A2锐角三角函数应用题专题

锐角三角函数

如图，在 三角形ABC 中，∠C=90°. 设∠A 的对边为a ，∠B 的对边为b ，∠C 的对边为c.

∠B 的正切 = ∠B 又叫做坡角，

∠B 的 SinB =

∠B 的

一、特殊角三角函数.

已知∠C=90°，∠A=30°，AB=10，求AC 、BC. 解：∵∠C=90°，∠A=30°

∴BC=AB·sinA ·

A

C

已知∠C=90°，∠B=60°，AB=10，求AC 、BC. 解：∵∠C=90°，∠B=60° ∴AC=AB· ·

A

=

AC = AB· =10·

=

BC = ·B =10·

=

已知∠C=90°，∠A=30°，BC=10，求AC 、AB. 解：∵∠C=90°，∠A=30°

∴tanA =

A

=

已知∠C=90°，∠B=60°，BC=10，求AC 、AB. 解：∵∠C=90°，∠B=60°

∴tanB =

A

∴AC=

tan 30

= =

∴AC= = =

AB= =

已知∠C=90°，∠A=45°，AC=10，求BC 、AB.

AB=2· =

已知∠C=90°，∠A=45°，AB=102，求AC 、BC. 解：∵∠C=90°，∠A=45°

∴AC=AB·

= ·

解：∵∠C=90°，∠A=45°

∴ BC= =10 .

AB= ·2

=

BC = =10 .

=

二、几种非直角特殊三角形

如图，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求BC 、AB.

C

B A

如图，∠A=30°，∠B=45°，BC=2，求AC 、AB.

C

B A

如图，∠A=30°，∠B=45°，AB=3，求BC 、AC.

C

B A

如图，∠CAD=45°，∠B=30°，AB=3，求BC 、AC 、CD.

C

B A D 如图，∠A=45°，∠B=60°，BC=6，求AC 、AB.

C

B

如图，∠A=45°，∠B=60°，AC=6，求BC 、AB.

C

B

如图，∠A=45°，∠B=60°，AB=10，求BC 、AC.

C

B A

如图，∠A=45°，∠CBD=60°，AB=10，求CD 、BC 、AC.

C

A B D

三、非特殊角 如图，∠A=37°，∠B=50°，AB=3，求BC 、AC. 如图，∠A=37°，∠B=50°，BC=3，求AC 、AB. （结果保留两位小数）

C

（结果保留两位小数）

C

B A

B A

如图，∠A=37°，∠CBD=53°，AB=7，求CD 、BC 、如图，∠CAD=40°，∠B=30°，AB=3，求BC 、AC 、AC. （结果保留两位有效数字）

C CD. （结果保留两位有效数字）

C

B A

D B A D

四、三角函数的应用

1、在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳蓬，如图现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳蓬，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为34°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为76°. 把图①画成图②，其中AB 表示窗户的高，BCD 表示直角形遮阳蓬.

⑴遮阳蓬BCD 怎样设计，才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大限度地射入室内而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内？请在图③中画图表示；

⑵已知AB ＝150cm ，在⑴的条件下，求出BC ，CD 的长度（精确到1cm ）.

冬 室

内

2、如图8，为测量某塔AB 的高度，在离该塔底部20米处目测其顶A ，仰角为60，目高1.5米，试求该塔的高度

A

1.7) ．

60

C

3、如图8，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60︒，看这栋高楼底部的俯角为30︒，热气球

B

与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：3≈1. 73）

4、如图，在航线l

的两侧分别有观测点A 和B ，点A 到航线l 的距离为2km ，点B 位于点A 北偏东 60°方向且与A 相距10km 处．现有一艘轮船从位于点B 南偏西76°方向的C 处，正沿该航线自西向东航行，5min 后该轮船行至点A 的正北方向的D 处． （1）求观测点B 到航线l 的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．1.73， sin 76°≈0.97，cos

76°≈0.24，

tan 76°≈4.01）

5、如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙两建筑物的高，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，从B 点测得D 点的仰角α为60°从A 点测得D 点的仰角β为

30°，已知甲建筑物高AB=36米．

1.732） （1）求甲、乙两建筑物之间的距离BC ; （2）求乙建筑物的高DC ；（结果精确到0.01米）．

甲

乙B

C

课堂练习巩固（满分100分，时间20分钟）

1、如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到0.1米) ．(sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28)

