2-2推理与证明测试题

《数学选修2-2》推理与证明

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)

1、 下列表述正确的是( ).

①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

A.①②③ B.②③④ C.②④⑤ D.①③⑤. 2、分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) Ａ.充分条件 Ｂ.必要条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.等价条件 3、在△ABC中,sinAsinCcosAcosC,则△ABC一定是( ) Ａ.锐角三角形 Ｂ.钝角三角形 Ｃ.直角三角形 4、下面使用类比推理正确的是 ( )

Ｄ.不确定

A.直线a,b,c,若a//b,b//c,则a//c.类推出:向量a,b,c,若a//b,b//c,则a//c

B.同一平面内,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.类推出:空间中,直线a,b,c,若a⊥c,b⊥c,则a//b.

C.实数a,b,若方程x2axb0有实数根,则a24b.类推出:复数a,b,若方程

xaxb0有实数根,则a4b.

2

2

D.以点(0,0)为圆心,r为半径的圆的方程为x2y2r2.类推出:以点(0,0,0)为球心,r为半径的球的方程为x2y2z2r2.

5、(1)已知p3q32,求证pq≤2,用反证法证明时,可假设pq≥2;(2)已知

a，bR

,ab1,求证方程x2axb0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假

设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设x1≥1,以下结论正确的是( )

A.(1)的假设错误,(2)的假设正确 B.(1)与(2)的假设都正确 C.(1)的假设正确,(2)的假设错误 D.(1)与(2)的假设都错误 6、观察式子:1Ａ.1Ｃ.1

122

2

12

2



321

2

,1



121

2



13

2



53

,1

12

2



13

2



14

2



74

,,则可归纳出式子为( )

1

1nn

2



133

2



nn

2n12n1n

(n≥2)(n≥2)

Ｂ.1

Ｄ.1

122

2



33

2



12n12n2n112

(n≥2)(n≥2)

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

7、已知扇形的弧长为l,所在圆的半径为r,类比三角形的面积公式:S扇形的面积公式为( )

底高,可得

Ａ.

12

r

2

Ｂ.l2

2

1

Ｃ.rl

2

1

Ｄ.不可类比

8、定义AB,BC,CD,DA的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是 ( )

(1) (2) (3) (4) (A) (B)

A.BD,AD B.BD,AC C.BC,AD D.CD,AD 9、观察下列各式:112,23432,3456752,4567891072,,可以得出的一般结论是( )

A.n(n1)(n2)(3n2)n2

B.n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2 C.n(n1)(n2)(3n1)n2

D.n(n1)(n2)(3n1)(2n1)2

10、用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n·1·3··(2n1),从k到k1,左边需要增乘的代数式为( )

A.2(2k1) B.2k1

C.

2k1k1

D.

2k3k1

11、正整数按下表的规律排列

1 4 9

2 3 8

5 6 7

10 11 12 13 22

17 18 19 20 21

16

14

则上起第2009行,左起第2010列的数应为( )

A.2009

2

B.2010

2

C.20092010 D.20092010

12、为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理如下图:

明文

加密密钥密码

密文发送

密文

解密密钥密码

明文

现在加密密钥为yloga(x2),如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )

A.12 B.13 C.14 D.15

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)

13、数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于______________. 14、已知经过计算和验证有下列正确的不等式:1

1

1213

115

2,

12

,1

12



13

1,1

12



13



17



32

,

,根据以上不等式的规律,写出一个一般性的不等式0,

则数列bn

15、已知命题:“若数列an是等比数列,且an

nN)也是



等比数列”.可类比得关于等差数列的一个性质为________________________________.

16、若数列an的通项公式an

1(n1)

2

(nN),记f(n)(1a1)(1a2)(1an),

试通过计算f(1),f(2),f(3)的值,推测出f(n)________________.

三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)

17、(12分)

已知:sin30sin90sin150

 sin10

sin

22



222



32

sin

2



2

70

2

2

3

sin3 0

2



5sin



65sin125

32

通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明.

18、(12分)

如图(1),在三角形ABC中,ABAC,若ADBC,则AB2BD·BC;若类比该命题,如图(2),三棱锥ABCD中,AD面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M,则有什么结论?命题是否是真命题.

19、(12分)

，d中至少有一个是已知实数a，b，c，d满足abcd1,acbd1,求证a，b，c

负数.

20、(12分)

已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1. (1)写出a1, a2, a3,并推测an的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.

21、(12分)



已知命题:“若数列an为等差数列,且ama,anb(mn,m,nN),

则amn

manbmn



”.现已知数列bn(bn0,nN)为等比数列,



且bma,bnb(mn,m,nN).

(1)请给出已知命的证明;

(2)类比(1)的方法与结论,推导出bmn.

22、(14分)

在中学阶段,对许多特定集合(如实数集、复数集以及平面向量集等)的学习常常是以定义运算(如四则运算)和研究运算律为主要内容.现设集合A由全体二元有序实数组组成,在A上定义一个运算,记为,对于A中的任意两个元素(a,b),(c,d),规定:

(adbc,bdac).

(1)计算:(2,3)(1,4);

(2)请用数学符号语言表述运算满足交换律,并给出证明;

(3)若“A中的元素I(x,y)”是“对A,都有II成立”的充要条件,试求出元素I.

