确定性时间序列模型

确定性时间序列模型

一、时间序列的构成要素

（一）构成要素 现象在其发展变化过程中，每一时刻都受到许多因素的影响。在诸多影响因 素中，有的是长期起作用的，对事物的发展变化发挥决定性作用的因素；有的只 是短期起作用，或者只是偶然发挥非决定性作用的因素。在分析时间序列的变动 规律时，事实上不可能对每一个影响因素都一一划分开来，分别去作精确分析。 但是，我们可以将众多影响因素，按照对现象变化影响的类型，划分为若干种时 间序列的构成要素，然后，对这几类构成要素分别进行分析，以揭示时间序列的 变动规律性。影响时间序列的构成要素通常可归纳为四种：即长期趋势、季节变 动、循环变动、不规则变动。

1、长期趋势（T） 长期趋势是时间序列的主要构成要素，它是指现象在较长时期内持续发展变 化的一种趋向或状态。可能呈现出不断向上增长的态势，也可能呈现为不断降低 的趋势，是受某种固定的起根本性作用的因素影响的结果。例如，中国改革开放 以来经济持续增长，表现为国内生产总值逐年增长的态势。 2、季节变动(S) 本来意义上的季节变动是指受自然因素的影响，在一年中随季节的更替而发 生的有规律的变动。现在对季节变动的概念有了扩展，对一年内或更短的时间内 由于社会、政治、经济、自然因素影响，形成的以一定时期为周期的有规则的重 复变动，都称为季节变动。例如，农业产品的生产、某些商品的销售量变动都呈 现出季节性的周期变动。 3、循环变动(C) 循环变动指某种现象在比较长的时期内呈现出的有一定规律性的周期性波 动。循环变动与长期趋势不同，它不是单一方向的持续变动，而是有涨有落的交 替波动。循环变动与季节变动也不同，循环变动的周期长短很不一致，不像季节

变动那样有明显的按月或按季的固定周期规律，循环变动的规律性不甚明显，通 常较难识别。 4、不规则变动(I) 不规则变动指现象受众多偶然因素影响，而呈现的无规则的变动。包括由突 发的自然灾害、意外事故或重大政治事件所引起的剧烈变动，也包括大量无可名 状的随机因素干扰造成的起伏波动。是时间序列长期趋势、季节变动和循环变动 后余下的变动。

P SE

01 20 AY M 00 20 P SE 00 20 N JA 99 19 AY M 98 19 P SE 98 19 N JA 97 19 AY 6 M 9 19 P SE 96 19 N JA 95 19 AY M 94 19 P SE 94 19 N JA 93 19 AY M 92 19 P SE 92 19 N JA 91 19 AY M 90 19 N JA 90 19

时间序列的变动一般都是以上四种构成要素或其中一部分要素的影响而形成

600000 500000 400000 300000 200000 100000 0

700000

图1

某航线每月旅客人数（千人）

的。例如，图 1 是某航线

1993－2004 年每月旅客人数时间序列数据的图形，可 以看出， 它包含明显的长期增长趋势和季节变动趋势。 时间序列分析的任务之一， 就是对时间序列中的这几种构成要素进行统计测定和分析，从中划分出各种要素 的具体作用，揭示其变动的规律和特征，为认识和预测事物的发展提供依据。

二、时间序列的分解模型

进行时间序列分析的一个重要前提，就是了解四种变动因素：长期趋势 T、 季节变动 S、循环变动 C 和不规则变动 I 以什么样的形式相结合（假设在时间数 列中均包含有四种因素。当然，实际中并非如此） 。把这四个影响因素同时间序 列的关系用一定的数学关系式表示出来，就构成了时间序列的分解模型。将各影 响因素分别从时间序列中分离出来并加以测定的过程，称为时间序列的构成分 析。 按四种因素对时间序列的影响方式不同，时间序列可分解为多种模型，如乘 法模型、加法模型、混合模型等。各种模型都是在一定的假定情况下成立的。其

