概率统计习题1.2答案

习题1

2. 设A,B,C都是事件,试通过对A,B,C,,,中的一些事件的交及并的运算式表示下列事件:

1) A,B,C中仅有A发生. 2) A,B,C中至少有两个发生. 3) A,B,C中至多两个发生. 4) A,B,C中恰有两个发生. 5) A,B,C中至多有一个发生. 答案 1) ; 2) AB 5)

3. 袋中有四个球,其中有两个红球,一个黄球和一个白球.有放回地抽三次,求出现下列情况的概率:

A“三次都是红的”,B“三次颜色全同”,C“三次颜色全不同”,D“三次颜色不全同”,E“三次中无红”,F“三次中无红或无黄”.

解 每次抽球都可以抽到4个球中的任意一个，有4钟可能，3次抽球共有4364种可能，因此样本空间含有64个样本点。

每次抽球都可以抽到2个红球中的任意一个，有2种可能，3次抽球都抽到紅球共有238种可能，因此事件A含有8个样本点。

AC

BC; 3) BC (或ABC); 4) ABCABC;

.

3次抽球都抽到紅球共有238种可能，3次抽球都抽到黄球共有131种可能，3次抽球都抽到白球共有131种可能，因此事件B含有81110个样本点。

3

3种颜色的排列有A33!6种，对应于每一种排列，抽到的球有2112种可能，

因此事件C含有6212个样本点。

因为事件B含有10个样本点，故事件D含有641054个样本点。

每次抽球都可以抽到黄球和白球中的任一个，有2种可能，3次抽球都抽不到紅球共有238种可能，因此事件E含有8个样本点。

3次都抽不到红球有8种可能，3次都抽不到黄球有3327中可能，3次都抽不到红球和黄球有131中可能，因此事件F含有827134个样本点。

由上可得

P(A)8/641/8， P(B)10/645/32， P(C)12/643/16， P(D)54/6427/32， P(E)8/641/8 P(F)34/6417/32。

7. 某小学六个年级各年级学生人数相同,从中任意抽出4名代表.求下列事件的概率. 1) 从一年级到四年级每个年级恰好有一名代表. 2) 每个年级的代表都至多有一名. 3) 三年级恰好有两名代表.

(设学生人数很多,抽出几个代表后各年级学生人数比例的变化可以忽略). 解：1）P(A)

A



4!1 4

546

2）P(B)

BC



A6464



5 18

22C4525

3）P(C) 4

2166

答案 1) 1/54, 2) 5/18, 3) 125/392（？）.

10. 在8对夫妻中任意选出5人.求至少有一对夫妻被选中的概率. 解 设A“没有一对选中” P(A)

A



16141210816

，P()23/39 

161514131239

答案 23/39.

11. 在今年元旦出生的婴儿中任选一人,又在今年头两天出生的婴儿中再任选一人.求这两人的出生时间相差不到半天的概率.

解 设第一个和第二个婴儿出生时间分别是元旦开始后的X天和Y天，则两人的出生时间相差不到半天当且仅当|XY|1/2（如右图），从图中看到,矩形面积为2，阴影部分面积为7/8，故两人的出生时间相差不到半天的概率为

7/8

7/16。 2

13. 在一条线段上随意放两点把这条线段一分为三,求得到的三条线段能成为一个三角形的三条边的概率.

解 {(x,y):0x1,0y1}，

A{(x,y):y1/2,yx1/2}{(x,y):x1/2,xy1/2} P(A)

A1 4

答案 1/4.

14. 某城市的调查表明,该城市的家庭中有65%订阅日报,有55%订阅晚报,有75%订阅杂志,有30%既订阅日报又订阅晚报,有50%既订阅日报又订阅杂志,有40%既订阅晚报又订阅杂志,有20%日报晚报和杂志都订阅.该城市的家庭中至少订阅有一份报纸或杂志的家庭占百分之几?

