2017年江苏省盐城市中考数学试卷(解析版)

2017年江苏省盐城市中考数学试卷

一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．﹣2的绝对值是（ ）

A ．2 B ．﹣2 C ． D ．

2．如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（ ）

A ．圆柱 B ．球 C ．圆锥 D ．棱锥

3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）

A ． B ． C ． D ． 4．数据6，5，7.5，8.6，7，6的众数是（ ）

A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

5．下列运算中，正确的是（ ）

A ．7a +a=7a2 B ．a 2•a3=a6 C．a 3÷a=a2 D．（ab ）2=ab2

26．如图，将函数y=（x ﹣2）+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，

其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A' 、B' ．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）

A ．

B ． C ． D ．

二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）

7．请写出一个无理数．

8．分解因式a 2b ﹣a 的结果为．

9．2016年12月30日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通车，至此，已通车的内环高架快速路里程达57000米，用科学记数法表示数57000为 ．

10．若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是

11．如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是 ．

12．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= °．

13．若方程x 2﹣4x +1=0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为 ． 14．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在

∠ADB= °． 上，点D 在上，若∠ACB=70°，则

15．如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC 绕某点旋转到△A'B'C'

的位

置，则点B 运动的最短路径长为 ．

16．如图，曲线l 是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45°得到的，过点A （﹣4，4），B （2，2）的直线与曲线l 相交于点M 、N ，则△OMN 的面积为．

三、解答题（本大题共11小题，共102分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

17．计算： +（）﹣1﹣20170．

．

÷（x +2﹣），其中x=3+． 18．解不等式组：19．先化简，再求值：

20．为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．

（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是 ；

（2）小丽回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”、第四个字是选“富

”

还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．

21．“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）求被调查的学生总人数；

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；

（3）若该校共有800名学生，请估计“最想去景点B“的学生人数．

22．如图，矩形ABCD 中，∠ABD 、∠CDB 的平分线BE 、DF 分别交边AD 、BC 于点E 、F ．

（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；

（2）当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．

23．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500

元

购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？ 24．如图，△ABC 是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O 的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC 、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO ；（不写作法与证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O 运动的路径长．

25．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分∠BAC 交边BC 于点E ，经过点A 、D 、E 的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 轴相交于另一点G ．

（1）求证：BC 是⊙F 的切线；

（2）若点A 、D 的坐标分别为A （0，﹣1），D （2，0），求⊙F 的半径； （3）试探究线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

26．【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE 、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 ．

【拓展应用】

如图②，在△ABC 中，BC=a，BC 边上的高AD=h，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别

AC 上，M 在边BC 上，在边AB 、顶点Q 、则矩形PQMN 面积的最大值为 ．（用含a ，h 的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．

27．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；

①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求的最大值；

②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某

个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．

2017年江苏省盐城市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．﹣2的绝对值是（ ）

A ．2 B ．﹣2 C ． D ．

【考点】15：绝对值．

【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．

【解答】解：﹣2的绝对值是2，

即|﹣2|=2．

故选：A ．

2．如图是某个几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（

A ．圆柱 B ．球 C ．圆锥 D ．棱锥

【考点】U3：由三视图判断几何体．

【分析】根据三视图即可判断该几何体．

【解答】解：由于主视图与左视图是三角形，

俯视图是圆，故该几何体是圆锥，

故选（C ）

3．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）

）

A ． B ． C ． D ．

【考点】P3：轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：D 的图形沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合，

故选：D ．

4．数据6，5，7.5，8.6，7，6的众数是（ ）

A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

【考点】W5：众数．

【分析】直接利用众数的定义分析得出答案．

【解答】解：∵数据6，5，7.5，8.6，7，6中，6出现次数最多，

故6是这组数据的众数．

故选：B ．

5．下列运算中，正确的是（ ）

A ．7a +a=7a2 B ．a 2•a3=a6 C．a 3÷a=a2 D．（ab ）2=ab2

【考点】47：幂的乘方与积的乘方；35：合并同类项；46：同底数幂的乘法．

【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、除法法则、积的乘方法则一一计算即可判断．

【解答】解：

A 、错误、7a +a=8a．

B 、错误．a 2•a3=a5．

C 、正确．a 3÷a=a2．

D 、错误．（ab ）2=a2b 2

故选C ．

26．如图，将函数y=（x ﹣2）+1的图象沿y

轴向上平移得到一条新函数的图象，

其中点A （1，m ），B （4，n ）平移后的对应点分别为点A' 、B' ．若曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）

