量子力学周世勋习题解答第二章

第二章习题解答

p.52

2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令

(r，t)(r)f(t)

Et

(r)e

i J(**)

2m

iiii

EtEtEtEt*i

[(r)e（(r)e）*(r)e（(r)e）]

2m

i** [(r)(r)(r)(r)]2m



可见J与t无关。

2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：

11

(1)1eikr (2)2eikr

rr

从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内(即向原点) 传播的球面波。



解：J1和J2只有r分量

11

e 在球坐标中 r0e

rrrsin

i





J1与r同向。表示向外传播的球面波。

i**

(1) J1(1111)

2m

i1ikr1ikr1ikr1ikr

[e(e)e(e)]r0

2mrrrrrr

i111111

[(2ik)(2ik)]r0

2mrrrrrrkk

rr203

mrmr

i**

(2) J2(222)

2m

i1ikr1ikr1ikr1ikr

[e(e)e(e)]r0

2mrrrrrri111111

[(2ik)(2ik)]r0

2mrrrrrrkk

2r03r

mrmr



可见，J2与r反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。

补充：设(x)eikx，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？ *dxdx







∴波函数不能按(x)dx1方式归一化。



2

其相对位置几率分布函数为

1表示粒子在空间各处出现的几率相同。

2.3 一粒子在一维势场

，x0

0xa U(x)0，

，xa中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

解：U(x)与t无关，是定态问题。其定态S—方程

2d2

(x)U(x)(x)E(x) 

2mdx2

在各区域的具体形式为

2d2 1(x)U(x)1(x)E1(x) ① Ⅰ：x0

2mdx22d2

2(x)E2(x) ② Ⅱ： 0xa 2

2mdx2d2 3(x)U(x)3(x)E3(x) ③ Ⅲ：xa

2mdx2

由于(1)、(3)方程中，由于U(x)，要等式成立，必须 1(x)0

2

2(x)0 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。

d22(x)2mE

22(x)0 方程(2)可变为

dx2

2mE

令k22，得



d22(x)

k22(x)0 2

dx

其解为 2(x)AsinkxBcoskx ④

根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得 2(0)1(0) ⑤ 2(a)3(a) ⑥

⑤ B0

⑥ Asinka0 A0

sinka0

kan (n1, 2, 3,) ∴2(x)Asin 由归一化条件

(x)dx1

2

2

n

x a

得 A

sin

a0

2

n

xdx1 a

由



a

b

sin

mna

xsinxdxmn aa2

A

2

a

2nsinxaa2mE

k22



222

n (n1,2,3,)可见E是量子化的。 En2

2ma

对应于En的归一化的定态波函数为 2(x)

i

2nEnt

sinxe, 0xa

n(x,t)a a

 0, xa, xa

#

2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是A1

a

证：

Asinn(xa),xana



0, xa 由归一化，得

12

a

ndxA2sin2

n

a

a

(xa)dxA

2

a1a2[1cosna

(xa)]dxA2a

A2

a

n

2x

a2



a

cos

a

(xa)dx

A2a

A2

aan2nsina(xa)

aA2a

∴归一化常数A

1a

#

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

1

2 解：(x)

2xe2

x

2

2

)2

42



x2e

2x

2

1(x)1(x

2



2

3

x2e

2x

2

d1(x) 23

[2x22x3]e2x2dx

令d1(x)

dx

0，得

x0

x1



x 2.6-14）（

x时，1(x)0。显然不是最大几率的位 由1(x)的表达式可知，x0 ，

置。

d21(x)23222232x2

而[(26x)2x(2x2x)]e

dx2 3

422442x2[(15x2x)]e

d21(x)431 20 2

dx1ex

2

可见x

1









是所求几率最大的位置。 #

2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U(x)U(x)，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为

2d2

(x)U(x)(x)E(x) ① 2

2dx

将式中的x以(x)代换，得

2d2

(x)U(x)(x)E(x) ②

2dx2

利用U(x)U(x)，得

2d2

(x)U(x)(x)E(x) ③ 2

2dx

比较①、③式可知，(x)和(x)都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此(x)和(x)之间只能相差一个常数c。方程①、③可相互进行空间反演 (xx)而得其对方，由①经xx反演，可得③，