解 设A“订阅日报”，B“订阅晚报”，C“订阅杂志”,则至少订阅有一份报纸或杂志的家庭所占的百分数为

P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) 65%55%75%30%50%40%20%95%。

17. 掷五枚硬币.已知至少出现两个正面,问正面数刚好是三个的条件概率是多少? 解 掷五枚硬币，有2532种结果，样本点总数是32。则Ai“恰好出现i个正面”，

ii0,1,2,3,4,5。在5枚硬币中选出i个，有C5种可能，选种的硬币出现正面，其余的硬币i出现反面，有1种可能。故事件Ai含有C5个样本点。设B“至少出现两个正面”，则B的

对立事件“至多出现一个正面”A032626个样本点。因而

01

A1含有C5C56个样本点，事件B含有

P(B)26/3213/16.

3

又A3含有C510个样本点，故

P(A3)10/325/16。

从而所求的条件概率为

P(A3|B)

P(A3B)P(A3)10/32

5/13。 P(B)P(B)26/32

19.投掷一个骰子两次.

1) 已知第一次是6点,求两次都是6点的条件概率.

2) 已知两次中至少有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 3) 已知两次中至多有一次是6点,求第二次是6点的条件概率.

4) 已知两次中恰好有一次是6点,求第二次是6点的条件概率. 解 A第一次得6点，B第二次得6点。 1）P(AB)/P(A)1/6.

2)P(AB)P(A)P(B)P(AB)1/61/61/3611/36

P(BAB)

P(B)1/6

6/11

P(AB)11/36

3) CAB, BCB

P(BC)

(5/6)(1/6)

1/7

(1/6)(5/6)(5/6)(1/6)(5/6)(5/6)

4) CAB,BCB

P(BC)

(5/6)(1/6)

1/2

(1/6)(5/6)(5/6)(1/6)

答案 1/6 6/11 1/7 1/2.

21. 已知某种病菌在全人口的带菌率为10%.在检测时,带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为95%和5%,而不带菌者呈阳性和阴性反应的概率分别为20%和80%. 1) 随机地抽出一个人进行检测,求结果为阳性的概率.

2) 已知某人检测的结果为阳性,求这个人是带菌者的条件概率. 解 P(B1)0.1,P(B2)0.9

P(AB1)0.95,P(AB2)0.20

P(A)0.10.950.90.20.275

P(B1A)0.10.95/0.27519/55

答案 1) 0.275, 2) 19/55.

22. 张先生给李小姐发出电子邮件,但没有收到李小姐的答复.如果李小姐收到电子邮件一定会用电子邮件答复,而电子邮件丢失的概率是p.求李小姐没有收到电子邮件的条件概率. 解 设A”李小姐没有收到电子邮件”,B“张先生没有收到李小姐的答复”.则

P(A)p，P(B|)p，P(B|A)1。

P(A|B)

P(AB)P(A)P(B|A)p1

。 P(B)P(A)P(B|A)P()P(B|)p(1p)p2p

26. 设A,B,C都是事件.又A和B独立,B和C独立,A和C互不相容.P(A)1/2,

P(B)1/4,P(C)1/8.求概率P(ABC).

解 P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC) P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(A)P(C) 1/21/41/8(1/2)(1/4)(1/2)(1/8)13/16。

29. 设线路中有元件A,B,C,D,E如图6.1,它们是否断开是独立的,断开的概率分别是0.6,0.5,0.4,0.3,0.2.求线路断开的概率.

“A断开”,B“D断开”,E“B断开”, C“C断开”, D“E断开”, 解 设A

T“线路断开”.则P(A)0.6,P(B)0.5,P(C)0.4,P(D)0.3,P(E)0.2.

P(T)P{[(AB)CD]E}P[(AB)CD]P(E)P[(AB)CDE] P(ACD)P(BCD)P(ABCD)P(E)P(ACDE)P(BCDE)P(ABCDE) 0.60.40.30.50.40.30.60.50.40.30.20.60.40.30.2 0.50.40.30.20.60.50.40.30.2

0.0720.0600.03600.2000.01440.01200.00720.2768

解2 P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.50.60.50.60.8, P[(AB)CD]P(AB)P(C)P(D)0.80.40.30.096,

P(T)P{[(AB)CD]E}P[(AB)CD]P(E)P[(AB)CD]P(E) 0.0960.20.0960.20.2768.