中最常用的是乘法模型。 1、乘法模型 假设四因素变动相互交叉影响时，则时间序列中的观察值是四个构成因素之 积，即为乘法模型：

Y = T ⋅ S ⋅C ⋅ I

其中： Y ——时间序列中的指标数值。

（1）

根据这个模型，要求出某个构成因素的影响，用其余构成部分除时间序列即 可。例如，当求出长期趋势 T 以后，以 Y 除以 T，则可得不含长期趋势的派生时 间序列：

Y = S ⋅C ⋅ I ； T

若再求出季节变动 S，用 S 去除，则可得不含长期趋势及季节变动的时间序 列：

Y /T =C⋅I S

（2）

如果时间序列中仅含长期趋势和季节变动两个因素， 则可以按以上相除的方

法将两种因素分解开来分别进行分析。 2、加法模型 假设四因素变动相互独立时，则时间序列中的观察值是四个构成因素之和， 即为加法模型：

Y =T +S +C + I

（3）

同样，当欲求出某种因素变动的影响时，则可用相减的形式。如当长期趋势 T 测定出来后，用 Y 减去 T，即得不含长期趋势 T 的派生时间序列。如果此时时 间序列只受两因素(T 和 S)的影响，则 Y—T＝S，得到只含季节变动的时间数列， 可直接分析季节变动这一因素了。 3、混合模型

Y = T ⋅ S + I ， Y = S + T ⋅ C ⋅ R 等。

在实际工作中，具体应用哪种模型进行分析，需根据研究对象的性质、目的 和掌握的资料等情况而定，但一般以乘法模型应用较多。 对时间数列各个构成因素的分析，通常以长期趋势和季节变动为主。

三、长期趋势测定

对长期趋势的测定和分析， 是时间序列分析的重要工作， 其主要目的有三个： 一是为了认识现象随时间发展变化的趋势和规律

性；二是为了对现象未来的发展 趋势做出预测；三是为了从时间数列中剔除长期趋势成分，以便于分解出其他类 型的影响因素。 根据表现形态的不同，现象发展的变动趋势有线性趋势（Linear trend）和非 线性趋势（Non-linear trend） 。下面分别介绍它们的一些重要的分析方法。

（一）线性趋势

线性趋势也称直线趋势，是指现象随着时间的推移而呈现出稳定增长或下降 的线性变化规律。线性趋势的分析方法有很多，这里只介绍常用的几种。 （一）移动平均法 移动平均法是趋势变动分析的一种较简单的常用方法。当时间序列的变动趋 势为线性状态时，可采用简单移动平均法进行描述和分析。该方法的基本思想和 原理是，通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定的间隔长度逐期移动，分别 计算出一系列移动平均数，由这些平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波

动起到一定的修匀作用，削弱了原序列中短期偶然因素的影响，从而呈现出现象 发展的变动趋势。 设观测的时间序列为 y1 ， y 2 ，…， y n ，则 k (1

M t(1) =

1 ( y t + y t −1 + L + y t − k +1 ) k

t ＝1，2，……n

（4）

【例】表 1 是某厂各月生产机器台数的数据，采用 3 项、4 项和 5 项移动平 均法分别进行修匀，计算其各个移动平均数，如表 1 所示，图 2 是其图形。

表1

某机器厂各月生产机器台数的移动平均数 月份 机器台数 3 项移动平均 5 项移动平均

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

41 42 52 43 45 51 53 40 51 49 56 54

－ 45 45.7 46.7 46.3 49.7 48 48 46.7 52 53 －

－ － 44.6 46.6 48.8 46.4 48 48.8 49.8 50 － －

60

55

50

机器台数（台）

45

40

35

30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

月份 实际值 3项移动平均 4项移正平均

应用移动平均法分析长期趋势时，应注意下列几个问题： 1.用移动平均法对原时间序列修匀，修匀程度的大小，与平均的项数多少有 关。例如，用 5 项移动平均比 3 项移动平均效果要好些(如图 3)。这就是说，修 匀的项数越多，效果越好，即趋势线越为平滑。 2.移动平均法所取项数的多少，应视资料的特点而定，原时间数列如果有较 明显的周期性波动，则移动平均的项数要以周期的长度为准。事实证明，当移动 平均的时期长度等于周期长度整数倍时，就能把周期性的波动完全抹掉，从而使 时间数列只显露长期趋势的影响。例如，当数列资料为季度资料时，可采用四季 移动平均；若根据各年的月份资料，则应取 12 项移动平均，这样可消除季节性 变动的影响，能较准确地揭示现象发展的长期趋势。 3.移动平均法，采用奇数项移动平均比较简单，一次即得趋势值

。采用偶数 项移动平均数，由于偶数项移动平均数都是在两项中间位置，需进行一次“移正 平均” ，即将第一次移动平均值再进行两项移动平均，得出移正值时间序列，以 显示出现象变动趋势。