A ． B ． C ． D ．

【考点】H6：二次函数图象与几何变换．

【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A 、B 两点的坐标，再过A 作AC ∥x 轴，交B′B的延长线于点C ，则C （4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．

【解答】

解：∵函数y=（x ﹣2）2+1的图象过点A （1，m ），B （4，n ），

∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=3，

∴A （1，1），B （4，3），

过A 作AC ∥x 轴，交B′B的延长线于点C ，则C （4，1），

∴AC=4﹣1=3，

∵曲线段AB 扫过的面积为9（图中的阴影部分），

∴AC•AA′=3AA′=9，

∴AA′=3，

即将函数y=（x ﹣2）2+1的图象沿y 轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，

∴新图象的函数表达式是y=（x ﹣2）2+4．

故选D ．

二、填空题（每题3分，满分30分，将答案填在答题纸上）

7．请写出一个无理数

【考点】26：无理数．

【分析】根据无理数定义，随便找出一个无理数即可．

【解答】解：

故答案为：

8．分解因式a 2b ﹣a 的结果为

【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】根据提公因式法分解即可．

【解答】解：a 2b ﹣a=a（ab ﹣1），

故答案为：a （ab ﹣1）．

9．2016年12月30日，盐城市区内环高架快速路网二期工程全程全线通车，至此，已通车的内环高架快速路里程达57000米，用科学记数法表示数57000为

4 ．

【考点】1I ：科学记数法—表示较大的数．

n 为整数．【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，确

定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．

【解答】解：将57000用科学记数法表示为：5.7×104．

故答案为：5.7×104．

是无理数． ．

10．若在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．

【考点】72：二次根式有意义的条件．

【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．

【解答】解：根据题意得x ﹣3≥0，

解得x ≥3．

故答案为：x ≥3．

11．如图，是由大小完全相同的正六边形组成的图形，小军准备用红色、黄色、蓝色随机给每个正六边形分别涂上其中的一种颜色，则上方的正六边形涂红色的概率是

．

【考点】

X4：概率公式．

【分析】共有3种情况，上方的正六边形涂红色的情况只有1种，利用概率公式可得答案．

【解答】解：上方的正六边形涂红色的概率是，

故答案为：．

12．在“三角尺拼角”实验中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1= 120 °．

【考点】K8：三角形的外角性质；K7：三角形内角和定理．

【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．

【解答】解：由三角形的外角的性质可知，∠1=90°+30°=120°，

故答案为：120．

13．若方程x 2﹣4x +1=0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为 5 ．

【考点】AB ：根与系数的关系．

【分析】先根据根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1x 2=1，然后把x 1（1+x 2）+x 2展开得到x 1+x 2+x 1x 2，然后利用整体代入的方法计算即可．

【解答】解：根据题意得x 1+x 2=4，x 1x 2=1，

所以x 1（1+x 2）+x 2=x1+x 1x 2+x 2

=x1+x 2+x 1x 2

=4+1

=5．

故答案为5．

14．如图，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在

∠ADB= 110 °． 上，点D 在上，若∠ACB=70°，则

【考点】M5：圆周角定理．

【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵点C 在

∴∠ADB +∠ACB=180°，

∴∠ADB=110°，

故答案为：110．

15．如图，在边长为1的小正方形网格中，将△ABC 绕某点旋转到△A'B'C' 的位置，则点B 运动的最短路径长为

π

． 上，点D 在上，若∠ACB=70°，

【考点】O4：轨迹；R2：旋转的性质．

【分析】如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P ，点P 即为旋转中心，观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B 运动的路径长最短