35*. 同时投掷4个骰子,求掷出的4个面的点数之和是12的概率.

解 求(xx...x)中x的系数，即(1xx...x)(1x)(1x)中

2

64

12

254644

x8的系数.

(1x6)414x6....

(1x)4(14x10x2...165x8...)

故系数为165－40＝125

P(A)

A



125125

 4

12966

习题2

4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为p(0p1),若以X表示直至掷到正、反面都出

现为止所需投掷的次数,求X的概率分布.

解 对于k2,3,

,前k1次出现正面,第k次出现反面的概率是pk1(1p),前k1次出

现反面,第k次出现正面的概率是(1p)k1p,因而X有概率分布

P(Xk)pk1(1p)(1p)k1p,k2,3,

.

5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

第1个能正确回答的概率是5/8,

第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X,则X有分布

6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

解 设一天中某人收到X位朋友的电子邮件,则X~B(100,0.04),一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是P(X4). 1) 用二项分布公式计算

k

P(X4)1P(X4)1k0C1000.04k(10.04)100k0.5705.

3

2) 用泊松近似律计算

P(X4)1P(X4)1

3

Ck0.04k(10.04)100kk0100

1

3k0

4k4

e0.5665. k!

8. 设X服从泊松分布,分布律为

P(Xk)

k

k!

e,k0,1,2,

.

问当k取何值时P{Xk}最大？ 解 设akP(Xk)/P(Xk1),k1,2,

,则

k1e/k!akk,

e/(k1)!k

数列{ak}是一个递减的数列. 若a11,则P(X0)最大.

若a11,则当ak1且ak11时,P{Xk}最大. 由此得

1) 若1,则P(X0)最大.

2) 若1,则P{Xk}最大/k1且/(k1)11k. 由上面的1)和2)知,无论1或1,都有

不是整数[]

. P{Xk}最大k

1或是整数

12. 设随机变量X的概率密度为p(x)xI[0,1)(x)(2x)I[1,2](x).求X的分布函数F(x),并作出p(x)与F(x)的图形. 解 F(x)

x

p(v)dvI(,0)(x)0dvI[0,1)(x)



x

I[1,2)(x) I[2,)



(x)

0x0



0dv

1





vdv(2x)dv

x121

1

x

1



0dvvdv

x





0dvvdv(2v)dv

1

2

0dv



I[0,1)(x)vdvI[1,2)(x)



vdv(2v)dvI[2,)(x)



1

vdv(2v)dv

1

2



(x2/2)I[0,1)(x)(2xx2/21)I[1,2)(x)I[2,)(x).

11. 设随机变量X的概率密度为p(x)cxI[0,10](x).求常数c和X的分布函数,并求概率P(X16/X10).

解 1





p(x)dx

x

100

cx2

cxdx

2

10

50c, c1/50.

x

F(x)



p(v)dvI[0,10)(x)

vx2I[10,)(x)I[0,10)(x)I[10,)(x). 50100

P(X16/X10)P(X210X160)P(2X8)



8

2

xx2

p(x)dxdx3/5.

2501002

8

8

15. 设随机变量X的密度为cex解

1



2

x

.求常数c.

ce

x2x

dxc

xt1/2(x1/2)21/4t2

edxce1/4edt



ce1/.

由上式得ce1/41/2.

15. 离散型随机向量(X,Y)有如下的概率分布:

求边缘分布.又问随机变量X,Y是否独立？ 解 X有分布

Y有分布

因为

0P(X2,Y0)P(X2)P(Y0)0.30.1,

所以X,Y不独立.

18． 设随机向量(X,Y)服从矩形D{(x,y):1x2,0y2}上的均匀分布,求条件概率P(X1|XY).

1

解 P(XY)(622)/62/3,

21

P(XY,X1)(11)/61/12,

2

P(X1|XY)

P(XY,X1)1/12

1/8.