(x)c(x) ④ 

由③再经xx反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。

(x)c(x) ⑤ 

④乘 ⑤，得 (x)(x)c2(x)(x) 可见，c21 c1

(x)(x)，(x)具有偶宇称， 当c1时，

(x)(x)，(x)具有奇宇称， 当c1时，

当势场满足 U(x)U(x)时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 #

2.7 一粒子在一维势阱中

U00,xa

U(x)

xa 0,

运动，求束缚态(0EU0)的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的S-方程为

2d2

2dx

2

(x)U(x)(x)E(x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为

Ⅰ：2d2

2dx2

1(x)U01(x)E1(x) Ⅱ：2d2

2dx2

2(x)E2(x) 2 Ⅲ：d2

2dx

2

3(x)U03(x)E3(x) 整理后，得

Ⅰ： 1

2(U0E)210 ④ Ⅱ：. 2

2 E



220 ⑤ Ⅲ：3

2(U0E)230 ⑥ 令 k22(U0E)212 k2

2E

2

则

Ⅰ： 1

k2110 ⑦ Ⅱ：. 2k2

220 ⑧ Ⅲ：3

k2110 ⑨ 各方程的解为

1Aek1xBek1x

2Csink2xDcosk2x

3Eek1

xFek1

x

由波函数的有限性，有

xaaxaax① ② ③

因此

1()有限 A0

3()有限 E0

1

1Bekx3Fe

k1x

由波函数的连续性，有

1(a)2(a),Bek1aCsink2aDcosk2a (10)

(a),k1Bekak2Ccosk2ak2Dsink2a 1(a)2(11)

1

2(a)3(a),Csink2aDcosk2aFe

k1a

(12)

1

(a)3(a),k2Ccosk2ak2Dsink2ak1Feka 2(13) 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 ek1aBsink2aCcosk2aD00

k1ek1aBk2cosk2aCk2sink2a D000sink2aCcosk2aDe

k1a

F0

0k2cosk2aCk2sink2aDk1ek1aF0

解此方程即可得出B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须

ek1asink2acosk2a0k1ek1ak2cosk2ak2sink2a0

0 k1a

0sink2acosk2ae0k2cosk2ak2sink2ak1Bek1a

k2cosk2ak2sink2a

0ek1a

sink2a

k2cosk2a

sink2a

k1ek1asink2a

cosk2aek1a

k2sink2ak1ek1a

cosk2acosk2a

0ek1a

k2cosk2ak2sink2ak1ek1a

k1a

ek1a[k1k2ek1acos2k2ak2sink2acosk2a2ek1a k1k2ek1asin2k2ak2sink2acosk2a]2e

k1ek1a[k1ek1asink2acosk2ak2ek1acos2k2a k1ek1asink2acosk2ak2ek1asin2k2a] e2k1a[2k1k2cos2k2ak22sin2k2ak1sin2k2a]

2 e2k1a[(k22k1)sin2k2a2k1k2cos2k2a]

2

∵ e2k1a0

2

∴(k2k12)sin2k2a2k1k2cos2k2a0

2

即 (k2k12)tg2k2a2k1k20为所求束缚态能级所满足的方程。# 方法二：接（13）式

kk

Csink2aDcosk2a2Ccosk2a2Dsink2a

k1k1kk

Csink2aDcosk2a2Ccosk2a2Dsink2a

k1k1

k2k2

cosk2asink2asink2acosk2ak1k1

0

k2k2

cosk2asink2a(sink2acosk2a)k1k1

((

k2k

cosk2asink2a)(2sink2acosk2a)k1k1k2k

cosk2asink2a)(2sink2acosk2a)0k1k1k2k

cosk2asink2a)(2sink2acosk2a)0k1k1

(

2k2kk

2sink2acosk2a2sin2k2a2cos2k2asink2acosk2a0

k1k1k12

k22k

(1 2)sin2k2a 2cos2k2a0

k1k12

(k2k12)sin2k2a 2k1k2cos2k2a0

#

另一解法：

(11)-(13)2k2Dsink2ak1ek1a(BF)

(10)+(12)2Dcosk2aek1a(BF) (11)(13)

k2tgk2ak1 (a)

(10)(12)

(11)+(13)2k2Ccosk2ak1(FB)eik1a (12)-(10)2Csink2a(FB)eik1a (11 )  (13 )

 k 2 ctgk 2 a   k 1 （b）

(12 )  (10 ) 令 k2a，k2a， 则

 tg (c)或

22(k1k2)合并(a)、(b)：

 ctg (d)

2U0a222



2

(f)

tg2k2a

2k1k22tgk2a 利用 tg2ka22

k2k121tg2k2a

#

2-7一粒子在一维势阱

U00,xa

U(x)