4.移动平均后的数列，比原数列项数要少。移动时采用的项数愈多，虽能更好 地修匀数列，但所得趋势值的项数就越少。一般情况下，移动平均项数(设为 K) 与趋势值的项数关系为： ①奇数项移动平均时， 趋势值的项数＝原数列项数-K+l， 这样首尾各少

K −1 项，共丢失 K－1 项。如上例中，3 项移动平均时，即 K＝3， 2 K 项，共丢失 2

原序列项数为 12 项，则移动平均所的趋势值项数为 10 项，首尾各丢失 1 项；② 偶数项移动平均时，趋势值项数＝原数列项数－K，这样首尾各少

K 项。所以，移动平均法使数列首尾各丢失部分信息量，而且移动平均时间越长， 丢失项数越多。因此，移动平均时间不宜过长。 （二）指数平滑法 指数平滑是另一种计算长期变动趋势的方法。移动平均法在逐期进行移动平 均时，将每个样本点的作用等同对待。但在时间序列中，越靠近当前时刻的观察 值越能反映当前时刻的性质，而远离当前时刻的观察值对当前时刻的代表性越 弱。指数平滑法在计算移动平均时引入一个权数使离当前时刻越近的样本点所起

的作用越大。用数学公式表示指数平滑的递推公式为：

Ft +1 = αX t + (1 − α ) Ft

（5）

其中， X t 表示时间序列第 t 时期的实际值， Ft 表示第 t 期的预测值， α 称 为平滑系数， （1- α ）称为阻尼系数，是介于 0 到 1 之间的数。 系数 α 的大小决定了平滑的程度，它与移动平均的间隔有类似的性质，适当 选取 α 值是决定指数平滑结果优劣的重要因素。一般通过多次试算，然后比较各 种 α 的趋势线以选出一个最优值。 需要注意的是，以指数平滑预测的结果存在滞后偏差，即当时间序列呈下降 趋势时，预测值往往偏高；反之，则偏低。另外，一次指数平滑预测只能做下一 期的预测。 （三）直线趋势方程拟合法 直线趋势方程拟合法是利用直线回归的方法对原时间序列拟合线性方程，消

除其他成分变动， 从而揭示出数列长期直线趋势的方法。 当现象的逐期增长量 （一 次差）大体相同时，可以考虑拟合直线趋势方程。直线趋势方程的一般形式为：

ˆ Yt = a + b ⋅ t ˆ 其中： Yt 为时间数列 Yt 趋势值；

t 为时间

（6）

ˆ a 为截距项，是 t=0 时 Yt 的初始值; ˆ b 为趋势线斜率，表示时间 t 变动一个单位时趋势值 Yt 的平均变动数

量。 趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 通常按最小二乘法求得。该方法是根据回 归分析中

的最小二乘法原理，对时间序列配合一条趋势线，使之满足条件：各实

ˆ 际观察值( Yt )与趋势值( Yt )的离差平方和为最小， 即

趋势，并对未来的趋势值进行预测。

∑ (Y

t

ˆ − Yt ) 2 =最小值。 然后，

根据所确定的趋势线计算出各个时期的趋势值，从而观察和描述现象发展的变动

a 、 b 参数估计公式为：

⎧ n∑ tY − ∑ t ∑ Y ⎪b = n∑ t 2 − (∑ t ) 2 ⎨ ⎪ a =Y −b⋅t ⎩

（二）非线性趋势 当现象的长期趋势不是线性的，但又有一定的规律性，这时称现象的长期趋 势为非线性趋势。若现象呈现出某种非线性状态，就需要配合适当的趋势曲线。 趋势曲线的形式很多，有抛物线型、指数曲线型、修正指数曲线型、Gompertz 曲 线型、Logistic 曲线型等等。下面介绍几种曲线的拟合方法。 (一)二次曲线 当现象发展趋势呈现抛物线型时，可拟合二次曲线。 （7）

ˆ 其方程为： Yt

= a + bt + ct 2

（8）

该曲线的特点是各期观察值的二次差基本相等。所谓二次差是各观察值逐期

增长量的逐期增长量。 曲线中的三个未知参数 a ,b,c, 可根据最小二乘法求得。根据最小二乘法导 出下列三个标准求解方程式：

⎧∑ Y = na + b∑ t + c∑ t2 ⎪ ⎪ 3 2 ⎨ ∑ tY = a ∑ t + b ∑ t + c ∑ t ⎪ ∑ t 2Y = a ∑ t 2 + b ∑ t 3 + c ∑ t 4 ⎪ ⎩