(第1题图)

第2题图

2、如图，小明从A 地沿北偏东30

方向走到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．

3、如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得∠BAD =30°，在C 点测得∠BCD =60°，又测得AC =50米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． B A ．25 B

．

C

C D l

D

．第3题图

25+

4、九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角

∠CBD =60︒；

（2）根据手中剩余线的长度算出风筝线BC 的长度为70米；

（3）量出测倾器的高度

AB =1.5米．

根据测量数据，计算出风筝的高度CF 约为 米．（精

D 确到0.1

1.73） 第4题

5、如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩

带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．

A

6、如图，某军港有一雷达站P ，军舰M 停泊在雷达站P 的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N 位于军舰M 的正西方向，与雷达站P

相距 （1）军舰N 在雷达站P 的什么方向？ （2）两军舰M 、N 的距离．（结果保留根号）

7、如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，

1.73，结果保留整数）．

8、如图，在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒0.5米收绳．问： （1） 未开始收绳子的时候，图中绳子BC 的长度是多少米？ （2） 收绳8秒后船向岸边移动了多少米? （结果保留根号） 9、亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼

之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离CD =1.25m ，颖颖与楼之间的距离DN =30m （C 、D 、N 在一条直线上），颖颖的身高BD =1.6m ，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC =0.8m ．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？ M B A C D N

10、如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离

海面的深度？（精确到米，参考数据：

1.414，

1.7322.236）

D

海面

A 30° B 60°

C

11、如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M ）位于海滨城市（记作点A ）的南偏西15°，

距离为且位于临海市（记作点B ）正西方

向72千米/时的速度沿

北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭． （1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭？请说明理由． （2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续 时间有多少小时？

三角函数应用（课后练习巩固）

1、坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．

（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高．图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点

A ，用测角仪测出看塔顶(M ) 的仰角α=35°，在点A

和塔之间选择一点B ，测出看塔顶(M ) 的仰角β=45°，然后用皮尺量出A 、B 两点间的距离为18.6m ，量出自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据

帮助小华计算出塔的高度（tan 35°≈0.7，结果保留整数）．

M

N 图1

B

Ａ

N

Ｐ

图2

（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2），你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题： ①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是： ；

②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ ．

2、如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB 。（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364，sin23°≈0.391，cos23°≈0.921，tan23°≈0.424） D C

A

B

3、如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点P 处

测得教学楼A 位于北偏东60°方向，办公楼B 位于南

偏东45°方向．小明沿正东方向前进60米到达C 处，此时测得教学楼A 恰好位于正北方向，办公楼B 正好位于正南方向．求教学楼A 与办公楼B 之间的距离（结果精确到0.1米）．

1.4141.732）

8、在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE ，张明同学站在离办公楼的地面C 处测得条幅顶端A 的仰角为50°，测得条幅底端E 的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）（参考数据：5、腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）. 为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°（如图②）. 若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．（结果精确到0.1米，

sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， tan50°≈1.20，sin30°=0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）

4、在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD 的高度．他们首先从A 处安置测倾器，测得塔顶C 的仰角∠CFE =21°，然后往塔的方向前进50米到达B 处，此时测得仰角∠CGE =37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD 的高度． （参考数据：sin 37°≈

3

，5

tan 37°≈3，sin 21°≈

9，4

25tan 21°≈

3） 8

A

B

D

1. 73）

． D

A

C

①

②

6、如图，从热气球C 上测得两建筑物A 、B 底部的俯角分别为30°和60°．如果这时气球的高度CD 为90米．且点A 、D 、B

B

间的距离．

7、小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，9、海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行他设计了一种测量方案，具体测量情况如下： 如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD =1.2m ，CE =0.8m ，CA =30m （点

A 、E 、C 在同一直线上）．

已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到

8、某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰角为45°。请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值

)

C

D

B

驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。

10、如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到

B 地需要经过桥DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在

新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．已知BC =12km，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据：2≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）

11、已知：如图在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 分别与x 、y 轴交于点B 、A ，与反比例函数的图象分别交于点C 、D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO =1，

2

OB=4，OE=2。

（1

（2）求直线AB 的解析式。