P(XY)2/3

22. 随机向量(X,Y)有联合密度

p(x,y)

E(x,y),

其中E{(x,y):0x2y2R2}.求系数c和(X,Y)落在圆D{(x,y):x2y2r2}内的概率. 解

1







p(x,y)dxdy

2



2

xrcos

yrsin

0xyR

2



00

R



2

dcdr2cR



因而c

12R

.而

P{(X,Y)D}p(x,y)dxdy

D

x2y2r

xrcosyrsin



2R0

1

r



20

ddrr/R.



27. 设X~N(,2),分别找出ki,使得P(kiXki)i.其中i1,2,3,

10.9,20.95,30.99.

解1

iP(kiXki)

xt

kiki

22(x)/(2)dx



k

ki

i

t2/2

dt(ki)(ki)2(ki)1. (ki)(i1)/2.

代入i的值查得11.64,21.96,32.58.

解2 设Z

X1

~N(0,1),则Z~N(0,1). 2

kXk

 

iP(kiXki)P

P(kiZki)(ki)(ki)2(ki)1. (ki)(i1)/2.

代入i的值查得11.64,21.96,32.58.

28. 某商品的每包重量X~N(200,2).若要求P{195X205}0.98,则需要把控制在什么范围内. 解 设Z

X200



~N(0,1),则Z~N(0,1).

P{195X205}P195200

Z205200

(5/)(5/)2(5/)1.

P{195X205}0.982(5/)10.98

5/1(0.99)2.335/2.332.15.

28. 设X服从自由度为k的2分布,即X有密度

p1X(x)

12

k/2

(k/2)

xk/2ex/2I(0,)(x).

求Y. 解1

当y0时

,FY(y)P(Yy)Py)0,pY(y)FY(y)0. 当y0时

,FY(y)P(Yy)Py)P(Xky2)F2X(ky), p12k/21ky2/2

Y(y)FY(y)2kypX(ky2)2ky

2k/2

(k/2)

(ky)eI(0,)(ky2) k/2

2k/2

yk122eky/2k/.

因而

k/2

p2k/2

k1ky

2

/2

Y(y)

k/2yeI(0,)(y).

解2 设V(0,),则P(XV)1.

设yf(x)xV,则f有反函数

f1(y)ky2, yG,

其中G{yf(x):xV}(0,).因而Y有密度

pY(y)|(y)|pX((y)IG(y) 1k/2

2ky2(k/2)(ky2)k/21eky2/2I2k/22

(0,)(ky2)k1

k/2yeky/2

.

29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell)分布,即密度为

px2/X(x)2

2

I(0,)(x).

其中参数0.求分子的动能YmX2/2的密度.

解1

当y0时,FY(y)P(Yy)P(mX2/2y)0,pY(y)FY(y)0.

当y0时

,FY(y)P(Yy)P(mX2/2y)P(XFX,

pY(y)FY(y)p2y/(m2)XI(0,)

2y/(m2)2y/(m2)

.

因而

p2y/(Y(y)m2)I(0,)(y).

解2 设V(0,),则P(XV)1.

设yf(x)mx2/2, xV,则f有反函数

f1(y)yG,

其中G{yf(x):xV}(0,).因而Y有密度

pY(y)|(y)|pX((y)IG(y)

2

py/(m2)XI(0,)



2y/(m2)I(0,)(y). 30. 设X服从[1,2]上的均匀分布,YX2.求Y的分布.

1解 X有密度PX(x)I[1,2}(x).Y有分布函数 3

FY(y)P(Yy)

P(X2y)

I[0,)(y)P(X

I[0,)(y)pX(x)dx

I[0,)(y) I[0,1)(y) 

(x)dx

[1,2]I[1,4)(y)I[4,)(y)

13[0,1)(y)[1,4)(y)I[4,)(y). 31. 质点随机地落在中心在原点,半径为R的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.