（9）

可以将时间序列中间时期设为原点，即有 ∑ t = 0 ， ∑ t 3 = 0 ，则（9.4.9）

式可简化为：

⎧∑ Y = na + c ∑ t 2 ⎪ ⎪ 2 ⎨∑ tY = b ∑ t ⎪∑ t 2Y = a ∑ t 2 + c ∑ t 4 ⎪ ⎩

（10）

(二)增长曲线 许多现象在其发展过程中呈现出以不同的速率增长或下降，或者由逐渐增长

到逐渐衰退等不同形态。用于描述这类增长过程的曲线称为增长曲线。下面是几 种常见的增长曲线。 1. 指数曲线。当现象的长期趋势每期大体按相同的增长速度递增或递减变 化时，可拟合如下指数曲线方程：

ˆ Yt = ab t

值按一定的百分比递增或衰减。

（11）

指数曲线的特点是各期的环比增长速度大体相同，或者时间序列的逐期趋势

（11）式中，a, b 为未知参数， b ﹥1，增长率随 t 的增加而增加；若 b ﹤ 若

ˆ 1，增长率随 t 的增加而降低；若 a ﹥0， b ﹤1，趋势值 Yt 逐渐降低到以 0 为极

限。 为估计 a, b ，可将（9.4.11）式两端取对数，得

ˆ ㏒ Yt =㏒ a + t ㏒ b

运用最小二乘法可以得到㏒ a 和㏒ b 的标准方程： ∑㏒ Y

= n ㏒ a + ㏒ b ∑t

= ㏒ a ∑t+㏒ b ∑ t 2

(8.4.12)

∑t ㏒ Y

估计出㏒ a 和㏒ b ，再取反对数即可得参数 a, b 的估计值。 2. 修正指数曲线。在一般指数曲线的基础上增加一个常数 K，即为修正指 数曲线（Modified Exponential Curve） 。其一般形式为： （13）

ˆ Yt = K + ab t

式

中， K , a, b 为未知参数， K ﹥0， a ≠0， 0﹤ b ≠1。

修正指数曲线用于描述这样一类现象： 初期增长迅速， 随后增长率逐渐降低，

ˆ 最终则以 K 为增长极限。即当 K＞0， a ＜0，0﹤ b ＜1 时，t→∞，Yt →K。例如，

某种刚问世的新产品，初期销售量增长可能很快，当市场拥有量接近饱和时，销 售量逐渐趋于某一稳定的水平。现实生活中有许多事物的发展过程符合修正指数 曲线的形式。 修正指数曲线中的三个未知参数 K、a 、 可用三和法求解。 b 家 B·Gompertz 而命名的。曲线方程为： （16）

3. 龚珀兹曲线。龚珀兹曲线（Gompertz curve）是以英国统计学家和数学

ˆ Yt = Ka b

t

（18）

式中，K, a ，b 为未知参数，K>0，0

展、成熟和衰退分析，工业生产的增长、产品的寿命周期、一定时期内人口增长 等现象也符合该曲线。 4. 罗 吉 斯 蒂 曲 线 。 罗 吉 斯 蒂 (Logistic) 曲 线 是 由 比 利 时 数 学 家 （P．F．Verhulst）在研究人口增长规律时提出来的，它又称为生长理论曲线。 该曲线所描述的现象的特征与 Gompertz 曲线类似，其曲线方程为：

ˆ Yt =

1 K + ab t

（三）趋势线的选择

（22）

式中，K， a ，b 为未知参数。 趋势模型的选择是定性分析和定量分析相结合的过程。 首先，进行定性分析。应了解所研究现象的客观性质及其相关的理论知识， 根据现象观察值的发展变化规律及其散点图的形态确定适当的趋势线类型。这在 一定程度上取决于研究者的个人经验及理论知识水平。