【解答】解：如图作线段AA′、CC′的垂直平分线相交于点P ，点P 即为旋转中心，

PB=观察图象可知，旋转角为90°（逆时针旋转）时B 运动的路径长最短，

=，

=π， ∴B 运动的最短路径长为=

故答案为π．

16．如图，曲线l 是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45°得到的，过点A （﹣4，4），B （2，2）的直线与曲线l 相交于点M 、N ，则△OMN 的面积为．

【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转；G5：反比例函数系数k 的几何意义．

【分析】由题意A （﹣4，4），B （2，2），可知OA ⊥OB ，建立如图新的坐标系（OB 为x′轴，OA 为y′轴，利用方程组求出M 、N 的坐标，根据S △OMN =S△OBM ﹣S △OBN 计算即可．

，4），B （2，2）， 【解答】解：∵A （﹣4

∴OA ⊥OB ，

建立如图新的坐标系（OB 为x′轴，OA 为y′轴．

在新的坐标系中，A （0，8），B （4，0），

∴直线AB 解析式为y′=﹣2x′+8，

由，解得或，

∴M （1.6），N （3，2），

∴S △OMN =S△OBM ﹣S △OBN =•4•6﹣•4•2=8，

故答案为8

三、解答题（本大题共11小题，共102分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

17．计算： +（）﹣1﹣20170．

【考点】2C ：实数的运算；6E ：零指数幂；6F ：负整数指数幂．

【分析】首先计算开方，乘方、然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．

【解答】解：原式=2+2﹣1=3．

18．解不等式组：．

【考点】CB ：解一元一次不等式组．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式3x ﹣1≥x +1，得：x ≥1，

解不等式x +4＜4x ﹣2，得：x ＞2，

∴不等式组的解集为x ＞2．

19．先化简，再求值：÷（x +2﹣），其中x=3+．

【考点】6D ：分式的化简求值．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．

【解答】解：原式=

=

=

=÷•，

时，原式===． ÷（﹣） 当x=3+

20．为了编撰祖国的优秀传统文化，某校组织了一次“诗词大会”，小明和小丽同时参加，其中，有一道必答题是：从如图所示的九宫格中选取七个字组成一句唐诗，其答案为“山重水复疑无路”．

（1）小明回答该问题时，对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，若随机选择其中一个，则小明回答正确的概率是

；

（

2

）小丽回答该问题时，对第二个字是选

“重”还是选“穷”、第四个字是选“富”还是选“复”都难以抉择，若分别随机选择，请用列表或画树状图的方法求小丽回答正确的概率．

【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式．

【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；

（2）画出树状图得到所有可能的结果，再找到回答正确的数目即可求出小丽回答正确的概率．

【解答】解：

（1）∵对第二个字是选“重”还是选“穷”难以抉择，

∴若随机选择其中一个正确的概率=，

故答案为：；

（2）画树形图得：

由树状图可知共有4种可能结果，其中正确的有1种，

所以小丽回答正确的概率=．

21．“大美湿地，水韵盐城”．某校数学兴趣小组就“最想去的盐城市旅游景点”随机调查了本校部分学生，要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点，下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图：

请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）求被调查的学生总人数；

（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；

（3）若该校共有800名学生，请估计“最想去景点B“的学生人数．

【考点】VC ：条形统计图；V5：用样本估计总体；VB ：扇形统计图．

【分析】（1）用最想去A 景点的人数除以它所占的百分比即可得到被调查的学生总人数；

（2）先计算出最想去D 景点的人数，再补全条形统计图，然后用360°乘以最想去D 景点的人数所占的百分比即可得到扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数；

