生对于数学知识学习的兴趣，而且对学生做题过程有重要的示范作用. 教师在讲授每节课时，一定要充分发挥例题的重要作用，仔细地研究分析相关例题的解题规范与注意要点. 讲解例题、作业、习题、试题时板书的规范的格式，这样学生就有参照，自然上行下效. 对于学生的作业，应该要求解题过程有理有据，每一步都有出处，有条件. 小学阶段的几何知识较少，解几何题时的要求比较低，而中学阶段解几何题时要求用几何语言表达. 不同阶段的要求不同，解题的规范也会发生变化，因此教师一定严格要求学生的书写格式以及语言表达，强化解题规范意识，使学生的规范解题成为习惯.

例10 若∠AOB =2∠BOC ，则OC 是∠AOB 的角平分线，这句话对吗？ 分析：学生习惯直接写“不正确”就算解题结束. 这样解题不规范应该及时纠正，要先写解，然后给结论，再给理由.

解：不正确.

由∠AOB =2∠BOC 能画出两种情况如下图所示. 但（1）中OC 不是∠AOB 的平分线， 若∠AOB =2∠BOC =2∠AOC ， 那么OC 是∠AOB 的平分线，

若∠AOB =2∠BOC ，且OC 在∠AOB 的内部， 则OC 是∠AOB 的平分线.

C

B

B C

A

O

O

A

图12 图13

再看一个平常由于学生不注意书写规范而易错的例子.

例11 用白铁皮做罐头盒，每张可以制盒身25个或抽盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套，现有36张白铁皮，用多少张制盒身、多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？

可设用x 张制盒身，用y 张制盒底，易得到两个方程：x +y =36和还是用点乘号40y =2⨯25x 很多学生为了表示2与25x 的乘积，是用叉乘号（⨯）因为在手写的时候，叉乘号与字母x 很容易混淆，点乘号又容易与小（⋅）（⨯）（⋅）数点混淆！教师在上课的时候，怎样要求学生书写呢？

在写的时候2(25x ) 或2⨯25x 均可，写2⨯25x 要求学生写未知数x 时，形状像两个背靠背的半椭圆，以便与乘号区分开，避免在做题的时候因为书写而出现错误.

2.6不断归纳总结，增强解题功效

解题不能只注意解题过程的完成或单纯追求结果的对与错，解题后，要求学生归纳所用知识，重要知识的用法，解类似题的方法技巧，并查错补遗，寻求最佳方案等. 通过这样的训练，培养学生的良好的解题习惯，通过过程挖掘，提炼解题指导思想，归纳总结解题方法，上升到思想方法的高度，抓住实质，揭示规律，从而更高层次上发挥解每一类数学问题的功能作用，大量节省做题时间同时大大提高效率，学生的解题能力才会得到较大提高.

七年级所学知识中几何证明主要考到的是说明三角形全等，因此在做题过程中时刻注意已知条件中是否给出说明三角形全等的条件，以便更快地找到解题思路.

例12 如图14，∆ABC 中，∠ACB =90。，

AC =BC ，AE 是BC 边上的中线，过B 作AC 的平

行线，使得BD =BE ，连结CD 交AE 于F . 说明：

AE =CD .

图14

说明： BD //AC .

∠DBC =∠ACB =90.

又 E 为BC 中点且BD =BE .

1

BD =BE =BC =EC .

2 又由已知得：AC =BC . 那么∆BCD ≅∆CAE (SAS ).

可知AE =CD. (全等三角形对应边相等)

该题主要就是通过证明三角形的全等来解决所求证的问题.

再例如七年级的应用题所遇到的应用问题有行程问题、工程问题、数字问题、利润问题等，应该对每一类问题的数量关系进行总结，这样可以使学生在解题时思路更加清晰.

这几类问题总结如下表1：

表1

小 结

数学是自然科学是基础学科，是中小学教育中必不可少的基础学科，它对发展学生的智力，培养学生的能力，特别在培养人的思维方面，具有其它学科任何一门学科都无法替代的特殊功能，中学数学解题能力的培养也是多方面的，没有固定的模式，我们要不断加强教育理论的学习，及时准确把握学生的状况，改进教法，引导学生真正成为学习的主人，让素质教育在数学教育这块园地中开出更美的花朵，结出丰硕的果实.

参考文献

[1](美)G ·波利亚著，涂泓，冯承天译. 怎样解题[M].上海科技教育出版社，2000-4-25

[2]希阳，源流. 七年级发散思维大课堂[M].龙门书局，2012-6-20

[3]杨红潮. 中学生数理化（七年级数学）（北师大版）[J].中华人民共和国新闻出版总署，2012，14（1）

[4]薛金星. 中学教材全解（七年级数学）（北师大版）[M].人民教育出版社，2010-4-15

[5]（美）乔治·波利亚著，刘景麟等译. 数学的发现:对解题的理解、研究与讲授[M].科学出版社，2009-05-01

[6]金英兰. 初中解题方法数学7年级(第3次修订版)[M].延边大学出版社，2011-05-01

致 谢

本论文是在詹老师的亲切关怀和悉心指导下完成的。从论文的选题、资料的收集到一、二、三稿的修订过程中，都经过詹老师的耐心指导和热心帮助。詹老师经常会以电话和发邮件的方式指导论文的写作。每次我通过电子邮件的形式发送的论文稿件，詹老师都会详细地去看，并把需要修改的部分用红色字体标记出来，再加注很多宝贵的修改建议和意见，詹老师严谨务实的工作作风非常值得我学习。在此，我谨向导师詹紫浪老师致以崇高的敬意和衷心的感谢。

最后，向帮助我校正文字和排版以及提供写作工具的同学表示真诚的感谢。

谢飞

2013年5月于兰州城市学院

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