其次，可根据所观察时间序列的数据特征，按以下标准考虑选择趋势线： （1）若观察值的一阶差分（逐期增长量）大致相同，可配合直线； （2）若二阶差分（逐期增长量的逐期增长量）大致相同，可配合二次曲线； （3）若各观察值的环比增长速度大致相同，可配合指数曲线； （4）若各观察值一阶差分的环比速度大致相同，可配合修正指数曲线； （5） 若各观察值对数一阶差分的环比速度大致相同， 可配合 Gompertz 曲线。 （6）若各观察值倒数一阶差分的环比速度大致相同，可配合罗吉斯蒂曲线。 第三，如果对同一时间序列有几种趋势线可供选择，可通过下列指标比较选 择。 （1）均方根误差（Root Mean Squared Error）简记为 RMSE

RMSE =

ˆ ∑ ( y − y) n

2

（2）平均绝对误差（Mean Absolute Error）简记为 MAE

MAE =

1 ˆ ∑ y− y n

（3）平均绝

对百分比误差（Mean Absolute Percent Error）简记为 MAPE

MAPE =

ˆ 1 y−y ∑ y ×100% n

一般认为，如果 MAPE 小于 10，则认为预测精度较高。 （4）希尔不等系数（Theil Inequality Coefficient）简记为 Theil IC

1 ˆ ∑ ( y − y)2 n Theil IC= 1 1 ˆ ∑ y2 + n ∑ y2 n

希尔不等系数总是介于 0 到 1 之间，数值越小表明预测精度越高。 （5）偏差率（Bias Proportion） 、方差率（Variance Proportion） 、协方

差率（Covariance Proportion）

ˆ ( y − y )2 BP = ˆ ∑ ( y − y )2 / n

(σ y − σ y ) 2 ˆ VP = ˆ ∑ ( y − y)2 / n

CP =

2(1 − r )σ yσ y ˆ ˆ ∑ ( y − y)2 / n

三个指标之和等于 1，三个指标的分母为均方误差。当预测比较理想时，均 方误差大多集中在协方差率上，偏差率和方差率很小。

四、季节变动分析

（一）季节变动及其测定目的

季节变动是指客观现象因受自然因素或社会经济因素影响，在一年内形成的 有规律的周期性变动。它是时间序列的又一个主要构成要素。季节变动在现实生 活中经常遇到，如商业活动中的“销售旺季”和“销售淡季” 、农产品和以农产 品为原料的某些工业生产的产量和销售量变化、旅游业的“旅游旺季”和“旅游 淡季” ，等等。

季节变动中的“季节”一词是广义的，它不仅是指一年中的四季，而是泛指 任何一种有规律的、按一定周期（季、月、旬、周、日）重复出现的变化。季节 变动的原因通常与自然条件有关，同时也可能由于生产条件、节假日、风俗习惯 等社会经济因素所致。季节变动常会给人们的社会经济生活带来某种影响，如会 影响某些商品的生产、销售和库存。 我们测定季节变动的意义主要在于认识规律、分析过去、预测未来。其目的 一是通过分析与预测过去的季节变动规律，为当前的决策提供依据。比如，对一 个公司销售活动的研究，可以分析其销售额的变动是季节因素所致，还是由于经 营手段或其他偶然因素的影响，从而制定出有效的经营策略；二是为了对未来现 象的季节变动作出预测，以便提前作出合理的安排；三是为了当需要不包含季节 变动因素数据时，能够消除季节变动对序列的影响，以便分析其他构成因素的影 响。

（二）季节变动的分析原理与方法

季节变动是一种各年变化强度大体相同且每年重现的有规律的变动。根据这 一基本特征，我们可以将其归纳为一种典型的季节模型。所谓季节模型，就是指 一时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以基本相同的形态 出现。季节模型是由一套指数组成的，各指数刻画了现象在一个年度内各月或各 季的典型特征。 如果所分析的是月份数据，季节模型就由

12 个指数组成；若为季度数据， 季节模型就由 4 个指数组成。 其中各个指数是以全年月或季度资料的平均数为基础计算的，因而 12 个月 （或 4 个季度）指数的平均数应等于 100%，而各月（或季）的指数之和应等于 1200%（或 400%） 。季节模型正是以各个指数的平均数等于 100%为条件而构成的， 它反映了某一月份或季度的数值占全年平均数的大小。如果现象的发展没有季节 变动，则各期的季节指数应等于 100%；如果某一月份或季度有明显的季节变化，