0,xa

中运动，求束缚态(0EU0)的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法） 2

U01E1 （χ≤0） Ⅰ：1

2

2

E2 （0＜χ＜2a） Ⅱ：2

22

U03E3 （χ≥2a） Ⅲ：3

2

2(U0E)1012



2E

220 2



2(U0E)3032



22

k1110 (1) k12(U0E)22

k2束缚态0＜E＜U0 (2) k22220 22E2k30 (3)31

1AekxBekx

2Csink2xDcosk2x

1

1

3EekxFekx

1

1

1()有限 B0

3()有限 E0

因此

1Aek1x

k1x

3Fe

由波函数的连续性，有

1(0)2(0),AD (4)

(0),k1Ak2C 1(0)2 (5)

(2a)3(2a),k2Ccos2k2ak2Dsin2k2ak1Fe2k1a 2(6)

2(2a)3(2a),Csin2k2aDcos2k2aFe2ka (7)

1

(7)代入(6)

Csin2k2aDcos2k2a

k2k

Ccos2k2a2Dsin2k2a k1k1

利用(4)、(5)，得

k1k

Asin2k2aAcos2k2aAcos2k2a2Dsin2k2ak2k1

A[(

k1k2

)sin2k2a2cos2k2a]0k2k1

A0

kk

(12)sin2k2a2cos2k2a0k2k1

两边乘上(k1k2)即得

2

(k22k1)sin2k2a2k1k2cos2k2a0

#

2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为

x0 ，,

U, 0xa，0

U(x)

U, axb，1bx ，0,

求束缚态的能级所满足的方程。

解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为

2d2

2dx

2

(x)U(x)(x)E(x) 对各区域的具体形式为

Ⅰ：2

21U(x)1E1 (x0) Ⅱ：2

22U02E2 (0xa) Ⅲ：2

23U13E3 (axb) Ⅳ：2

2

40E4 (bx) 对于区域Ⅰ，U(x)，粒子不可能到达此区域，故 1(x)0

而 . 2

2 (U0E)

220 ① 2 (U13

E)230 ② 4

2E



240 ③ 对于束缚态来说，有UE0

∴ 2 2k20 k2(U0E)

1212

④ 3k2

2 (U1E)330 k23

2

⑤ 4k20 k2

4442E/2 ⑥ 各方程的解分别为 2Aek1xBek1x

3Csink2xDcosk2x

4Eek3

xFek3

x

由波函数的有限性，得

4()有限，

E0 ∴ 4Fek3x

由波函数及其一阶导数的连续，得 1(0)2(0) BA ∴ k2A(ek3xe3x)

2(a)3(a)A(ek3xek3x)Csink2aDcosk2a ⑦

(a)3(a)Ak1(ek3aek3a)Ck2cosk2aDk2sink2a ⑧ 3

3(b)4(b)Csink2bDcosk2bFek3b ⑨

(b)4(b)Ck2sink2bDk2cosk2bFk3ek3b ⑩ 3

k1ek1aek1aCcosk2aDcosk2a由⑦、⑧，得 (11) 

k2ek1aek1aCsink2aDcosk2a

由 ⑨、⑩得(k2cosk2b)C(k2sink2b)D(k3sink2b)C(k3cosk2b)D

kk

(2cosk2bsink2b)C(2cosk2bsink2b)D0 (12)

k3k3ek1aek1ak1

令ka，则①式变为 k1a1

k2ee

(sink2acosk2a)C(cosk2asink2a)D0 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 kk

(2cosk2bsink2b)(2sink2bcosk2b) k30 k3

(sink2acosk2a)(cosk2asink2a)

k

即 (cosk2asink2a)(2cosk2bsink2b)(sink2acosk2a)

k3

( 

k2

sink2bcosk2b)0k3

k2k

cosk2bcosk2a2sink2bsink2asink2bcosk2ak3k3

k2k

sink2bsink2a2sink2bcosk2a)k3k3k2k

)cosk2(ba)((21)0k3k3k2k

)(2)k3k3

sink2bsink2a

cosk2bsink2acosk2bcosk2a0 sink2(ba)( tgk2(ba)(1 把代入即得

k2ek1aek1ak2k1ek1aek1a

tgk2(ba)(1)() k1ak1ak1ak1a

k3eek3k2ee

此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 #

附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。

(ek1aek1a)(ek1aek1a)k2

000(ek1a

sink2acosk2a

k2cosk2ak2sink2a0

0k3a

sink2bcosk2bek2cosk2bk2sink2bk3ek3a

k2cosk2ak2sink2a0

ek1a)sink2bcosk2bek3a

k2cosk2bk2sink2bk3ek3a

sink2acosk2a0

ek1a)sink2bcosk2bek3a

k2cosk2bk2sink2bk3ek3a

k1(ek1a

2k3a

)k2k3ek3acosk2acosk2bk2esink2a (ek1aek1a（

2k3a

cosk2bk2k3ek3asink2asink2bk2ecosk2asink2b）

k1(ek1bek1b（)k2k3ek3bsink2acosk2bk2ek3bcosk2a cosk2bk3ek3bcosk2asink2bk2ek3bsink2asink2b））