解 设落点极坐标是(R,),则服从[0,2]上的均匀分布,有密度

p()1I[0,2](). 2

设落点横坐标是X,则XRcos,X的分布函数为

FX(x)P(Xx)P(Rcosx).

当x1时,FX(x)0.当x1时,FX(x)1.当1x1时

xx1xFX(x)P(Rcosx)Parccos2arccosarccos. RRR

因而落点的横坐标X有概率密度

(x)pX(x)FXI(1,1)(x). .

34. 设随机变量X服从在[0,1]上的均匀分布,求YlnX的分布. 解 设V(0,1),则P(XV)1.

设yf(x)lnx, xV,则f有反函数

f1(y)ey, yG,

其中G{yf(x):xV}(0,).因而Y有密度 pY(y)|(y)|pX((y))IG(y)eyI[0,1](ey)I(0,)(y)eyI(0,)(y).

36. 设X和Y独立,密度分别为pX(x)I[0,1](x)和pY(y)eyI(0,)(y),求ZXY的密度.

解 pZ(z)



pX(x)pY(zx)dx 

I[0,1](x)e(zx)I(0,)(zx)dx I[0,1](x)e(zx)I(,z)(x)dx

z1 I[0,1)(z)e(zx)dxI[1,)(z)e(zx)dx 00

I[0,1)(z)(1ez)ez(e1)I[1,)(z).

37. 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),如图7.1所示.L1和L2的寿命为X和Y,分别有密度pX(x)exI(0,)(x)和pY(y)eyI(0,)(y),其中0,0且.请就这三种联接方式分别写出系统L的寿命Z的密度.

解 X,Y独立,分别服从参数为和的指数分布,因此分别有分布函数

FX(x)(1ex)I(0,)(x)

和

FY(y)(1ey)I(0,)(y).

1) 联接的方式为串联时,Zmin{X.Y},

FS(z)P{min(X,Y)z}1P{min(X,Y)

z}

1P(Xz)P(Yz)1[1FX(z)][1FY(z)](1e()z)I(0,)(z),

(z)()e()zsI(0,)(z). pZ(z)FZ

2) 联接的方式为并联时,Zmax{X.Y},

FZ(z)P{max(X,Y)z}P(Xz)P(Yz)FX(z)FY(z) (1er)(1ebr)I(0,)(z),

(z)(ezez()e()z)I(0,)(z). pZ(z)FZ

3) 联接的方式为备用时,ZXY,

pZ(z)



zpX(x)pY(zx)dxexI(0,)(x)e(zx)I(0,)(zx)dx z

0 I(0,)(z)exe(zx)dxezI(0,)(z)e()xdx. 0

因此,

当时, pZ(z)(ezez)I(0,)(z), 

当时, pZ(z)2zezI(0,)(z).

38. X,Y相互独立,X~(1,),Y~(2,).证明ZXY~(1a2,).(提示:称B(s,t)us1(1u)t1dx为函数,由微积分的知识知B(s,t)(s)(t)/(st)) 01

解 (见命题A.2.1)

43. 设X1,X2,,Xn独立,都服从参数为m,的威布尔分布,即都有密度

p(x)m

mmx/xm1eI(0,)(x).

证明min(X1,X2,

证 Xii1,,Xn)仍服从威布尔分布. n有分布函数 x

0 F(x)I(0,)(x)

v/mtmmv/vm1edv,

设 I(0,)(x)x/m0edt(1etx/m)I(0,)(x).

Zmin(X1,X2,,Xn),

则Z有分布函数

FZ(z)P(Zz)P(min(X1,,Xn)z)1P(min(X1,,Xn)z) 1P(X1z)P(Xnz)1[1F(x)]n. 1I(,0](x)ex/mn

I(0,)(x)1ex/mnI(0,)(x),

接下来的证明过程可以有两种。

其一：

FZ(z)与F(x)有相同的形式，从而Zmin(X1,X2,,Xn)仍服从威布尔分布.

其二：

因而Z有密度函数

pmn

Z(z)FZ(z)mnex/1I(0,)(x),

从而Zmin(X1,X2,,Xn)仍服从威布尔分布.