数学 两直线的距离
教学过程
一、复习预习
直线的斜率,倾斜角,方程
二、知识讲解
1.平行与垂直
若直线l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 (1)直线l1∥l2的充要条件是k1=k2且b1≠b2. (2)直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1. 若l1和l2都没有斜率,则l1与l2平行或重合.
若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0,则l1⊥l2.
(2)交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组 A1xB1y+C1=0
的解一一对应. A2xB2y+C2=0
相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行⇔方程组无解. 重合⇔方程组有无数解.
2.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=
|Ax0+By0+C|
A+B
2
2
.
两平行线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=
|C2-C1|A+B
2
2
.
考点/易错点1
1.平行与垂直
若直线l1和l2有斜截式方程l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则 (1)直线l1∥l2的充要条件是k1=k2且b1≠b2. (2)直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1. 若l1和l2都没有斜率,则l1与l2平行或重合.
若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0,则l1⊥l2. 两条直线的位置关系的有关内容是本章学习的重点,在整个解析几何的学习中占有重要地位.这部分内容是用代数方法研究几何图形的具体应用. 2.在判断两直线的位置关系时,也可利用直线方程的一般式,由系数间的关系直接作出结论,设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. (1)l1∥l2⇐
A1B1C=≠1 A2B2C2
A1C2A2C1.
⇔A12=A2B1,
A1B≠1 A2B2
(2)l1与l2相交⇐
⇔A1B2≠A2B1.
(3)l1与l2重合⇐
A1B1C1
== A2B2C2
A1B2=A21,
⇔A1C2=A21.
(4)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
考点/易错点2
相交
直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0
相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解; 平行⇔方程组无解. 重合⇔方程组有无数解.
考点/易错点3
.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=
|Ax0+By0+C|
A+B
2
2
.
两平行线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=
|C2-C1|A+B
2
2
.
三、例题精析
【例题1】
【题干】 已知两直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0,当m为何值时,l1与l2(1)相交;(2)平行;(3)重合?
【答案】(1)当m≠-1,m≠3且m≠0时,l1与l2相交; (2)当m=-1或m=0时,l1∥l2; (3)当m=3时,l1与l2重合.
【解析】剖析:依据两直线位置关系判断方法便可解决. 解:当m=0时,l1:x+6=0,l2:x=0, ∴l1∥l2.
当m=2时,l1:x+4y+6=0,l2:3y+2=0, ∴l1与l2相交.
m2116
当m≠0且m≠2时,由=得m=-1或m=3,由=得m=3.
m-23mm-22m
故(1)当m≠-1,m≠3且m≠0时,l1与l2相交;
(2)当m=-1或m=0时,l1∥l2; (3)当m=3时,l1与l2重合.
【例题2】
【题干】 已知点P(2,-1),求:
(1)过P点与原点距离为2的直线l的方程;
(2)过P点与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?
(3)是否存在过P点与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.
【答案】x=2或3x-4y-10=0.不存在
【解析】剖析:已知直线过定点求方程,首先想到的是求斜率或设方程的斜截式,但不要忘记考察斜率不存在的直线是否满足题意.若满足,可先把它求出,然后再考虑斜率存在的一般情况.图形中量的最值问题往往可由几何原理作依据求得解决. 解:(1)过P点的直线l与原点距离为2,而P点坐标为(2,1),可见,过P(2,1)垂直于x轴的直线满足条件.
此时l的斜率不存在,其方程为x=2.
若斜率存在,设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0. 由已知,得
|-2k-1|k2+1
=2,解之得k=
3
. 4
此时l的方程为3x-4y-10=0.综上,可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线,由l⊥OP,得kl·kOP=-1, 所以kl=-
1kOP
=2.由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0,
即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线,最大距离为
|-5|=5.
(3)由(2)可知,过P点不存在到原点距离超过5的直线,因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.
【例题3】
【题干】6.光线从A(-3,4)点射出,到x轴上的B点后,被x轴反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射线恰好过点D(-1,6),求BC所在直线的方程. 【答案】5x-2y+7=0.
【解析】解法一:如下图所示,依题意,B点在原点O左侧,设坐标为(a,0),由入射角等于反射角得∠1=∠2,∠3=∠4,
∴kAB=-kBC.