（3）用800乘以样本中最想去A 景点的人数所占的百分比即可．

【解答】解：（1）被调查的学生总人数为8÷20%=40（人）；

（2）最想去D 景点的人数为40﹣8﹣14﹣4﹣6=8（人），

补全条形统计图为：

扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数为

（3）800×

×360°=72°； =280，

所以估计“最想去景点B“的学生人数为280人．

22．如图，矩形ABCD 中，∠ABD 、∠CDB 的平分线BE 、DF 分别交边AD 、BC 于点E 、F ．

（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形；

（2）当∠ABE 为多少度时，四边形BEDF 是菱形？请说明理由．

【考点】LB ：矩形的性质；L7：平行四边形的判定与性质；L9：菱形的判定．

【分析】（1）由矩形可得∠ABD=∠CDB ，结合BE 平分∠ABD 、DF 平分∠BDC 得∠EBD=∠FDB ，即可知BE ∥DF ，根据AD ∥BC 即可得证；

（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF 是菱形，由角平分线知∠ABD=2∠ABE=60°、∠EBD=∠ABE=30°，结合∠A=90°可得∠EDB=∠EBD=30°，即EB=ED，即可得证．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，

∴AB ∥DC 、AD ∥BC ，

∴∠ABD=∠CDB ，

∵BE 平分∠ABD 、DF 平分∠BDC ，

∴∠EBD=∠ABD ，∠FDB=∠BDC ，

∴∠EBD=∠FDB ，

∴BE ∥DF ，

又∵AD ∥BC ，

∴四边形BEDF 是平行四边形；

（2）当∠ABE=30°时，四边形BEDF 是菱形，

∵BE 平分∠ABD ，

∴∠ABD=2∠ABE=60°，∠EBD=∠ABE=30°，

∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠A=90°，

∴∠EDB=90°﹣∠ABD=30°，

∴∠EDB=∠EBD=30°，

∴EB=ED，

又∵四边形BEDF 是平行四边形，

∴四边形BEDF 是菱形．

23．某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．

（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？

（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？

【考点】AD ：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．

【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

（2）设年增长率为m ，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出结论．

【解答】解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x 元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x ﹣11）元/盒，

根据题意得：

解得：x=35，

经检验，x=35是原方程的解．

答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．

（2）设年增长率为m ，

2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．

根据题意得：（60﹣35）×100（1+a ）2=（60﹣35+11）×100，

=，

解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：年增长率为20%．

24．如图，△ABC 是一块直角三角板，且∠C=90°，∠A=30°，现将圆心为点O 的圆形纸片放置在三角板内部．

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC 、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO ；（不写作法与证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O 运动的路径长．

【考点】O4：轨迹；MC ：切线的性质；N3：作图—复杂作图．

【分析】（1）作∠ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O ，作射线CO 即可；

（2）添加如图所示辅助线，圆心O 的运动路径长为，先求出△ABC 的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO 1、四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 均为矩形、四边形OECF 为正方形，得出∠OO 1O 2=60°=∠ABC 、∠O 1OO 2=90°，从而知△OO 1O 2∽△CBA ，利用相似三角形的性质即可得出答案．