2

(ek1aek1a)[k2k3cosk2(ba)k2sink2(ba)]ek3b

(ek1aek1a)[k1k3sink2(ba)k1k2cosk2(ba)]ek3b

2 ek1a[(k1k3)k2cosk2(ba)(k2k1k3)sink2(ba)]ek3b

2

ek1a[(k1k3)k2cosk2(ba)(k2k1k3)sink2(ba)]ek3b

0

2

 [(k1k3)k2(k2k1k3)tgk2(ba)]ek3b

2 [(k1k3)k2(k2k1k3)tgk2(ba)]ek3b0

[(kk1k3)e

2

2

2k1a

(kk1k3)]tgk2(ba)(k1k3)k2e

22

2k1a

(k1k3)k20 此即为所求方程。 #

补充1：设 (x)Ae(为常数)，求A = ？ 解：由归一化条件，有

22221

1A2exd( x)A2exd( x)



211

A2eydyA2

 ∴A

1

2x22



#

补充2：求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。

1

解：基态能量为E0

2

设基态的经典界限的位置为a，则有

11

E02a2

221

∴aa0



在界限外发现振子的几率为



 

2

2

 e



 a 0

2  2 x



dx 

 e

a0



 2 x 2

0  dx (

 x

e )

22





a0

e

22

x

dx (偶函数性质)

2

a0

e(x)d( x)eydy

y2

2

2





2

1

1

2

2

[e





dyeydy]



[

22

12



2



e

t2/2

dt] （令y

12

t)

式中

2

1

2

e

t2/2

dt为正态分布函数(x)



2

1

x

et

2

/2

dt



当x2时的值(2)。查表得(2)0.92



[0.92] 2(10.92)0.16 ∴

∴在经典极限外发现振子的几率为0.16。 #

1

22x2

补充3：试证明(x)e(23x33x)是线性谐振子的波函数，并

求此波函数对应的能量。

证：线性谐振子的S-方程为

2d21

(x)2x2(x)E(x) ①

2dx2

把(x)代入上式，有

dd22x2

(x)[e(23x33x)]dxdx3

[2x(23x33x)(63x23)]e2

31

22

1

x

2e

31

22

x

(25x493x23)

1

d2(x)d22x25432

e(2x9x3) 2

dx3dx

11

2x2222x254325332

xe(2x9x3)e(8x18x) 

3

2x(x7)e(23x33x)

3(4x272)(x)d2

把2(x)代入①式左边，得

dx

2d2(x)122

左边x(x)2

2dx2

22

1

422

22421

7(x)x(x)2x2(x)

222

2

22421

7(x)x(x)2x2(x) 222

711

(x)2x2(x)2x2(x)2227

(x)

2

右边E(x)7

当E时，左边 = 右边。 n = 3

2

1

d22x2

(x)e(23x33x)，是线性谐振子的波函数，其对应的

3dx7

能量为。

2



周世勋 第二章 小结

1．波函数的统计解释

微观体系的状态由波函数所完全描写。归一化的波函数模的平方

(x,y,z,t)，给出了t时刻在(x,y,z)点附近找到粒子的几率密度。

波函数的标准条件：单值、连续、有限。

波函数的归一化是在全空间必然找到粒子的体现。

2

2．态叠加原理

如果1、2、  、i、 是微观粒子的可能状态，那么它们的线性叠加

cii也是微观粒子的可能状态。

3．薛定谔方程

微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程

22

i[U(r,t)](r,t)

t2

当U(r,t)与t无关时，U(r,t)U(r)这时粒子的状态变化遵从定态薛定谔方程，这时的波函数称为定态波函数，它具有如下的形式：

i

Et

(r,t)(r)e



其中波函数的空间部分(r)满足下面的定态薛定谔方程。

22

[U(r)](r)E(r)

2

上面这个方程即是能量的本征值方程。

4．几率流密度和几率守恒定律

i

(**)与几率密度*满足下列连续性 几率流密度J2m

J0 t

5．定态薛定谔方程的应用实例

①一维无限深势阱

 (xa)，

U(x)

0， (xa)

22n2

能量本征值En(n1, 2,  ) 2

8a

1n

sin(xa) (xa)

能量本征函数na 2a

 (xa)0

1

②一维线性谐振子 U(x)2x2

21

能量本征值 En(n) (n0,1,2,)