4-04
=-(a≠-3),
-3-a3+a44
∴kBC=.∴BC的方程为y-0=(x-a),即4x-(3+a)y-4a=0.
3+a3+a
-4a
令x=0,解得C点坐标为(0,),
3+a
-4a6-
3+a=-18+10a. 则kDC=
-1-03+a
又kAB=∵∠3=∠4,∴
kBC-00-kDC
=.
1+kBC⋅01+0⋅kDC
418+10a=. 3+a3+a
7
解得a=-,
5
∴
代入BC方程得5x-2y+7=0.
解法二:点A关于x轴的对称点为A′(-3,-4),点D关于y轴的对称点为D′(1,6),
由入射角等于反射角及对顶角相等可知A′、D′都在直线BC上, ∴BC的方程为5x-2y+7=0.
四、课堂运用
【基础】
1.点(0,5)到直线y=2x的距离为 A.
553
B.5 C. D.
222
【答案】B 【解析】解析:a=
|0-5|2+(-1)
2
2
=.
2.三直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10相交于一点,则a的值是 A.-2 B.-1 C.0 D.1 【答案】B
【解析】4x+3y=10, 解析:解方程组
2x-y=10,
得交点坐标为(4,-2), 代入ax+2y+8=0,得a=-1.
3.已知点P是直线l上的一点,将直线l绕点P逆时针方向旋转角α(0°
【解析】解析:∵直线l经过直线x-y-2=0和2x+y-1=0的交点(1,-1),且又与直线2x+y-1=0垂直, ∴l的方程为y+1=
1
(x-1),即x-2y-3=0. 2
【巩固】
1.若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a-1)y+(a2-1)=0平行且不重合,则a的值是____________. 【答案】-1
【解析】解析:利用两直线平行的条件.
2.已知过点A(1,1)且斜率为-m(m>0)的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q,过P、Q作直线2x+y=0的垂线,垂足为R、S,求四边形PRSQ面积的最小值.
【答案】3.6.
【解析】解:设l的方程为y-1=-m(x-1), 则P(1+
1
,0),Q(0,1+m). m
从而可得直线PR和QS的方程分别为 x-2y-
m+1
=0和x-2y+2(m+1)=0. m
又PR∥QS,
|2m+2+1+
∴|RS|=
5
1|m
3+2m+
=
12
2+
m.又|PR|=m, 5m+1,
|QS|=
四边形PRSQ为梯形, S四边形PRSQ==
1
[2
2+
21
3+2m+
m m+m+1]·
555
1191191
(m++)2-≥(2+)2-=3.6. 5805480m4
∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6.
【拔高】
1.已知三条直线l1:2x-y+a=0(a>0),直线l2:-4x+2y+1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是
7
10
5.
(1)求a的值;
(2)能否找到一点P,使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的
1
;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是2∶?2
若能,求P点坐标;若不能,请说明理由. 【答案】a=3.P(
137,) 918
1
=0, 2
【解析】解:(1)l2即2x-y-
1
|a-(-)|
2=7. ∴l1与l2的距离d=
1022+(-1)2
1
|
717∴=.∴|a+|=. 1022∵a>0,∴a=3.
(2)设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′:2x-y+C=0上,
1|C+|
|C-3|1,即C=13或C=11, 且=
226|a+
∴2x0-y0+
1311
=0或2x0-y0+=0; 26
若P点满足条件③,由点到直线的距离公式,
有
2x0-y0+3
5
=
2|x0+y0-1|2
,
即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0.
由P在第一象限,∴3x0+2=0不可能. 联立方程2x0-y0+
x0=-3,
1解得y0=,
13
=0和x0-2y0+4=0, 2
应舍去.
2
2x0-y0+=0,
由6x0-2y0,
1, 9解得37y0=.
18
137∴P(,)即为同时满足三个条件的点.
918
x0=
2. 当0
1. 2
【解析】解:直线l1交y轴于A(0,2-a),直线l2交x轴于C(a2+2,0),l1与l2交于点B(2,2).
则四边形AOCB的面积为S=S△AOB+S△OCB=
11
·(2-a)·2+(a2+2)·2=a2-a+4=(a22
1215
)+, 241
当a=时,S最小.
2
-
因此使四边形面积最小时a的值为
1. 2
课程小结
1.要认清直线平行、垂直的充要条件,应特别注意对x、y的系数中一个为零的情况的讨论.