【解答】解：（1）如图①所示，射线OC 即为所求；

（2）如图，圆心O 的运动路径长为，

过点O 1作O 1D ⊥BC 、O 1F ⊥AC 、O 1G ⊥AB ，垂足分别为点D 、F 、G ，

过点O 作OE ⊥BC ，垂足为点E ，连接O 2B ，

过点O 2作O 2H ⊥AB ，O 2I ⊥AC ，垂足分别为点H 、I ，

在Rt △ABC 中，∠ACB=90°、∠A=30°，

∴AC=

∴C △ABC =9+9==9，AB=2BC=18，∠ABC=60°， ， +18=27+9

∵O 1D ⊥BC 、O 1G ⊥AB ，

∴D 、G 为切点，

∴BD=BG，

在Rt △O 1BD 和Rt △O 1BG 中，

∵

，

∴△O 1BD ≌△O 1BG （HL ），

∴∠O 1BG=∠O 1BD=30°，

在Rt △O 1BD 中，∠O 1DB=90°，∠O 1BD=30°，

∴BD===2

=7﹣2， ， ∴OO 1=9﹣2﹣2

∵O 1D=OE=2，O 1D ⊥BC ，OE ⊥BC ，

∴O 1D ∥OE ，且O 1D=OE，

∴四边形OEDO 1为平行四边形，

∵∠OED=90°，

∴四边形OEDO 1为矩形，

同理四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 、四边形OECF 为矩形，

又OE=OF，

∴四边形OECF 为正方形，

∵∠O 1GH=∠CDO 1=90°，∠ABC=60°，

∴∠GO 1D=120°，

又∵∠FO 1D=∠O 2O 1G=90°，

∴∠OO 1O 2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC ，

同理，∠O 1OO 2=90°，

∴△OO 1O 2∽△CBA ，

∴

∴

25．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点D ，AE 平分∠BAC 交边BC 于点E ，经过点A 、D 、E 的圆的圆心F 恰好在y 轴上，⊙F 与y 轴相交于另一点G ．

（1）求证：BC 是⊙F 的切线；

（2）若点A 、D 的坐标分别为A （0，﹣1），D （2，0），求⊙F 的半径；

==15+，即=， ． ，即圆心O 运动的路径长为15+

（3）试探究线段AG 、AD 、CD 三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

【考点】MR ：圆的综合题．

【分析】（1）连接EF ，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到∠FEA=∠EAC ，得到FE ∥AC ，根据平行线的性质得到∠FEB=∠C=90°，证明结论； （2）连接FD ，设⊙F 的半径为r ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；

（3）作FR ⊥AD 于R ，得到四边形RCEF 是矩形，得到EF=RC=RD+CD ，根据垂径定理解答即可．

【解答】（1）证明：连接EF ，

∵AE 平分∠BAC ，

∴∠FAE=∠CAE ，

∵FA=FE，

∴∠FAE=∠FEA ，

∴∠FEA=∠EAC ，

∴FE ∥AC ，

∴∠FEB=∠C=90°，即BC 是⊙F 的切线；

（2）解：连接FD ，

设⊙F 的半径为r ，

则r 2=（r ﹣1）2+22，

解得，r=，即⊙F 的半径为；

（3）解：AG=AD+2CD ．

证明：作FR ⊥AD 于R ，

则∠FRC=90°，又∠FEC=∠C=90°，

∴四边形RCEF 是矩形，

∴EF=RC=RD+CD ，

∵FR ⊥AD ，

∴AR=RD，

∴EF=RD+CD=AD +CD ，

∴AG=2FE=AD+2CD ．

26．【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=60°，小明想从中剪出一个以∠B 为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE 、EF 剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为

．

【拓展应用】

如图②，在△ABC 中，BC=a，BC 边上的高AD=h，矩形PQMN 的顶点P 、N 分别

AC 上，M 在边BC 上，在边AB 、顶点Q 、则矩形PQMN 面积的最大值为

含a ，h 的代数式表示）

．（用

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE ，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B 为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD ，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且tanB=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M 、N 在边BC 上且面积最大的矩形PQMN ，求该矩形的面积．

【考点】LO ：四边形综合题．

【分析】【探索发现】：由中位线知EF=BC 、ED=AB 、由

得；

【拓展应用】：由△APN ∽△ABC 知

形PQMN =可=，可得PN=a﹣PQ ，设PQ=x，由S 矩=PQ•PN═﹣（x ﹣）2+，据此可得；

【灵活应用】：添加如图1辅助线，取BF 中点I ，FG 的中点K ，由矩形性质知AE=EH20、CD=DH=16，分别证△AEF ≌△HED 、△CDG ≌△HDE 得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK 的两端点在线段AB 和DE 上，利用【探索发现】结论解答即可；

【实际应用】：延长BA 、CD 交于点E ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，由tanB=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ 的两端点在线段AB 、CD 上，利用【拓展应用】结论解答可得．

