不定积分,定积分复习题及答案
上海第二工业大学
不定积分、定积分 测验试卷
姓名: 学号: 班级: 成绩:
一、选择题:(每小格3分,共30分)
sinxf(ax)
应等于( ) 为f(x)的一个原函数,且a0,则ax
sinaxsinaxsinaxsinax
C; (D)C (A)3C; (B)2C; (C)
axaxaxx
1、设
2、若e在(,)上不定积分是F(x)C,则F(x)( )
x
exc1,x0exc,x0
(A)F(x)x;(B)F(x)x;
ec2,x0ec2,x0
ex,ex,x0x0
(C)F(x)x;(D)F(x)x
e2,x0e,x0
1,x0
x
3、设f(x)0,x0,F(x)f(t)dt,则( )
1,x0
(A)F(x)在x0点不连续;
(B)F(x)在(,)内连续,在x0点不可导; (C)F(x)在(,)内可导,且满足F(x)f(x); (D)F(x)在(,)内可导,但不一定满足F(x)f(x)。
4、极限lim
x0
x
tsintdt
x0
tdt
2
=( )
(A)-1; (B)0; (C)1; (D)2
5、设在区间[a,b]上f(x)0,f(x)0,f(x)0。令s1f(x)dx,s2f(b)(ba)
ab
1
s3[f(a)f(b)](ba),则( )
2
(A)s1s2s3; (B)s2s1s3; (C)s3s1s2; (D)s2s3s1
二、填空题:(每小格3分,共30分)
1、设f(x)的一个原函数是e2、设
2x
,则它的一个导函数是___________。
1
2
f(x)dx1,f(2)2,则xf(2x)dx_____________。
3、已知f(ex)xex,且f(1)0,则f(x)_________________。 4
、函数F(x)
x
1
(2dt(x0)的单调减少区间为________________。 5、由曲线y
x2与y
所围平面图形的面积为___________。
三、计算题 (第1,2,3,4题各6分,第5,6,7题各8分,共48分)
(1x)2
1、计算dx
x(1x2)
3、设x1,求
2
2、计算xtanxdx
x
1
(1t)dt
31x2,x0
4、设f(x)x,求f(x2)dx
1
e,x0
5、
ln(1x)0(2x)2dx
1
6
、计算
1
7、已知曲线C的方程为yf(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1,l2分别是曲线C在点
(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4)。设函数f(x)具有三队连续导数,计算定积分
30
(x2x)f(x)dx。
四、解答题(本题10分)
设f(x)连续,(x)在x0处的连续性。
10
且limf(xt)dt,
x0
f(x)
A(A为常数),求(x),并讨论(x)x
五、应用题(本题6分)
xx
设曲线方程为ye(x0),把曲线ye,x轴、y轴和直线x(0)所围平
面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体。(1)旋转体体积V();(2)求满足V(a)的a值。
1
limV()2
六、证明题(6分)
设f(x)在[a,b]上连续且单调增加,证明:不等式
b
a
abb
xf(x)dxf(x)dx。
2a
不定积分、定积分 测验卷 答案
一.选择题:(每小格3分,共30分)
sinax1、(A)3C;
ax
ex,x0F(x)2、(C); x
e2,x0
3、(B)F(x)在(,)内连续,在x0点不可导; 4、(C)1;
5、(B)s2s1s3。
二、填空题:(每小格3分,共30分)
2x
1、一个导函数是f(x)4e。
2、
1
xf(2x)dx
14
3。 4
5、
3、f(x)
1
(lnx)2。 2
4、单调减少区间为(0,)。
1。 3
三、计算题 (第1,2,3,4题各6分,第5,6,7题各8分,共48分)
(1x)212
1、解:(x1x2)dxlnx2arctanxc x(1x2)
x22、解:xtanxdxx(secx1)dxxdtanxxdxxtanxtanxdx
2
2
2
x2
xtanxlncosxc
2
3、解:被积函数f(t)当1x0时,原式
1t,1t0
,
1t,0t
x
1
(1x)2; 1
2
0x12
当x0时,原式(1t)dt(1t)dt1(1x)。
102
(1t)dt
4、解:
3
1
f(x2)dxf(t)dt(1t2)dtetdt
1
1
x2t
101
71
。 3e
1ln(1x)11111
5、解:dxln(1x)d()ln(1x)dx000(2x)22x2x0(1x)(2x)
1
11111
)dxln2。 ln2(
302x1x3
f(x),所以x1为瑕点,因此该广义积分为混合型的。
6、解:因为lim
x1
1
2
I1I2
12
I1
2
1
x1t22tdt
22arctanx101(t1)t22
I2
所以
2
2tdt
2arctanx
1(1t2)t
1
2();
24
1
I1I2。
7、解:按题意,直接可知f(0)0,f(3)0,f(3)0(拐点的必要条件)。从图中还可求出yf(x)在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为y2x,y2x8。于是
f(0)2,f(3)2。所以
30
(x2x)f(x)dx(x2x)df(x)(x2x)f(x)30f(x)(2x1)dx
3
3
33
3
(2x1)df(x)(2x1)f(x)302f(x)dx7f(3)f(0)2f(x)0
7(2)22(20)20。
四、解答题(本题10分)
f(x)
A,故limf(x)0,而已知f(x)连续,limf(x)f(0)0; 解:因为lim
x0x0x0x
由于(x)
10
f(xt)dt,令uxt,当t:01时,有u:0x,duxdt;
10
x0
当x0时,有(x)当x0时,有(0)
f(xt)dt
1
f(u)du
x
x0
f(u)dux
;
10
f(0)dt0;
xf(u)du0
,x0。 所以(x)
x
x00,
当x0时,有(x)
xf(x)f(u)du
x
02
x
;
x0
当x0时,lim
x0
(x)(0)
x0
lim
x0
(x)
x
lim
x0
f(u)dux2
lim
x0
f(x)A
; 2x2
xf(x)xf(u)du
0,x02x所以(x)。
A,x02
又因为lim(x)lim
x0
x0
xf(x)f(u)du
x
2
x
f(x)0f(u)duAAlim()A, 2x0xx22
x
所以lim(x)(0)
x0
A
,即(x)在x0处连续。 2
五、应用题(本题6分)
解:(1)V()(2)V(a)
y2dx(ex)2dx(1e2);
2
11limV()lim(1e2);
22224112a
故(1e)limV()aln2。 2242
六、证明题(6分)
xaxx
f(t)dtx[a,b] 证:设F(x)tf(t)dt
a2a
(1e2a),于是V(a)
因为f(x)在[a,b]上连续,所以
F(x)xf(x)
1xaxxa1x1x
f(t)dtf(x)f(x)f(t)dt[f(x)f(t)]dtaaa22222
因为f(x)在[a,b]单调增加,0tx,f(t)f(x)f(x)f(t)0,所以F(x)0; 所以F(x)在[a,b]单调增加;又F(a)0,所以F(b)F(a)0, 即
b
a
xf(x)dx
babbabb
f(x)dx0xf(x)dxf(x)dx。 ,所以有aaa22