2

能量本征函数 nNne ③势垒贯穿

1

2x22

Hn( x) （Nn



2n!n

(0xa)U0，

方形势垒 U(x)

0， (x0,xa)

能量本征值 任意正值

当能量很小，势垒宽度a不太小，即满足k3a1时，贯穿系数为 DD0e



2

2(U0E)a

k3

2(U0E)

2

对于任意势垒U(x)，贯穿系数为 DD0e

2

a

b

2U(x)E)dx

（U(a)U(b)E）

《量子力学》考试大纲

一．绪论（3）

1．了解光的波粒二象性的主要实验事实；

2．掌握德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。 二．波函数和薛定谔方程（12）

(1)理解量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时的不同观念 。

(2)掌握波函数的标准化条件：有限性、连续性、单值性．

(3)理解态叠加原理以及任何波函数Ψ(x，t)按不同动量的平面波展开的方法及其物理意义．

(4)了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位；薛定谔方程和定态薛定谔方程的关系；波函数和定态波函数的关系．

(5)对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法． (6)关于一维定态问题要求如下：

a．掌握一维无限阱的求解方法及其物理讨论；

b．掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点： c．了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释．

三．力学量用算符表达（17）

(1)掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必为实数；坐标算符和动量算符以及量子力学中一切可观察的力学量所对应的算符均为厄米算符．

(2)掌握有关动量算符和角动量算符的本征值和本征函数，它们的归一性和正交性的表达形式，以及与这些算符有关的算符运算的对易关系式．

(3)电子在正点电荷库仑场中的运动提供了三维中心力场下薛定谔方程求解的范例，学生应由此了解一般三维中心力场下求解薛定谔方程的基本步骤和方法，特别是分离变量法．

ˆ的本征函数 (4)掌握力学量平均值的计算方法．将体系的状态波函数Ψ(x)按算符F

展开是这些方法中常用的方法之一，学生应掌握这一方法计算力学量的可能值、概率和

ˆˆ和Gˆ具有确定值以及在什么条件下，两个力学量F平均值．理解在什么状态下力学量F

同时具有确定值．

(5)掌握不确定关系并应用这一关系来估算一些体系的基态能量．

(6)掌握如何根据体系的哈密顿算符来判断该体系中可能存在的守恒量如：能量、动量、角动量、宇称等． 四．态和力学量的表象（10）

(1)理解力学量所对应的算符在具体的表象下可以用矩阵来表示；厄米算符与厄米矩阵相对应；力学量算符在自身表象下为一对角矩阵；

(2)掌握量子力学公式的矩阵形式及求解本征值、本征矢的矩阵方法． (3)理解狄拉克符号及占有数表象

五．微扰理论（16）

(1)了解定态微扰论的适用范围和条件：

(2)对于非简并的定态微扰论要求掌握波函数一级修正和能级一级、二级修正的计算．

(3)对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的确定和一级能量修正的计算． (4)掌握变分法的基本应用；

(5)关于与时间有关的微扰论要求如下：

a．了解由初态i 跃迁到末态f的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的

表达式；

b．理解由微扰矩阵元Hfi≠0可以确定选择定则； c．理解能量与时间之间的不确定关系：ΔEΔt∽

d．理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由i态跃迁到f态的辐射强度均与矩阵元rfi 的模平方∣rfi∣ 成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和磁量子数的选择定则．

(5)了解氢原子一级斯塔克效应及其解释．

*六、散射问题（8）

七．自旋和全同粒子（15）

(1)了解斯特恩—格拉赫实验．电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率．

(2)掌握自旋算符的对易关系和自旋算符的矩阵形式(泡利矩阵)．与自旋相联系的测量值、概率、平均值等的计算以及本征值方程和本征函数的求解方法．



2

(3)了解简单塞曼效应的物理机制．

(4)了解L-S藕合的概念及碱金属原子光谱双线结构和物理解释．

(5)根据量子力学的全同性原理、多体全同粒子波函数有对称和反对称之分．掌握玻色子体系多体波函数取交换对称形式，费米子体系取交换反对称形式，以及费米子服从泡利不相容原理．

(6)理解在自旋与轨道相互作用可以忽略时，体系波函数可写为空间部分和自旋部分乘积形式．对于两电子体系则有自旋单重态和三重态之分．前者自旋波函数反对称，空间波函数对称；后者自旋波函数对称，空间波函数反对称．

(7)作为一个具体的实例:了解氦原子能谱有正氦和仲氦之分的物理机制．

教材：《量子力学教程》（周世勋）