参考答案

1.D 由归纳推理、演绎推理和类比推理的概念知①③⑤正确. 2.A 由分析法的定义知A正确.

3.B 由已知得sinAsinCcosAcosCcos(AC)0,∴cos(AC)0, ∴AC为锐角,得B为钝角,△ABC为钝角三角形.

4.D 若向量b=0,则a//c不正确;空间内,直线a与b可以相交、平行、异面,故B不正确;

2

方程x0ix0(1i)0有实根,但a24b不成立;设点P(x,y,z)是球面上的任一点,由

OPr,

r,D正确.

5.A 用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以pq≤2 的假命题应为

pq2.

6.Ｃ 由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C. 7.Ｃ 三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧.

8.B 观察知A表示“︱”,B表示“□”,C表示“－”,D表示“○”,故选B. 9.B 等式右边的底数为左边的项数.

10.A 当nk时,左边=(k1)(k2)(kk)

当nk1时,左边[(k1)1][(k1)2][(k1)(k1)]

(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2) (k1)(k2)(kk)

(kk1)(kk2)

k1

(k1)(k2)(kk)[2(2k1)],

∴从k到k1,左边需要增乘的代数式为2(2k1).

11.D 由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为200921,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为20092200920092010.

12.C 由其加密、解密原理可知,当x=6时,y=3,从而a =2;不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,则有4log2(b2),从而有b24214.

13.32 523,1156,20119,x2012,47x15,∴x32

14.一般不等式为:1

1213

121

n



n2

(nN)



.

也是等差数列.

15.若数列an是等差数列,则数列bn

a1a2an

n

证明如下:设等差数列an的公差为d,

na1

n(n1)d

2n

a1

d2(n1)

则bn

a1a2an

n

,

所以数列bn是以a1为首项,16.f(n)

n22n2

d2

为公差的等差数列.

1

12

2

a1

12

2

(11)12

2

1212

,a212

32

1(21), 123

2



13

3

,a3

1(31)

2



14

2

f(1)1a11

(1)(1)13

同理f(2)(1a1)(1a2)(1

233

111132435

f(3)(1a1)(1a2)(1a3)(12)(12)(12)

234223344

)(12)2

2



4

∴f(n)(1

12

12

)(12

13

)[12

1

)(3

1(n1)

2

]

111 n1n1n22n2

2

(1

12

)(123

1243

1

)1

3nn1



))

32

34

2

...

n2n1

2



17.解:一般性的命题为sin(60)sinsin(60)

1cos(2120)

2

32

证明:左边

1cos2

2



1cos(2120)

2



3232

[cos(2120)cos2cos(2120)]

00



所以左边等于右边

18.解:命题是:三棱锥ABCD中,AD面ABC,若A点在三角形BCD所在平面内的射影为

M

2

,则有S△S△BCM·S△BCD是一个真命题.证明如下: ABC

在图(2)中,连结DM,并延长交BC于E,连结AE,则有DEBC. 因为AD面ABC,,所以ADAE. 又AMDE,所以AE2EM·ED. 于是S

2

△ABC

111BC·AEBC·EM·BC·EDS△BCM·S△BCD. 222

2

19.证明:假设a，b，c，d都是非负实数,因为abcd1, 所以a，b，c，d[0，1],

所以ac≤

所以acbd≤

ac2

bd2

1,

ac2

,bd≤bc2

,

这与已知acbd1相矛盾,所以原假设不成立,即证得a，b，c，d中至少有一个是负数.

20.解:(1) a1＝, a2＝, a3＝

2

4

37158

,猜测 an＝2－

12

n

(2) ①由(1)已得当n＝1时,命题成立;

②假设n＝k时,命题成立,即 ak＝2－

12

k

,

当n＝k＋1时,a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3, ∴2ak＋1＝2＋2－当n＝k＋1时,命题成立. 根据①②得n∈N+ , an＝2－

12

n

12

k

, ak＋1＝2－

12

k1

, 即

都成立.

amnamnd

21.解:(1)因为在等差数列{an}中,由等差数列性质得,又ama,anb,

aamdnmn

amnandmamnmamnd

∴,得,两式相减得(mn)amnmanb,

namnnbmndamnbmd

∴amn

manbmn

.

n

bmnbmq

(2)在等比数列bn中,由等比数列的性质得,

m

bmnbnq

nmmmnm

abmnaqbmnaqmn

又bma,bnb, ∴,得,两式相除得bmnn,

mnnmn

bbmnbqbmnbq

∴bmn

m22.解:(1)(2,3)⊙(1,4)(5,14). (2)交换律:,证明如下:

设(a,b),(c,d),则(adbc,bdac),

(c,d)(a,b)=(cbda,dbca)=(adbc,bdac). ∴.

(3)设A中的元素I(x,y),对A,都有II成立, 由(2)知只需I⊙,即(x,y)⊙(a,b)(a,b)(bxay,byax)(a,b)

①若(0,0),显然有I⊙成立;

bxayaaxbyb

②若(0,0),则,解得

x0y1

,

∴当对A,都有II成立时,得I(0,0)或I(0,1), 易验证当I(0,0)或I(0,1)时,有对A,都有II成立 ∴I(0,0)或I(0,1).