则各期的季节指数应大于或小于 100%。因此，分析季节变动，也就是对一个时间 序列计算出该月（或季）指数，即所谓季节指数，然后根据各季节指数与其平均 数（100%）的偏差程度来测定季节变动的程度。这就是季节变动分析的基本原理。 测定现象季节变动的主要方法是计算季节指数。季节指数是各月（季）平均 数与全年总月（季）平均数的比值，它以全期的总平均水平为基准（100%） ，用 百分比形式来反映各月（季）平均水平相对于总平均水平的高低程度。季节指数 高说明“旺” ，反之说明“淡” 。 计算季节指数通常有两种方法：按月（季）平均法和趋势剔除法。 1.按月（或季 ）平均法 这是直接根据原时间序列通过简单平均来计算季节指数的一种常用的方法， 该方法的基本思想是，计算出各年同月平均数，以消除随机影响，作为该月（或 季）的代表值；然后计算出全部月（或季）的总平均数，作为全年的代表值；再 将同月（或同季）平均数与全部月（或季）的总平均数进行对比，即为季节指数。

按月（或季）平均法计算季节指数的具体步骤如下： 第一步：根据各年的月份（或季度）数据计算出同月（或同季）的平均数； 第二步：计算出全部数据的总平均数 ； 第三步：计算出各同月（或同季）平均数与总平均数的百分比，即为季节指 数（S） 。其计算公式为：

季节指数( S ) =

同月(或季)平均数 ×100% 总月(或季)平均数

（1）

【例】某服装公司 1998—2000 年各月销售量资料如表 1。试用按月（或季） 平均法计算各月的季节指数。 解：根据上述步骤销售量季节指数计算过程见表 1。 表 1 中的季节指数一栏， 是以指数形式表现的典型销售量。 每个指数代表 1998 —2000 年间每个月份的平均销售量。比如，一月份的季节指数为 13.8%，表示该 月份销售量为全年平均销售量的 13.8%，而全年平均销售量则作为 100%。这样从 各月的季节指数序列，可以清楚地表明该服装公司销售量的季节变动趋势。即 1、

2、 4 月份是销售淡季， 6、 为销售旺季， 月份比全年平均销售量高 323.1% 3、 5、 7 7

（432.1-100%） 月份开始下降，到 12 月份降到最低点，比全年平均销售量低 ，8 93.9%（6.1%-100%） 。

表1

1998—2000 年各月销售量资料及季节指数计算表

月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10 月 11 月 12 月 合计 平均

各年销售量（万件） 1998 1999 2000 （1） （2） （3） 320 120 80 120 200 500 800 2500 2400 600 200 100 60 40 7600 633.3 200 350 850 1500 4500 6400 900 400 250 100 80 15650 1304.2 400 700 1500 2400 6800 7200 1500 600 400 200 110 22130 1844.2

合 计 同月平均 （4）=（1） （5）=（4） +（2）+（3） ÷（3） 173.3 520 720 1250 2850 4700 13800 16000 3000 1200 750 360 230 45380 3781.67 240 416.7 950 1566.7 4600 5333.3 1000 400 250 120 76.7 15126.7 1260.56

季节比率（%） （6）=（5）÷ 1260.56 13.8 19.0 33.1 75.4 124.3 364.9 423.1 79.3 31.7 19.8 9.5 6.1 1200 100

按月（或季）平均法计算简单，易于理解。应用该方法的基本假定是：原时 间序列没有明显的长期趋势和循环波动，因而，通过若干年同期数值的平均，不 仅可以消除不规则波动，而且当平均的周期与循环周期一致时，循环波动也可以 在平均过程中得以消除， 但实际上， 许多时间序列所包含的长期趋势和循环波动， 很少能够通过平均予以消除。因此，当时间序列存在明显的长期趋势时，该方法 的季节指数不够准确。当存在剧烈的上升趋势时，年末季节指数明显高于年初的 季节指数；当存在下降趋势时，年末的季节指数明显低于年初的季节指数。只有 当序列的长期趋势和循环波动不明显或影响不重要，可忽略不计时，应用该方法 比较合适。 2.趋势剔除法 该方法的基本思想是，先将时间序列中的长期趋势予以消除，然后再计算季 节指数。其中，序列中的趋势值可采用移动平均法求得，也可采用最小二乘法求 得。 利用前者分析季节变动又称为移动平均趋势剔除法， 后者简称为趋势剔除法。

采用移动平均趋势剔除法分析季节变动时，假定时间序列各要素的关系结构 为：Y=T×S×C×I，同时假定各年度的不规则波动 I 彼此独立。由于 12 个月（或 4 个季度）的移动平均数与季节变动的周期（1 年）相同，通过移动平均，可以 完全消除季节变动和大部分不规则波动，而仅包含长期趋势和循环波动，结果即 为 T×C。 然后再将原数列 Y 除以移动平均趋势值 T×C，所得百分比称为“季节变动和 不规则波动相对数”或“移动平均百分比” ，即

