_线性空间_公理系统的等价性

第23卷　第3期

2004年9月《新疆师范大学学报》(自然科学版) Jour nal o f Xinjiang N or mal U niver sity

(N atural Sciences Edition) V ol. 23, N o. 3Sep . 2004

“线性空间”公理系统的等价性

汪仲文

(喀什师范学院数学系, 新疆喀什　844006)

摘要:本文在利用群的第一定义和群的第二定义的等价性得出关于“线性空间”的一个简化定义的基础上, 给出线性空间

另外两个等价的公理系统。同时, 对这些公理系统的独立性问题予以探讨。

关键词:线性空间; 加群; 公理; 公理系统; 独立性

中图分类号:　O152. 3　　　文献标识码:　A 　　　文章编号:　1008-9659-(2004) -03-0096-03

线性空间是线性代数最基本的概念之一, 众所周知, 线性空间是用公理化方法引进的一个代数系, 它的定义是用公理化方法给出的。在北京大学数学系订的《高等代数》(第三版) 教材中, 其定义如下。

定义1　设V 是一个非空集合, P 是一个数域。在集合V 的元素之间定义了一种代数运算, 叫做加法:这就是说, 给出了一个法则, 对于V 中任意两个元素 与 , 在V 中都有唯一的一个元素 与它们对应, 称为 与 的和, 记为 = + 。在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算, 叫做数量乘法; 这就是说, 对于数域P 中任一数k 与V 中任一元素 , 在V 中都有唯一的一个元素 与它们对应, 称为k 与 的数量乘积, 记为 =k 。如果加法与数量乘法满足下述规则, 那么V 称为数域P 上的线性空间。

加法满足下面四条规则:

1) + = + ;

2) ( + ) + = +( + ) ;

3) 在V 中有一个元素0, 对于V 中任一元素 , 都有 +0= ;

4) 对于V 中每一个元素 , 都有V 中的元素 , 使得 + =0。

数量乘法满足下面两条规则:

5) 1 = ;

6) k(1 ) =(k1) 。

数量乘法怀加法满足下面两条规则:

7) (k+1) =k +1 ;

8) k( + ) =k +k 。

在以上规则中, k , 1等表示数域P 中的任意数; , , 等表示集合V 中任意元素。

在国内其他一些较新的代数教材中, 如张禾瑞等编著的《高等代数》(第四版[2], 张贤科、许甫华编著的

[3][4][5]《高等代数数学》, 孟道骥编著的《高等代数与解析几何》, 蔡德祺、刘丁酉编著的《线性代数》, 华中理工

[6]大学数学系编著的《线性代数》, 其定义大都类似。[1]

笔者在文献[7]中指出了8条公理中, 公理1, 即加法交换律不是独立的, 可以由公理4、5、7、8推出。由

第3期汪仲文　　“线性空间”公理系统的等价性

[8]97近世代数的知识, 笔者利用群的第一定义和第二定义的等价性得出了如下含有7条公理的关于“线性空

间”的一个简化公理系统, 并给出了7条公理的独立性。

定义2　(“线性空间”的简化定义) :设V 是一个非空集合, P 是一个数域。在集合V 的元素之间定义了一种代数运算, 叫做加法; 这就是说, 给出了一个法则, 对于V 中任意两个元素 与 , 在V 中都有唯一的一个元素 与它们对应, 称为 与 的和, 记为 = + 。在数域P 与集合V 的元素之间还定义了一种运算, 叫做数量乘法; 这就是说, 对于数域P 中任一数k 与V 中任一元素 , 在V 中都有唯一的一个元素 与它们对应, 称为k 与 的数量乘积, 记为 =k 。如果加法与数量乘法满足下述规则, 那么V 称为数域P 上的线性空间。

加法满足下面三条规则:

a) + = + ;

+ ) + = +( + ) ; b ) (

c) 、 ∈V, 方程 +x = 都在V 中有唯一解。

数量乘法满足下面两条规则:

d) l = ;

) =(kl ) 。e ) k (l

数量乘法与加法满足下面两条规则:

=k +l ; f ) (k +l )

g) k( + ) =k +k 。

在以上规则中, k , l 等表示数域P 中的任意数; , , 等表示集合V 中任意元素。

进一步, 我们还可以给出与上述等价的两个线性空间的公理系统。

定理1　若在定义2中的“公理d ) 1 = ”由“公理d ′) 若k =0, 则k =0或 =0”取代, 而其余6条公理保持不变, 则V 对这7条公理构成一个线性空间, 并将这公理系统记作Ⅲ。