2.点到直线的距离公式是一个基本公式,它涉及绝对值、直线垂直、最小值等内容.
课后作业(在各自的系统上进行布置,不在教学案中体现)
【基础】
1.过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为
A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0 C.x+2y-5=0D.x-2y+7=0 【答案】A
【解析】解析:由已知直线的斜率为
1, 2
知所求直线的斜率为-2.
由点斜式得所求直线方程为2x+y-1=0.
2.若直线y=|x|与y=kx+1有两个交点,则k的取值范围是____________. 【答案】-1
【解析】解析:y=|x|是第一、二象限角的平分线,直线y=kx+1是过定点(0,1)的直线系方程.
由图象易知-1
3.△ABC中,a、b、c是内角A、B、C的对边,且lgsinA,lgsinB,lgsinC成等差数列,则下列两条直线l1:(sin2A)x+(sinA)y-a=0,l2:(sin2B)x+(sinC)y-c=0的位置关系是____________. 【答案】重合
【解析】解析:由已知2lgsinB=lgsinA+lgsinC, 得lg(sinB)2=lg(sinA·sinC). ∴sin2B=sinA·sinC.
设l1:a1x+b1y+c1=0,l2:a2x+b2y+c2=0.
a1sin2Asin2AsinA∵===, a2sin2BsinAsinCsinCb1sinA=, b2sinC
c1-a-2RsinAsinA===, c2-c-2RsinCsinC
∴
a1b1c1
==,l1与l2重合. a2b2c2
【巩固】
1.已知△ABC的两条高线所在直线的方程为2x-3y+1=0和x+y=0,顶点A(1,2),求: (1)BC边所在直线的方程; (2)△ABC的面积. 【答案】2x+3y+7=0.
45 2
【解析】解:(1)A点不在两条高线上,从而AB、AC边所在直线方程为3x+2y-7=0,x-y+1=0.
∴C(-2,-1)、B(7,-7). ∴边BC所在直线方程是2x+3y+7=0.
(2)∵|BC|=,点A到边BC的高为h=
15,从而△ABC的面积是
151
×3×2=
45
. 2
2.在△ABC中,已知BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线的方程为y=0.若点B的坐标为(1,2),求点C的坐标. 【答案】(5,-6)
【解析】解:点A为y=0与x-2y+1=0两直线的交点, ∴点A的坐标为(-1,0). ∴kAB=
2-0
=1.
1-(-1)
又∵∠A的平分线所在直线的方程是y=0, ∴k AC=-1.
∴直线AC的方程是y=-x-1.
而BC与x-2y+1=0垂直,∴kBC=-2. ∴直线BC的方程是y-2=-2(x-1).
y=x-1, 由
y=x+4,
解得C(5,-6).
【拔高】
1.已知n条直线l1:x-y+C1=0,C1=2,l2:x-y+C2=0,l3:x-y+C3=0,…,ln:x-y+Cn=0(其中C1<C2<C3<…<Cn),这n条平行直线中,每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n. (1)求Cn;
(2)求x-y+Cn=0与x轴、y轴围成的图形的面积;
(3)求x-y+Cn-1=0与x-y+Cn=0及x轴、y轴围成图形的面积.
n(n+1)n2(n+1)23
【答案】n
42
【解析】解:(1)原点O到l1的距离为1,原点O到l2的距离为1+2,……原点O到ln的距离dn为1+2+…+n=∵Cn=2dn,
n(n+1)
. 2
n(n+1)
. 2
(2)设直线ln:x-y+Cn=0交x轴于M,交y轴于N,则△OMN面积
∴Cn=
112n2(n+1)2
S△OMN=|OM|·|ON|=Cn=.
422
n2(n+1)2(n-1)2⋅n2
(3)所围成的图形是等腰梯形,由(2)知Sn=,则有Sn-1=.
44
n2(n+1)2(n-1)2⋅n2
∴Sn-Sn-1=-=n3.
443
∴所求面积为n.
课后评价(在各自的系统上进行布置,不在教学案中体现)
包含:
1.课后作业学生完成情况 2.本节课主要内容概括 3.本节课学生学习态度
4.学生知识掌握情况和存在的问题(通过课堂反馈题进行分析)
语言真诚、体现学生实际情况,并且语言风格以鼓励为主,语气温和,体现教师的专业性与爱心。