T ×C × S × I = S×I T ×C

最后再将各年同月（季）的移动平均百分比加以平均，即可消除不规则波动 的影响，只剩下季节变动 S。 具体步骤如下： 第一步：根据各年的月份（或季度）数据，计算 12 个月（或 4 个季度）移 动平均趋势值 T；

第二步

：将各实际观察值 Y 除以相应趋势值 T，即

Y = S×I ； T

第三步：将 S×I 重新按月（季）排列，求得同月（或同季）平均数，再将 其除以总平均数，即得季节指数 S。 【例】根据表某市客运站旅客运输量数据资料，按趋势剔除法计算销售量的季 节指数。 解：首先求出 4 项移动平均趋势值 T，然后用原时间序列数据 Y 除以移动 平均趋势值 T，求得 Y

T

，计算结果如表第 6 栏中 Y

T

序列。

将表 9.11 中的 Y

T

序列重新排列，求出各年同月平均数，使不规则变动消

除，已是季节指数，但由于 4 个季度的总和不等于 400%，需进行调整。其调整系 数为： 调整系数= 见最后一栏。

400% = 1.009 ， 用调整系数乘以同月平均数， 即得季节指数， 396.4%

表 年份

销售量季节指数计算表（Ⅰ） 季度 客运量（Y） 4 项移正平均 （T）

单位：万件 Y/T

2000

一 二 三 四

100 95 98 107 110 105 107 115 123 115 120 125

— — 101.3 103.5 106.1 108.3 110.9 113.80 116.6 119.6 — —

— — 0.970 1.031 0.965 0.970 0.965 1.011 1.055 0.962 — —

2001

一 二 三 四

2002

一 二 三 四

表 9.12

销售量季节指数计算表（Ⅱ）

季度 年份 2000 2001 2002 同季平均 季节指数（%）

1.05

季 指 节 数

一

二

三

四

— 0.965 1.055 1.01 101.919

— 0.970 0.962 0.966 97.479

0.970 0.965 — 0.9675 97.630

1.031 1.011

1.0205 102.979

1 0.95 0.9

1 2 3 4

（三）季节变动的调整 含有季节变动因素的时间序列，由于受季节影响而产生波动，使序列中的其 他特征不能清晰地表现出来，因此，需要将季节变动的影响从时间序列中剔除， 以便观察其他特征的影响，这称为季节变动的调整。其方法是将原时间序列除以 相应的季节指数，即

Y T ×C × S × I = = T ×C × I S S

结果即为调整后的时间序列，反映了在没有季节因素影响的情况下，时间序列的 变化形态。 【例】对 2000—2002 年各季度的旅客运输量作季节调整。 解：根据上表的季节指数及公式，可得计算结果如下表，季节调整前后的图 形比较见图：

表 9.13

销售量的季节变动调整

年份

季度

客运量（Y）

季节指数（%） 消除季节变动 S 的序列

2000

一 二 三 四

100 95 98 107 110 105 107 115 123 115 120 125

101.919 97.479 97.630 102.979 101.919 97.479 97.630 102.979 101.919 97.479 97.630 102.979

98.117 97.457 100.379 103.905 107.929 107.716 109.597 111.673 120.684 117.974 122.913 121.384

2001

一 二 三 四

2002

一 二 三 四

130 125 120 115 110 105 100 95 90 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 时间

图季节调整前后图形

五、循环变动分析

（一）循环变动的概念及分析目的 循环变动是在一个较长的时期中近乎规律性的从低到高再从高到低的周而 复始的变动。循环波动不同于趋势变动，它

不是朝着单一的方向达到持续运动， 而是涨落相间的交替波动；它也不同于季节变动，季节变动有比较固定的规律， 且变动周期大多为 1 年，而循环波动则无固定规律，变动周期多在一年以上，且 周期长短、变动形态、波动的大小也不固定。例如产品通常有导入期、成长期、 成熟期、衰退期、替代期等经济寿命周期；又如由于周期性因素的影响，宏观经 济的增长通常产生周期性的波动。 测定和分析现象的循环波动的目的，一是从数量上揭示现象循环波动的规律 性；二是为了深入研究不同现象周期性循环波动的内在联系，有助于分析引起循 环波动的原因； 三是通过对循环规律的认识， 对现象今后的发展作出科学的预测， 为制定有效遏止循环波动不利影响的决策方案提供依据。