证明　欲证V 对其两种运算构成线性空间, 只须证公理系统Ⅲ的7条公理满足定义2的7条公理, 即只须证被取代的公理d) 在V 中成立。

事实上, 由定义2“公理c , 、+x = 都在V 中有唯一解”, 称方程 +x = 在V 中的唯一 ∈V , 方程

解为V 的零元, 记作0; 称方程 +x =0在V 中的唯一解为 的负元, 记作- 。

∈V , k ∈F , k ≠0由公理g ) 有

　　　　　　　　k +k(- ) =k( +(- ) ) =k0

　　　　　　　　k +k 0=k ( +0) =k

对(2) 式两端同时从右相加k 的负元-k , 并由公理a ) 得

+k (- ) =0k 0=0, 由(1) 式即得k

据公理e) 、g ) 有

　　　　　　　　k +k (- ) =(k 1) +k (- ) =k (1 ) +k (- ) =k (1 +(- ) )

于是由(3) 式得k(1 +(- ) ) =0。据题设, 由于k ≠0, 则有

　　　　　　　　1 +(- ) =0

对上式两端同时从右相加 , 由公理a) 、b) 、c) 即得

　　　　　　　　1 =

故在定义2中“公理d) 1 = ”在V 中成立。因此V 这7条公理构成一个线性空间。

反之, 作为公理系统Ⅲ中的“公理d ′) 若k =0, 则k =0或 =0”在定义1中是被当作基本性质由其余公理推出来的。

所以上述给出的线性空间公理系统Ⅲ与定义1、2是等价的, 并且这样定义的线性空间公理系统是[1](1) (2) (3)

98新疆师范大学学报(自然科学版) 2004年定理2　若在定义1的公理系统中去掉公理1) , 而把公理2) 改为公理

、+ ) + = +( + ) 、 ∈V , 有(

把公理3) 改为公理

∈V , 有一个零元0∈V , 0+ = ,

其余5条公理保持不变, 则V 对公理 , , 4) -8) 这7条构成一线性空间, 并记作Ⅳ。

证明　须证公理系统Ⅳ的7条公理满足定义1中的8条公理。

事实上, 、=0, 由公理 与 则有 ∈V , 取

(0+ ) + =0+( + ) ,

+ = +

于是公理1) , 即加法交换律在V 中成立。因此由题设公理 , 对 、 、 ∈V, 有( + ) + = +( + ) = +( + )

即公理2) 加法结合律在V 中成立。再由题设公理 与公理1) , 在V 中公理3) 显然是成立的, 故由公理系统Ⅳ的7条公理推出定义1中8条公理在V 中均成立, 所以V 对题设7条公理构成一线性空间。

同时, 由定义1的公理系统显然可得出公理 与 。

因此该定理给出的线性空间公理系统Ⅳ与定义1的公理系统是等价的, 并且是合理的。

由于定义1中公理6) 与公理8) 的独立性与其数域有关, 当且仅当P 不是素域时, 公理6) 与公理8) 对数域P 是独立的。详见文献[9]。因此, 除素域外, 公理6) 与公理8) 对一切数域都是独立的。由于素域只有二类, 即有理数域Q 与模素数p 剩余类环Z p , 故可以说公理6) 、公理8) 对大多数的数域来说都是独立的。

因而, 新建的两个线性空间的公理系统Ⅲ、Ⅳ当数域P 不是素域时, 7条公理都是独立的。

参考文献:

[1]　北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 2003, 7.

[2]　张禾瑞等. 高等代数(第四版) [M ]. 北京:高等教育出版社, 1999, 5.

[3]　张贤科, 许甫华. 高等代数学[M ]. 北京:清华大学出版社, 1998, 3.

[4]　孟道骥. 高等代数与解析几何[M ]. 北京:科学出版社, 1998, 8.

[5]　蔡德祺, 刘丁酉. 线性代数[M ]. 北京:高等教育出版社, 2003. 2.

[6]　华中理工大学数学系. 线性代数[M ]. 北京:高等教育出版社, 海德堡:施普林格出版社, 1999, 8.

[7]　汪仲文. “线性空间”的一个简化定义[J ].华北师范大学学报(自然科学版) , 2003, 9:56-58.

[8]　张禾瑞. 近世代数基础(修订本) [M ]. 北京:高等教育出版社, 2001.

[9]　白述伟. 关于线性空间的公理系统[J ]. 哈尔滨师范大学学报(自然科学版) , 1996, 3:1-6.

The Equivalence on the Axiom Systems for A Linear Space

WANG Zhongwen

(Dep artment of Mathematics , K ashi T eachers College , X inj iang K ashgar 844006China )

Abstract :T w o equiv alence axiom sy stem s for a linear space are independently given on the basis of sim plified definition of linear space w ith the equivalence relatio ns of gro ups. And pro blems of independence on these ax io m systems for a linear space are investigated.

Key words :Linear Space , Abel gr oup , Ax iom , Axiom system , Independence