【解答】解：【探索发现】

∵EF 、ED 为△ABC 中位线，

∴ED ∥AB ，EF ∥BC ，EF=BC ，ED=AB ，

又∠B=90°，

∴四边形FEDB 是矩形，

则===，

故答案为：；

【拓展应用】

∵PN ∥BC ，

∴△APN ∽△ABC ，

∴=，即=，

∴PN=a﹣PQ ，

设PQ=x，

则S 矩形PQMN =PQ•PN=x（a ﹣x ）=﹣x 2+ax=﹣（x ﹣）2+

∴当PQ=时，S 矩形PQMN 最大值为

故答案为：

， ， ；

【灵活应用】

如图1，延长BA 、DE 交于点F ，延长BC 、ED 交于点G ，延长AE 、CD 交于点H ，取BF 中点I ，FG 的中点K ，

由题意知四边形ABCH 是矩形，

∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，

∴EH=20、DH=16，

∴AE=EH、CD=DH，

在△AEF 和△HED 中，

∵，

∴△AEF ≌△HED （ASA ），

∴AF=DH=16，

同理△CDG ≌△HDE ，

∴CG=HE=20，

∴BI==24，

∵BI=24＜32，

∴中位线IK 的两端点在线段AB 和DE 上，

过点K 作KL ⊥BC 于点L ，

由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，

答：该矩形的面积为720；

【实际应用】

如图2，延长BA 、CD 交于点E ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，

∵tanB=tanC=，

∴∠B=∠C ，

∴EB=EC，

∵BC=108cm，且EH ⊥BC ，

∴BH=CH=BC=54cm，

∵tanB==，

∴EH=BH=×54=72cm，

在Rt △BHE 中，BE=

∵AB=50cm，

∴AE=40cm， =90cm，

∴BE 的中点Q 在线段AB 上，

∵CD=60cm，

∴ED=30cm，

∴CE 的中点P 在线段CD 上，

∴中位线PQ 的两端点在线段AB 、CD 上，

由【拓展应用】知，矩形PQMN 的最大面积为BC•EH=1944cm2，

答：该矩形的面积为1944cm 2．

27．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x +2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线y=x 2+bx +c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；

①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求的最大值；

②过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某

个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】HF ：二次函数综合题．

【分析】（1）根据题意得到A （﹣4，0），C （0，2）代入y=﹣x 2+bx +c ，于是得到结论；

（2）①如图，令y=0，解方程得到x 1=﹣4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；

②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （﹣，0），得到PA=PC=PB=，过作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，情况一：如图，∠DCF=2∠BAC=∠DGC +∠CDG ，情况二，∠FDC=2∠BAC ，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：（1）根据题意得A （﹣4，0），C （0，2），

∵抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过A 、C 两点，

∴，

∴，

∴y=﹣x 2﹣x +2；

（2）①如图，令y=0，

∴﹣x 2﹣x +2=0，

∴x 1=﹣4，x 2=1，

∴B （1，0），

过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，

∴DM ∥BN ，

∴△DME ∽△BNE ，

∴==，

设D （a ，=﹣a 2﹣a +2），

∴M （a ， a +2），

∵B （1.0），

∴N （1，），

∴==（a +2）2+；

∴当a=2时，的最大值是；

②∵A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2），

∴AC=2，BC=，AB=5，

∴AC 2+BC 2=AB2，

∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ， ∴P （﹣，0），

∴PA=PC=PB=，

∴∠CPO=2∠BAC ，

∴tan ∠CPO=tan（2∠BAC ）=，

过作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC +∠CDG ， ∴∠CDG=∠BAC ，

∴tan ∠CDG=tan∠BAC=，

即，

令D （a ，﹣a 2﹣a +2），

∴DR=﹣a ，RC=﹣a 2﹣a ，

∴，

∴a 1=0（舍去），a 2=﹣2，

∴x D =﹣2，

情况二，∴∠FDC=2∠BAC ，

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∴tan ∠FDC=，

设FC=4k，

∴DF=3k，DC=5k， ∵tan ∠DGC==， ∴FG=6k，

∴CG=2k，DG=3k ，∴ ∴RC=k ，RG=k ， DR=3k ﹣k=k ， ∴==， ∴a 1=0（舍去），a 2=，

点D 的横坐标为﹣2或﹣．

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2017年7月1日

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