（二）循环波动的分析方法 由于循环波动通常隐匿在一个较长的变动过程中，且规律不固定，常与不规 则波动交织在一起，所以很难单独加以描述和分析。分析循环波动常用的方法是 剩余法。 剩余法，又称分解法，其基本原理是先从时间序列中先分解出并剔除长期趋 势和季节变动，剩下循环波动和不规则波动，然后再通过移动平均消除不规则波 动 ，所得结果即为循环波动值。 具体分析步骤如下： 第一步：分别计算出趋势值和季节指数； 第二步：分别消去季节变动和长期趋势，求得循环波动和不规则波动相 对数。公式为：

T × S ×C × I =C×I T ×S

第三步：将上述结果进行移动平均，以消除不规则波动，即得循环波动值， 通常用百分比表示。 [例]根据某地 2001—2005 年各季某种农产品产量资料如表，试用剩余法分析 农产品产量的循环波动，并将结果绘成图。 解：根据已知资料，首先用最小二乘法配合趋势直线（根据数据分析，该时

ˆ 间序列长期趋势的特点符合直线方程） ，得趋势方程 Yt =1.01+37.61 t ，将 t =1，

2，…，20 代入方程，即得趋势值（见（2）栏） ；然后用趋势剔除法求得季节指 数（见（4）栏） ；求得 C×I（见（5）栏，最后对 C×I 进行 4 项移正平均，消除 不规则变动，即得循环波动相对数见（6）栏。 由于本例所用的数据太少，不能把整个循环周期反映出来。但从图 9.5 中 可知 2001 年第三季度到 2003 年第二季度是一个波峰，2003 年第三季度到 2005 年第二季度是一个波谷。

农产品产量循环波动计算表

产 量 （ 万 吨 ） Yt (1) 2001/1 2 3 4 2002/1 2 3 1 2 3 4 5 6 7 11.25 33.75 117.0 10.00 14.50 35.25 120.8 长期趋 势T Y/T=S 季 节 × C × 指数 S I（%） （%） (3) 29.12 85.14 288.03 24.00 33.97 73.82 270.13 (4) 27.89 77.69 269.6 24.80 27.89 77.69 269.6 循环波 动 C （%） 不规则波 动 I（%） (7)

=（5） ÷（6） － － 100.23 90.50 116.81 90.57 94.93

年/季

t

C×I （%）

(2) 38.62614 39.63855 40.65095 41.66336 42.67577 43.68817 44.70058

(5)= （3） (6) ÷（4） 104.41 109.59 106.83 96.77 121.80 95.02 100.19 － － 106.58 106.93 104.27 104.91 105.54

4 2003/1 2 3 4 2004/1 2 3 4 2005/1 2 3 4

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

12.30 15.00 38.00 128.0 12.52 12.00 35.5 144.0 12.90 12.75 43.50 145.5 13.41

45.71298 46.72539 47.7378 48.7502 49.76261 50.77502 51.78742 52.79983 53.81223 54.82464 55.83705 56.84945 57.86186

26.91 32.10 79.60 262.56 25.16 23.63 68.55 272.73 23.97 23.26 77.91 255.84 23.18

24.80 27.89 77.69 269.6 24.80 27.89 77.69 269.6 24.80 27.89 77.69 269.6 24.80

108.51 115.09 102.46 97.38 101.45 84.73 84.37 101.15 96.65 83.40 100.28 94.89 93.47

106.21 104.98 100.30 94.24 92.33 91.56 93.38 93.50 93.38 92.65 93.41 － －

102.16 109.63 102.15 103.33 109.88 92.54 90.35 108.18 103.50 90.01 107.35 － －

110 105

循环波动(%)

100 95 90 85 80

2001.1

2002.1

图9.5

2003.1

2004.1

2005.1

年份

农产品产量的循环波动

六、确定性随机序列模型预测方法

1.按照前述方法，分别求出长期趋势模型 y＝f(t)、季节比率 S、循环比率 C。 2.对于给定的预测点 t，代入趋势模型 y＝f(t)，得到趋势预测值 y。 3.预测值＝y×S×C（乘法模型） 。

2010.10.27 Kin